1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精23互斥事件預(yù)習課本p138146，思考并完成以下問題(1）互斥事件的定義是什么?（2）對立事件的定義是什么?（3）互斥事件與對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系?（4）互斥事件的概率加法公式是什么？1互斥事件（1）定義：在一個試驗中,我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件a與b稱作互斥事件(2）規(guī)定：事件ab發(fā)生是指事件a和事件b至少有一個發(fā)生（3)公式：在一次隨機試驗中,如果隨機事件a和b是互斥事件,那么有p（ab）p(a）p（b)(4)公式的推廣:如果隨機事件a1，a2，an中任意兩個是互斥事件，那么有p(a1a2an）p(a1）p(a2)p(an）點睛（1）如果事件a與b

2、是互斥事件，那么a與b兩事件同時發(fā)生的概率為0.（2)從集合的角度看，記事件a所含結(jié)果組成的集合為集合a，事件b所含結(jié)果組成的集合為集合b,事件a與事件b互斥,則集合a與集合b的交集是空集,如圖所示2對立事件（1）定義:在一次試驗中，如果兩個事件a與b不能同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生,那么事件a與b稱作對立事件，事件a的對立事件記為.（2）性質(zhì)：p（a)p（)1，即p(a)1p(）點睛兩個事件是對立事件，它們也一定是互斥事件；兩個事件為互斥事件，它們未必是對立事件1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“)(1）對立事件一定是互斥事件()(2)a,b為兩個事件，則p（ab)p（a）p(b)(）（3）

3、若事件a，b，c兩兩互斥,則p(a）p（b)p（c)1。（)(4)事件a,b滿足p(a)p（b）1,則a，b是對立事件(）答案：(1)（2）（3）（4）2一人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）a至多有一次中靶b兩次都中靶c兩次都不中靶 d只有一次中靶解析：選c連續(xù)射擊兩次的結(jié)果有四種：兩次都中靶；兩次都不中靶；第一次中靶，第二次沒有中靶;第一次沒有中靶,第二次中靶“至少有一次中靶”包含三種結(jié)果，因此互斥事件是。3抽查10件產(chǎn)品，記事件a為“至少有2件次品”，則a的對立事件為(）a至多有2件次品b至多有1件次品c至多有2件正品 d至少有2件正品解析：選b至少有2件次品包

4、含2,3,4，5,6，7，8，9,10件共9種結(jié)果,故它的對立事件為含有1或0件次品,即至多有1件次品4甲乙兩人下圍棋比賽，已知比賽中甲獲勝的概率為0。45，兩人平局的概率為0.1，則甲輸?shù)母怕蕿開解析：記事件a“甲勝乙”,b“甲、乙戰(zhàn)平”，c“甲不輸”，則cab，而a，b是互斥事件，故p（c）p(ab）p(a)p（b）0.55.由于甲輸與不輸為對立事件，故甲輸?shù)母怕蕿?1p(c）10。550.45。答案：0。45互斥事件和對立事件的判斷典例某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件a為“只訂甲報”，事件b為“至少訂一種報”，事件c為“至多訂一種報”，事件d為“不訂甲報”，事件e為“一種報也不訂

5、”判斷下列事件是否是互斥事件，如果是,判斷它們是否是對立事件(1）a與c;(2)b與e；(3)b與d;（4)b與c；(5）c與e。解(1)由于事件c“至多訂一種報”中可能只訂甲報，即事件a與事件c有可能同時發(fā)生，故a與c不是互斥事件(2)事件b“至少訂一種報”與事件e“一種報也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故事件b與e是互斥事件由于事件b和事件e必有一個發(fā)生，故b與e也是對立事件（3)事件b“至少訂一種報”中有可能只訂乙報,即有可能不訂甲報，也就是說事件b發(fā)生，事件d也可能發(fā)生,故b與d不是互斥事件(4）事件b“至少訂一種報中有3種可能:“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”事件c“至多訂一種

6、報”中有3種可能：“一種報也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”即事件b與事件c可能同時發(fā)生，故b與c不是互斥事件（5)由(4)的分析可知，事件e“一種報也不訂”僅僅是事件c的一種可能，事件c與事件e可能同時發(fā)生，故c與e不是互斥事件判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們在一次試驗中能否同時發(fā)生，若不能同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生,則這兩個事件不是互斥事件；判斷兩個事件是否為對立事件，主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件:一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生這兩個條件同時成立,那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件活學活用某小組有3名

7、男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件（1）恰有1名男生與恰有2名男生;（2）至少1名男生與全是男生；(3）至少1名男生與全是女生;(4)至少1名男生與至少1名女生解：從3名男生和2名女生中任選2名同學有3類結(jié)果;兩男或兩女或一男一女（1）因為恰有1名男生與恰有2名男生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當恰有2名女生時，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對立事件(2）當恰有2名男生時,至少1名男生與全是男生同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件（3)因為至少1名男生與全是女生不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個發(fā)生，所以

8、它們是對立事件（4)當選出的是1名男生1名女生時，至少1名男生與至少1名女生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件.互斥事件與對立事件概率公式的應(yīng)用典例某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0。28，0.19，0.16,0。13.計算這個射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）至少射中7環(huán)的概率；(3）射中8環(huán)以下的概率解“射中10環(huán)”“射中9環(huán)“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”是彼此互斥的，可運用互斥事件的概率加法公式求解記“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為a，b，c,d,e，則(1)p（ab）p(

9、a）p(b）0。240。280.52，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52。(2)法一：p（abcd）p（a)p(b)p（c)p(d)0。240.280。190。160.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0。87.法二：事件“至少射中7環(huán)的對立事件是“射中7環(huán)以下”,其概率為0。13，則至少射中7環(huán)的概率為10。130.87.（3）p(de)p（d）p（e）0。160。130。29，所以射中8環(huán)以下的概率為0。29.運用互斥事件的概率加法公式解題的一般步驟(1）確定各事件彼此互斥；（2）求各事件分別發(fā)生的概率,再求其和值得注意的是：（1）是公式使用的前提條件，不符合這點,是不能運用互斥事件的概率加

10、法公式的活學活用在數(shù)學考試中，小明的成績在90分及90分以上的概率是0。18,在8089分（包括80分與89分，下同)的概率是0.51，在7079分的概率是0。15，在6069分的概率是0.09，60分以下的概率是0。07.計算下列事件的概率:（1）小明在數(shù)學考試中取得80分及80分以上的成績；(2）小明考試及格解：分別記小明的成績在“90分及90分以上”，在“8089分，在“7079分”，在“6069分”為事件b,c，d,e,顯然這四個事件彼此互斥（1）小明的成績在80分及80分以上的概率是p（bc)p（b）p(c）0。180。510.69.(2)法一：小明考試及格的概率是p（bcde)p（

11、b)p（c）p（d)p（e)0。180.510.150。090.93.法二：因為小明考試不及格的概率是0。07，所以小明考試及格的概率是10。070。93。互斥、對立事件與古典概型的綜合應(yīng)用典例一盒中裝有各色球12個,其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球從中隨機取出1球，求：（1）取出1球是紅球或黑球的概率；（2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率解記事件a1任取1球為紅球；a2任取1球為黑球；a3任取1球為白球；a4任取1球為綠球，則p（a1)，p（a2)，p（a3），p(a4）.根據(jù)題意知，事件a1，a2，a3,a4彼此互斥，法一：由互斥事件概率公式,得(1)取出1球為紅球或黑球的概率

12、為p（a1a2）p（a1)p（a2)。（2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為p（a1a2a3）p(a1)p（a2)p（a3)。法二:(1）故取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即a1a2的對立事件為a3a4.所以取得1球為紅球或黑球的概率為p(a1a2)1p(a3a4）1p（a3）p（a4)1。(2)a1a2a3的對立事件為a4，所以p（a1a2a3)1p(a4）1。求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法(1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件；(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難

13、則反”，它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率活學活用某學校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示現(xiàn)從中隨機抽取一名隊員，求：（1）該隊員只屬于一支球隊的概率；(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率解：分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊”為事件a，b，c.由圖知3支球隊共有球員20名則p(a),p(b),p(c).(1)令“抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊為事件d.則dabc，事件a，b,c兩兩互斥，p（d）p（abc)p（a）p(b）p（c).（2）令“抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊為事件e，則為“抽取一名隊員，該隊員

14、屬于3支球隊”，p（e)1p()1.層級一學業(yè)水平達標1許洋說：“本周我至少做完三套練習題”設(shè)許洋所說的事件為a,則a的對立事件為(）a至多做完三套練習題b至多做完二套練習題c至多做完四套練習題 d至少做完三套練習題解析：選b至少做完3套練習題包含做完3,4,5，6套練習題，故它的對立事件為做完0，1,2套練習題，即至多做完2套練習題2把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(）a對立事件 b互斥但不對立事件c不可能事件 d以上說法都不對解析：選b因為只有1張紅牌，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生,所以它們是互斥事件；但這兩個事

15、件加起來并不是總體事件，所以它們不是對立事件3從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是(）a. b.c. d.解析：選d記3個紅球分別為a1，a2，a3,2個白球分別為b1,b2.從3個紅球、2個白球中任取3個，則所包含的基本事件有(a1，a2，a3），(a1，a2,b1)，（a1，a2,b2），(a1，a3，b1），(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1），(a2，a3，b2)，（a1，b1,b2），(a2，b1,b2），（a3，b1，b2),共10個由于每個基本事件發(fā)生的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的用a表示“所取的3個球中至少有1個白

16、球”，則其對立事件表示“所取的3個球中沒有白球”，則事件包含的基本事件有1個：（a1，a2，a3)，所以p（）.故p（a)1p(）1.4事件a，b互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且p(a）2p(b)，則p（a）_.解析：因為事件a，b互斥，它們都不發(fā)生的概率為，所以p（a）p(b）1.又因為p（a)2p（b)，所以p（a)p（a),所以p（a)。答案：層級二應(yīng)試能力達標1若p（ab）p（a）p(b)1，則事件a與b的關(guān)系是()a互斥不對立b對立不互斥c互斥且對立 d以上說法都不對答案：c2若事件a和b是互斥事件，且p(a)0.1，則p（b)的取值范圍是（)a0，0.9 b0。1，0.9c(0,0.

17、9 d0,1解析:選a由于事件a和b是互斥事件,則p（ab)p（a）p(b)0。1p（b)，又0p(ab)1，所以00.1p（b）1，又p(b)0，所以0p（b）0.9，故選a.3拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,事件a表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件b表示“向上的點數(shù)不超過3”，則p(ab）（）a. b。c。 d1解析:選ba包含向上點數(shù)是1，3，5的情況，b包含向上的點數(shù)是1,2，3的情況，所以ab包含了向上點數(shù)是1,2，3，5的情況故p(ab).4從1，2，3,，30這30個數(shù)中任意摸出一個數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)的概率是()a。 b.c。 d。解析：選b這30個數(shù)中“是偶數(shù)”的有

18、15個，“能被5整除的數(shù)”有6個，這兩個事件不互斥，既是偶數(shù)又能被5整除的數(shù)有3個，所以事件“是偶數(shù)或能被5整除的數(shù)包含的基本事件數(shù)是18個，而基本事件共有30個，所以所求的概率為.5拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件a為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件b為“出現(xiàn)2點”，已知p(a）,p(b），則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為_解析：“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率為p(a），“出現(xiàn)2點”的概率為p(b），且事件a與b互斥，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為p（ab)p(a)p（b).答案：6某一時期內(nèi)，一條河流某處的最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下：最高水位/m8,10)10,12）12，14）概率0。20。30.5則在

19、同一時期內(nèi),河流在這一處的最高水位不超過12 m的概率為_解析：法一：記“最高水位在8,10）內(nèi)”為事件a1,記“最高水位在10,12）內(nèi)”為事件a2,記“最高水位不超過12 m為事件a3，由題意知，事件a1，a2彼此互斥，而事件a3包含基本事件a1，a2，所以p（a3）p（a1）p（a2)0。20。30。5。法二：記“最高水位在12,14)內(nèi)為事件b1，記“最高水位不超過12 m為事件b2，由題意知，事件b1和b2互為對立事件,所以p(b2)1p（b1)10.50.5。答案:0。57圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為，從中取出2粒都是白子的概率是.那么，現(xiàn)從中任

20、意取出2粒恰好是同一色的概率是_解析:設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件a,“從中取出2粒都是白子”為事件b,“任意取出2粒恰好是同一色為事件c，則cab,且事件a與b互斥所以p(c）p(a）p（b)，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率為.答案：8某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為a飲料，另外2杯為b飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯a飲料若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀;若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為不合格假設(shè)此人對a和b兩種飲料沒有鑒別能力（1）求此人被評為優(yōu)秀的概率;(2)求此人被評為良好及以上的概率解：將5杯飲料編號為：1,2,3,4，5，編號1，2,3表示a飲料，編號4，5表示b飲料,則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(123），(124），（125)，(134），（135），（145），（234),（235），(245），（345),共有10種令d表示此人被評為優(yōu)秀的事件，e表示此人被評為良好的事件，f表示此人被評為良好及