1、F F FN1 FN2 F 2F 1 1 2 2 F F + - FN ： (軸力圖軸力圖) 2-1 畫以下各桿的軸力圖，并求指定截面上的內力。畫以下各桿的軸力圖，并求指定截面上的內力。 解：求截面內力用截面法，軸載直桿截面上內力為軸力。解：求截面內力用截面法，軸載直桿截面上內力為軸力。 (a) 在指定截面處將桿件截開，取截開后的桿件在指定截面處將桿件截開，取截開后的桿件 各部分之一為隔離體各部分之一為隔離體(比如取右側部分比如取右側部分)，畫，畫 出隔離體的受力圖，出隔離體的受力圖，軸力軸力(內力內力)按其正方向按其正方向 畫畫，由隔離體的平衡條件，有：，由隔離體的平衡條件，有： FN1 =

2、 F (受拉受拉) FN2 = F-2F = -F (受壓受壓) 1 1 2F FN1 2 22F 2F FN2 FN ： 軸力圖畫在與受力圖對應的位置，注意標注出軸力圖畫在與受力圖對應的位置，注意標注出 特征位置內力大小。可用正負標記表示基線某特征位置內力大小。可用正負標記表示基線某 一側的內力值的正負。對水平放置的桿件，習一側的內力值的正負。對水平放置的桿件，習 慣上將正值軸力畫在基線以上。慣上將正值軸力畫在基線以上。 即即: 指定截面上軸力的大小等于該截面任一側所指定截面上軸力的大小等于該截面任一側所 有軸向力有軸向力(包括支反力包括支反力)的代數和。的代數和。 (b) 如圖取隔離體，有

3、：如圖取隔離體，有： FN1 = 2F FN2 = 2F-2F = 0 2F + + 畫內力圖時，可用與基線垂直的具有標長的直畫內力圖時，可用與基線垂直的具有標長的直 線段表示該線段所在截面內力值的大小。切記線段表示該線段所在截面內力值的大小。切記 不可畫成陰影線不可畫成陰影線(剖面線剖面線)。 2-1 畫以下各桿的軸力圖，并求指定截面上的內力。畫以下各桿的軸力圖，并求指定截面上的內力。 (c) 如圖取隔離體，有：如圖取隔離體，有： FN1 = 2F FN2 = 2F-F = F (d) 如圖取隔離體，有：如圖取隔離體，有： FN1 = F FN2 = F-qa -2F = F-F -2F =

4、 -2F 1 1 2F FN1 2 2F 2F FN2 + F FN ： 2F + + 3F 1 1 F FN1 q=F/a 2F 2 2 F FN2 2F - F FN ： + 軸力圖在集中載荷作用處有突變，突變軸力圖在集中載荷作用處有突變，突變 值與集中力的大小相等；值與集中力的大小相等； 在分布載荷作用處軸力圖斜率的值等于在分布載荷作用處軸力圖斜率的值等于 該處分布載荷的分布集度大小，則分布該處分布載荷的分布集度大小，則分布 載荷的起點和終點處為軸力圖折點。載荷的起點和終點處為軸力圖折點。 可由受力與軸力圖的特點，檢查內力圖： 2-2 圖示桿件由兩根木桿粘接而成。欲使其在受拉時，粘接面上

5、的正應力為其切應力的圖示桿件由兩根木桿粘接而成。欲使其在受拉時，粘接面上的正應力為其切應力的2倍，倍， 試問粘接面的位置應如何確定？試問粘接面的位置應如何確定？ 解：本題實質上是要考察斜截面上的應力。由斜截面應力公式，有：解：本題實質上是要考察斜截面上的應力。由斜截面應力公式，有： 2sin 2 cos2 由題義，要求：由題義，要求： 2 則有：則有： 2 1 tan2sin 2 2cos2 即粘接面法向的角度為：即粘接面法向的角度為： 6 .26 2 1 tan 1 2-4圖示實心圓鋼桿圖示實心圓鋼桿AB和和AC在在A點作用有鉛垂向下的力點作用有鉛垂向下的力F=35kN。已知桿。已知桿AB和

6、和AC的直徑分別的直徑分別 為為d1=12mm和和d2=15mm，鋼的彈性模量，鋼的彈性模量E=210GPa。試求。試求A點在鉛垂方向的位移。點在鉛垂方向的位移。 解：求各桿內力，如圖取解：求各桿內力，如圖取A點為對象，由平衡條件，有：點為對象，由平衡條件，有： NABNACNACNABx FFFFF230sin45sin0 求位移，各桿變形與求位移，各桿變形與A點位移之間的幾何關系如圖：點位移之間的幾何關系如圖： mm EA lF l AC ACNAC AC 104. 1 4/015. 010210 6 . 110622.25 29 3 求各桿變形求各桿變形(伸長伸長)： A F FNAB

7、FNAC x y kNF kNFF FFFF NAC NAB NACNABy 622.25 117.18 31 2 30cos45cos0 ( 拉拉 ) ( 拉拉 ) mm EA lF l AB ABNAB AB 078. 1 4/012. 010210 210117.18 29 3 AA l AAAA l AA ABAC 45cos 45tan30tan 30cos 有有 mm ll AA ABAC Ay 366. 130tan130tan 45cos30cos 整理得整理得 45 A x y 30 AB l AC l A A 2-5 圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷圖示為打入土中的

8、混凝土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設沿，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設沿 地樁單位長度的摩擦力為地樁單位長度的摩擦力為 f，且，且 f =k y2，式中，式中，k為常數。試求地樁的縮短量為常數。試求地樁的縮短量。已知地樁的。已知地樁的 橫截面面積為橫截面面積為A，彈性模量為，彈性模量為E，埋入土中的長度為，埋入土中的長度為l。 解：地樁所受外載為軸載，且在解：地樁所受外載為軸載，且在F和摩擦力共同作用下平衡。和摩擦力共同作用下平衡。 0 3 d 3 0 2 F l kFykyF l y 則：則： 軸力方程為：軸力方程為： 3 3 0 d)( l Fy yfyF y N

9、 求地樁的縮短量求地樁的縮短量： EA Fl yy EAl F y EA yF l ll N 4 dd )( 0 3 3 0 2 33 33 y l F f l F k 即：即： y FN ( y ) 2-7 簡單托架及其受力如圖所示，水平桿簡單托架及其受力如圖所示，水平桿BC 的長度的長度 l 保持不變，斜桿保持不變，斜桿AB 的長度可隨夾角的長度可隨夾角 的變化而改變。兩等直桿由同一材料制造，且材料的許用拉應力與許用壓應力相等。要求的變化而改變。兩等直桿由同一材料制造，且材料的許用拉應力與許用壓應力相等。要求 兩桿內的應力同時達到許用應力，且結構的總重量為最小時，試求：（兩桿內的應力同時達

10、到許用應力，且結構的總重量為最小時，試求：（1）兩桿的夾角）兩桿的夾角 值；值； （2）兩桿橫截面面積的比值）兩桿橫截面面積的比值 解：求各桿內力及應力解：求各桿內力及應力 sin cos cossin 1 sin cos cossin Fl l FlF lAlAV BCBCABAB 由題義，各桿應力達到許用應力，則：由題義，各桿應力達到許用應力，則： sin cos sin F A F A BCAB 要求結構的總重量為最小即結構總體積最小，其體積為：要求結構的總重量為最小即結構總體積最小，其體積為： (拉拉) sin F FNAB sin ABAB NAB AB A F A F sin co

11、sF FNBC(壓壓) sin cos BCBC NBC BC A F A F F FNAB FNBC B 0 d d V 令：令：得：得： 445474.542tan 3 cos 1 BC AB A A 則：則： 即：兩桿的夾角即：兩桿的夾角 值為值為 兩桿橫截面面積的比值為兩桿橫截面面積的比值為 4454 3 2-9 圖示桁架結構，各桿都由兩個相同的等邊角鋼組成。已知材料的許用應力圖示桁架結構，各桿都由兩個相同的等邊角鋼組成。已知材料的許用應力=170MPa， 試選擇桿試選擇桿AC和和CD的角鋼型號。的角鋼型號。 解：桁架結構各桿均為二力桿解：桁架結構各桿均為二力桿(拉壓桿拉壓桿) 22

12、6 3 915 101702 1013.311 2 mmm F A NAC AC 求桿求桿AC和和CD的軸力：的軸力： 求支反力求支反力 FAx FAy FB 00 Axx FF kNFFM BA 220 12 82204220 0)( kNFFM AyB 220 12 82204220 0)( E FAy FNAC FNAE A FNCE FNACFNCD C 由由A點的平衡條件：點的平衡條件： kN F F Ay NAC 13.3112202 45cos ( 拉拉 ) 由由C點的平衡條件：點的平衡條件： kNFF NACNCD 22045cos ( 拉拉 ) 由強度條件：由強度條件： N

13、F A各桿都由兩個相同的等邊角鋼組成各桿都由兩個相同的等邊角鋼組成AA 2 22 6 3 647 101702 10220 2 mmm F A NCD CD 選兩根選兩根8(806)等邊角鋼等邊角鋼 選兩根選兩根7(705)等邊角鋼等邊角鋼 A=687.5mm2 A=939.7 mm2 2-10 已知混凝土的密度已知混凝土的密度=2.25103kg/m3，許用壓應力，許用壓應力=2MPa。試按強度條件確定圖示混。試按強度條件確定圖示混 凝土柱所需的橫截面面積凝土柱所需的橫截面面積 A1 和和 A2。若混凝土的彈性模量。若混凝土的彈性模量E=20GPa，試求柱頂，試求柱頂 A 的位移。的位移。

14、解：混凝土柱各段軸力分別為：解：混凝土柱各段軸力分別為： E gl EA llgAF E gl EA Fl EA xF ll i l i Ni iA 2 )( 2 d 2 2 2 211 2 1 1 1 )( 1211211 lxgAlgAFFxgAFF NN ( 受壓受壓 )( 2211max211max1 lAlAgFFlgAFF NN 取取A1=0.576m2 由強度條件：由強度條件： max A FN 22 36 3 1 1 576. 0)( 128 . 91025. 2102 101000 mm gl F A 22 36 33 2 11 2 664. 0)( 128 . 91025.

15、 2102 576. 0128 . 91025. 2101000 mm gl lgAF A 取取A1=0.664m2 混凝土柱各段危險截面分別為柱中截面和柱底截面，其軸力分別為：混凝土柱各段危險截面分別為柱中截面和柱底截面，其軸力分別為： x 柱底固定，則柱頂位移值等于柱的伸縮量，可用疊加原理計算柱底固定，則柱頂位移值等于柱的伸縮量，可用疊加原理計算 9 3 9 3 10202 12128 . 91025. 2 576. 01020 12101000 mm242. 2 10202 12128 . 91025. 2 664. 01020 1210)12576. 08 . 925. 21000(

16、9 3 9 3 2-12 圖示接頭，由兩塊鋼板用四個直徑相同的鋼鉚釘連接而成。已知載荷圖示接頭，由兩塊鋼板用四個直徑相同的鋼鉚釘連接而成。已知載荷F=80kN，板寬，板寬 b=80mm，板厚，板厚=10mm，鉚釘直徑，鉚釘直徑 d =16mm，許用切應力，許用切應力 =100MPa，許用擠壓應力，許用擠壓應力 bs=300MPa,許用拉應力許用拉應力=170MPa 。試校核接頭的強度。試校核接頭的強度。(提示：設每個鉚釘受力相同提示：設每個鉚釘受力相同) 解：剪切強度計算：外力過截面組中心，每個鉚釘受解：剪切強度計算：外力過截面組中心，每個鉚釘受 力相同力相同 125 10)1680( 108

17、0 )( 3 2 2 22 MPa db F A FN 綜上，接頭滿足強度要求綜上，接頭滿足強度要求 kN F Fs20 4 拉伸強度計算：可能的危險截面為拉伸強度計算：可能的危險截面為1-1 和和2-2 截面截面 5 .99 16 102044 2 3 2 MPa d F A F ss 擠壓強度計算：鉚釘與鋼板材料相同，擠壓面為圓柱面擠壓強度計算：鉚釘與鋼板材料相同，擠壓面為圓柱面 125 1016 10204/ 3 bs bs b bs MPa d F A F 1 12 2 125 10)16280(4 10803 )2( 4/3 3 1 1 11 MPa db F A FN 2-13 圖

18、示圓截面桿件，承受軸向拉力圖示圓截面桿件，承受軸向拉力 F 作用。設拉桿的直徑為作用。設拉桿的直徑為d，端部墩頭的直徑為，端部墩頭的直徑為D，高度，高度 為為h，試從強度方面考慮，建立三者間的合理比值。已知許用應力，試從強度方面考慮，建立三者間的合理比值。已知許用應力=120MPa ，許用切應力，許用切應力 =90MPa ，許用擠壓應力，許用擠壓應力 bs=240MPa 。 解：可能發生的破壞為墩頭的剪切和擠壓破壞、桿件的拉伸破壞，解：可能發生的破壞為墩頭的剪切和擠壓破壞、桿件的拉伸破壞， 合理的尺寸應使剪切面上的切應力、最大擠壓應力和桿件橫截面上合理的尺寸應使剪切面上的切應力、最大擠壓應力和

19、桿件橫截面上 拉應力之間的比值等于相應的許用應力之間的比值，即：拉應力之間的比值等于相應的許用應力之間的比值，即： 4/ ) 1/(4/ )( 22222 dDd F dD F A F bs b bs dh F A Fs 則有：則有： 4/ 2 d F A FN 4:8:3120:240:90 : : : bsbs 其中：其中： 34 3 4 d h h d ddD d D bs 225. 1 2 6 2 1 1 2 1:333. 0:225. 1:dhD 即：即： 2-14 剛性梁用兩根鋼桿和懸掛著，受鉛垂力剛性梁用兩根鋼桿和懸掛著，受鉛垂力F=100kN作用。已知鋼桿作用。已知鋼桿AC 和

20、和BD 的直徑分別為的直徑分別為 d1 =25mm 和和 d2=18mm ，鋼的許用應力，鋼的許用應力=170MPa，彈性模量，彈性模量E=210GPa。 (1) 試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形 lAC， lBD及及 A，B 兩點的豎直位移兩點的豎直位移A， B 。 (2) 若荷載若荷載F=100kN作用于作用于A點處，試求點處，試求F點的豎直位移點的豎直位移F 。(結果表明，結果表明， F = A ，事實上這，事實上這 是線性彈性體中普遍存在的關系，稱為位移互等定理。是線性彈性體中普遍存在的關系，稱為位移互等定理。) 解解：(1)以以AB桿為對象：桿為對

21、象： 各桿滿足強度要求各桿滿足強度要求 135 253 101008 2 3 1 MPaMPa A FNAC AC FFFM NBDA 3 1 0)( FFFM NACB 3 2 0)( 4/ 3/2 2 11 dE Fl EA F l ACNAC ACA mmm62. 1 1025102103 5 . 2101008 629 3 4/ 3/1 2 22 dE Fl EA F l BDNBD BDB mmm56. 1 1018102103 5 . 2101004 629 3 131 183 101004 2 3 2 MPaMPa A FNBD BD A B 由變形圖，可知：由變形圖，可知： 2

22、-14 剛性梁用兩根鋼桿和懸掛著，受鉛垂力剛性梁用兩根鋼桿和懸掛著，受鉛垂力F=100kN作用。已知鋼桿作用。已知鋼桿AC 和和BD 的直徑分別為的直徑分別為 d1 =25mm 和和 d2=18mm ，鋼的許用應力，鋼的許用應力=170MPa，彈性模量，彈性模量E=210GPa。 (1) 試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形 lAC， lBD及及 A，B 兩點的豎直位移兩點的豎直位移A， B 。 (2) 若荷載若荷載F=100kN作用于作用于A點處，試求點處，試求F點的豎直位移點的豎直位移F 。(結果表明，結果表明， F = A ，事實上這，事實上這 是線性彈性

23、體中普遍存在的關系，稱為位移互等定理。是線性彈性體中普遍存在的關系，稱為位移互等定理。) 解解：(2)以以AB桿為對象：桿為對象： 00)( NBDA FFM FFFM NACB 0)( mm dE Fl EA F l ACNAC ACAF 62. 1 4/3 2 3 2 3 2 3 2 2 11 A 由變形圖，可知：由變形圖，可知： F F 2-17 圖示鋼桿圖示鋼桿,橫截面面積橫截面面積A=2500mm2,彈性模量彈性模量E=210GPa，線膨脹系數，線膨脹系數 l=12.510-6 C-1 ， 軸向載荷軸向載荷F=200kN，溫度升高，溫度升高40C。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力和

24、桿的最大應力：。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力和桿的最大應力： | max |（1）間隙）間隙=2.1mm；（；（2）間隙）間隙=1.2mm 。 解：當桿在軸載解：當桿在軸載 F 和溫升同時作用下的伸長小于間隙和溫升同時作用下的伸長小于間隙 時屬于靜定問題，否則桿將與時屬于靜定問題，否則桿將與B端接觸成為超靜定問題。端接觸成為超靜定問題。 由題義，有：由題義，有： lT EA lF l l iNi (1) 間隙間隙=2.1mm：0)(200 BC FkNFF則有：則有： l mm0714. 23000105 .1240 250010210 150010200 6 3 3 FB FC MPa

25、 A F 80 2500 10200 3 max (左段各截面左段各截面) (2) 間隙間隙=1.2mm：l桿將與桿將與B端接觸成為超靜定問題端接觸成為超靜定問題 則有：則有： ABCB lFFF有：有： BCNBN FFFFFF lT EA Fl EA lF lT EA lF EA lF l l B l NN AB )(5 .152)( 3000 250010210 )2 . 10714. 2( 3 kNNFB)(5 .47kNFFF BC 得得: MPa A FB 61 2500 105 .152 3 max (右段各截面右段各截面) 2-18 圖示剛性梁受均布載荷作用，梁在圖示剛性梁受均

26、布載荷作用，梁在A 端鉸支，在端鉸支，在B點點C和點由兩根鋼桿和點由兩根鋼桿BD和和CE支承。已支承。已 知鋼桿知鋼桿BD和和CE的橫截面面積的橫截面面積A2=200mm2和和A1=400mm2 ；鋼的許用應力；鋼的許用應力=160MPa ，考慮到，考慮到 壓桿的穩定性，許用壓應力壓桿的穩定性，許用壓應力c=100MPa 。試校核鋼桿的強度。試校核鋼桿的強度。 解：一次超靜定問題，以解：一次超靜定問題，以AB為對象，有：為對象，有： 1 112 1 11 2 22 6 5 4 3 8 . 1 2 3 NNN NN FFF EA lF EA lF 即：即： 03 2 330 0)( 21 2 N

27、NA FFFM 221112 3ll FN1 FN2 30kN/m AB C 2 則有：則有：( 壓壓 )kNFN57.38 7 330 2 1 kNFN14.32 2 ( 拉拉 ) CE桿的強度桿的強度 4 .96 400 1057.38 3 1 1 c N c MPa A F BD桿的強度桿的強度 05. 17 .160 200 1014.32 3 2 2 MPa A FN 各桿滿足強度要求。各桿滿足強度要求。 2-19一種制作預應力鋼筋混凝土的方式如圖所示。首先用千斤頂以拉力一種制作預應力鋼筋混凝土的方式如圖所示。首先用千斤頂以拉力F 拉伸鋼筋拉伸鋼筋(圖圖a)，然，然 后澆注混凝土后澆

28、注混凝土(圖圖b)。待混凝土凝固后，卸除拉力。待混凝土凝固后，卸除拉力F(圖圖c)，這時，混凝土受壓，鋼筋受拉，形，這時，混凝土受壓，鋼筋受拉，形 成預應力鋼筋混凝土。設拉力使鋼筋橫截面上產生的初應力成預應力鋼筋混凝土。設拉力使鋼筋橫截面上產生的初應力0=820MPa ，鋼筋與混凝土的彈，鋼筋與混凝土的彈 性模量之比為性模量之比為 8:1、橫截面面積之比為、橫截面面積之比為 1:30，試求鋼筋與混凝土橫截面上的預應力，試求鋼筋與混凝土橫截面上的預應力 解：由題義鋼筋原始長度比混凝土短解：由題義鋼筋原始長度比混凝土短 ,且有：且有： MPa A FN t 4 .647820 19 15 19 1

29、5 0 1 1 鋼筋橫截面上鋼筋橫截面上 預應力預應力(拉拉)為：為： 0 122 11 1 15 19 )1 ( A F AE AE A F NN l E l 1 0 0 混凝土凝固卸除拉力后，鋼筋和混凝土所受軸力大小相等，混凝土凝固卸除拉力后，鋼筋和混凝土所受軸力大小相等， 鋼筋受拉，混凝土受壓，且：鋼筋受拉，混凝土受壓，且： )(2)(1ct ll 即：即： 1 0 2211 E l AE lF AE lF NN MPa A F A F tNN c 6 .21 3030 1 12 2 混凝土橫截面混凝土橫截面 上預應力上預應力(壓壓)為：為： 3-1 試作圖示各軸的扭矩圖試作圖示各軸的扭

30、矩圖(單位單位: kNm)。 2 - + 2 T : 1 - + 2 T : + T : - 0.5 1 1 2 + T : moa 3-2圓軸的直徑圓軸的直徑d=100mm，承受扭矩，承受扭矩T=100kNm，試求距圓心，試求距圓心 d/8、d/4及及d/2處的切應力，并繪處的切應力，并繪 出橫截面上切應力的分布圖。出橫截面上切應力的分布圖。 解解：由扭轉切應力公式：由扭轉切應力公式： MPa d d Td I T p d 127 1 . 08 1010032 8 32 8 3 3 4 8/ d T MPa d d Td I T p d 255 1 . 04 1010032 4 32 4 3

31、 3 4 4/ MPa d T W T p d 509 1 . 0 101001616 3 3 3 max2/ 橫截面上切應力的分布如圖橫截面上切應力的分布如圖 3-11 圖示階梯形圓軸，裝有三個皮帶輪，軸徑圖示階梯形圓軸，裝有三個皮帶輪，軸徑d1=40mm、d2=70mm。已知由輪。已知由輪3輸入的功率輸入的功率 P3=30kW，由輪，由輪1和輪和輪2輸出的功率分別為輸出的功率分別為P1=13kW 和和P2=17kW，軸的轉速，軸的轉速n=200r/min，材料，材料 的許用切應力的許用切應力=60MPa，切變模量，切變模量G=80GPa，許用扭轉角，許用扭轉角 =2/m，試校核該軸的強度與

32、，試校核該軸的強度與 剛度。剛度。 解解：計算扭力矩：計算扭力矩： /77. 1 04. 01080 1807 .62032180 49 max m GI T pAC AC Nm n P M7 .620 200 13 95499549 1 1 4 . 49 04. 0 167 .620 3 1max MPa W T pAC AC 作扭矩圖，危險截面在作扭矩圖，危險截面在 AC 段或段或 DB 段：段： Nm n P M7 .811 200 17 95499549 2 2 Nm n P M4 .1432 200 30 95499549 3 3 - 620.7 1432.4 T: (Nm) 3 .

33、21 07. 0 164 .1432 3 2max MPa W T pDB DB 該軸滿足強度與剛度要求該軸滿足強度與剛度要求 3-13 已知鉆探機鉆桿的外徑已知鉆探機鉆桿的外徑D=60mm，內徑，內徑d=50mm，功率，功率P=7.35kW，轉速，轉速n=180r/min，鉆，鉆 桿入土深度桿入土深度l=40m，材料的，材料的G=80GPa， =40MPa。假設土壤對鉆桿的阻力沿長度均勻分布，。假設土壤對鉆桿的阻力沿長度均勻分布， 試求：（試求：（1）單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩；（）單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進行強度校核；）作鉆桿的扭矩圖，并進行強度校核； （3

34、）A、B兩截面的相對扭轉角。兩截面的相對扭轉角。 解解：求扭力矩：求扭力矩 NmM9 .389 180 35. 7 9549 0 76.17 )6/5(1 06. 0 9 .38916 43 max max MPa W T p mNm l M mMlm/75. 9 40 9 .389 0 000 （1）設阻力矩分布集度為）設阻力矩分布集度為 m0，由鉆桿的平衡條件：，由鉆桿的平衡條件：- 389.9 T：(Nm) （2）作扭矩圖，危險截面為）作扭矩圖，危險截面為 A 截面：截面： x （3）如圖取坐標系，有：）如圖取坐標系，有： xmxT 0 )( pp l p l p AB GI lM GI

35、 lm xx GI m x GI xT 22 dd )( 0 2 0 0 0 0 48. 8148. 0 )6/5(1 06. 010802 409 .38932 449 弧度 3-16 如圖所示，將空心圓桿（管）如圖所示，將空心圓桿（管）A套在實心圓桿套在實心圓桿B的一端。兩桿在同一橫截面處有一直徑相的一端。兩桿在同一橫截面處有一直徑相 同的貫穿孔，但兩孔的中心線構成一同的貫穿孔，但兩孔的中心線構成一角，現在桿角，現在桿B上施加扭力偶使之扭轉，將桿上施加扭力偶使之扭轉，將桿A和和B的兩的兩 孔對齊，裝上銷釘后卸去所施加的扭力偶。試問兩桿橫截面上的扭矩為多大？已知兩桿的極孔對齊，裝上銷釘后卸去

36、所施加的扭力偶。試問兩桿橫截面上的扭矩為多大？已知兩桿的極 慣性矩分別為慣性矩分別為 IpA和和 IpB，且材料相同，切變模量為，且材料相同，切變模量為G。 解解：一次超靜定：一次超靜定： TTT BA BA BpAApB pBpA BA pB B pA A lIlI IGI TTT GI Tl GI Tl 由平衡條件：由平衡條件： 由變形協調條件：由變形協調條件： 4-1 求圖示各梁指定截面求圖示各梁指定截面1-1、2-2、3-3上的剪力和彎矩。這些截面分別是梁上上的剪力和彎矩。這些截面分別是梁上A、B或或C點的點的 緊鄰截面。緊鄰截面。 解解：求支反力：求支反力： 9 7 1 ql FF

37、Ays 9 7ql FAy 2 1 qlM 由截面法由截面法： FAy 9 7 2 ql FF Ays 9 7 3 ql FF Ays 22 2 27 20 3 ql l FqlM Ay 22 3 27 20 3 ql l FqlM Ay 2 )3( 2 )(xa q xM 4-2 列出圖示各梁的剪力和彎矩方程，并繪其剪力圖和彎矩圖，并確定列出圖示各梁的剪力和彎矩方程，并繪其剪力圖和彎矩圖，并確定| FS |max，| M |max 及其及其 所在截面的位置。所在截面的位置。 解解：如圖建立坐標系：如圖建立坐標系： 4 5 4 qa F qa F ByAy ax20 4 )( qa FxF A

38、ys x FAy A B FBy x qa xFxM Ay 4 )( axa32 )3()(xaqxFs 2 2 maxmax qa MqaFs qa qa/4 - + FS : qa2/2 - M : 最大剪力在最大剪力在 B 支座右側截面，最大彎矩在支座右側截面，最大彎矩在 B 截面。截面。 4-3 利用微分關系，快速畫出圖示各梁的剪力圖和彎矩圖。利用微分關系，快速畫出圖示各梁的剪力圖和彎矩圖。 + qa Fs : qa2 qa2/2 + M : - + 5qa/4 3qa/4 qa/4 Fs : + - 9qa2/ 32 qa2/ 4 qa2 M : 15 - - + 10 5 Fs :

39、 ( kN ) - 20 40 10 1.25 M : ( kNm ) 4-4 畫圖示帶有中間絞各梁的剪力圖和彎矩圖。（提示：在中間絞處拆開求其作用力）。畫圖示帶有中間絞各梁的剪力圖和彎矩圖。（提示：在中間絞處拆開求其作用力）。 解解：求支反力：求支反力： 2 3 2 qa F qa F BD 作內力圖作內力圖 + - qa qa/2 Fs : + - qa2 / 2 qa2 / 2 M : FD FB 4-7 若已知圖示各簡支梁的剪力圖，且梁上均無集中力偶作用，試畫各梁的彎矩圖和載荷圖。若已知圖示各簡支梁的剪力圖，且梁上均無集中力偶作用，試畫各梁的彎矩圖和載荷圖。 解解： + M : qq

40、q qa2 qa2/2qa2/2 4-8 梁的正方形截面若處于圖示二種不同位置時，試求它們的彎矩之比。設兩者的最大彎曲梁的正方形截面若處于圖示二種不同位置時，試求它們的彎矩之比。設兩者的最大彎曲 正應力相等。正應力相等。 解解：求各截面的抗彎截面模量：求各截面的抗彎截面模量： 612 34 h W h I zaza 2 12/2 6/ 3 3 h h W W M M zb za b a zb b b za a a W M W M maxmax 由彎曲正應力公式：由彎曲正應力公式： 12 2 2/212 34 h h I W h I zb zbzb 由題義：由題義： maxmax ba zb b

41、 za a W M W M 即即 得得 4-10 圖示圓截面梁，外伸部分為空心管，試作其彎矩圖，并求其最大彎曲正應力。圖示圓截面梁，外伸部分為空心管，試作其彎矩圖，并求其最大彎曲正應力。 解解：作彎矩圖作彎矩圖 kNFAy357. 3 14 47 32/ 3 1max 1 1max 1max D M W M z 由彎矩圖，可能的危險截面為由彎矩圖，可能的危險截面為5kN 集中力集中力 作用處截面和作用處截面和B支座右側截面：支座右側截面： FAyFBy AB kNFBy643. 7 14 107 0.9 1.343 0.029 M : ( kNm ) - + MPaPa3 .63 06. 0

42、10343. 132 3 3 32/ )1 ( 43 2max 2 2max 2max D M W M z MPaPa1 .62 60/451 06. 0 109 . 032 4 3 3 MPa3 .63),max( 2max1maxmax 4-12 圖示為鑄鐵水平梁的橫截面，若其許用拉伸應力圖示為鑄鐵水平梁的橫截面，若其許用拉伸應力 t =20MPa，許用壓縮應力，許用壓縮應力 c=80MPa ，試求該截面可承受的最大正彎矩之值。，試求該截面可承受的最大正彎矩之值。 解解：如圖取坐標系，求形心主軸：如圖取坐標系，求形心主軸(中性軸中性軸)位置位置 mm A S yy z c 83.70 50

43、75100150 5 .87507575100150 1 2 3 )83.7075(100150 12 150100 z I )(854.25)( 1017.79 5859.2580 3 2 2max kNmNm y I My I M zc c z c 求截面對中性軸的慣性矩求截面對中性軸的慣性矩 y z z0 y1=yc y2 mmy17.7983.70150 2 462 3 105859.25)83.705 .87(5075 12 7550 m 正彎矩作用下截面上邊緣有最大壓應力，上邊緣有最大拉應力：正彎矩作用下截面上邊緣有最大壓應力，上邊緣有最大拉應力： )(225. 7)( 1083.

44、70 5859.2520 3 1 1max kNmNm y I My I M zt t z t )(225. 7)225. 7 ,854.25min(kNmM 4-15求圖示梁中隔離體（圖中陰影部分）各個面上的正應力和切應力的合力。求圖示梁中隔離體（圖中陰影部分）各個面上的正應力和切應力的合力。 解解：左側面：左側面： kNmMkNFs4840 0 F )(10 3 . 02 . 02 05. 02 . 010403 2 3 3* max kNxb A F x I SF xfF s z zs 右側面右側面： )(20 2 kN F F s )(240 3 . 02 . 04 3 . 02 .

45、010486 22 1 2 3 kN W Mh bF z kNmMkNFs5040 )(20 2 kN F F s )(250 3 . 02 . 04 3 . 02 . 010506 22 1 2 3 kN W Mh bF z 上側面上側面(中性層中性層)： 下側面及前后側面下側面及前后側面(自由表面自由表面)： 00 FF 4-18圖示懸臂梁由三塊圖示懸臂梁由三塊50mm100mm的木板膠合而成，在其自由端作用有橫力的木板膠合而成，在其自由端作用有橫力F。若已知木材。若已知木材 的的 =10MPa、 = 1MPa ，膠合縫上的，膠合縫上的 1 = 0.35MPa ，梁長，梁長l =1m，試求

46、許可載荷，試求許可載荷F。 解解：危險截面為固定端處：危險截面為固定端處： max max zz W Fl W M FFFlM s maxmax kNN l W F z 75. 3 6 15. 01 . 01010 26 由正應力強度條件：由正應力強度條件： 由切應力強度條件：由切應力強度條件： 2 3 2 3 max max A F A Fs kNN A F10 3 1 . 015. 0102 3 2 6 由膠合縫上切應力強度條件：由膠合縫上切應力強度條件： 1 * max 1 bI FS bI SF z z z zs kNN S bI F z z 94. 3 05. 01 . 005. 0

47、12 1 . 015. 01 . 01035. 0 36 * 1 kNF75. 3)94. 3,10,75. 3min( 4-20 當橫力當橫力F直接作用在圖示簡支梁直接作用在圖示簡支梁AB的中點時，梁內最大正應力超標的中點時，梁內最大正應力超標30%，為了安全，在，為了安全，在 其中部配置圖示輔助簡支梁其中部配置圖示輔助簡支梁CD，試求其最小長度，試求其最小長度a。 解解：橫力直接作用梁跨中和配置輔助梁后主梁內最大橫力直接作用梁跨中和配置輔助梁后主梁內最大 彎矩分別為彎矩分別為: 4 )( 4 1max0max alF M Fl M m l a39. 1 3 . 1 63 . 0 3 . 1

48、 3 . 0 3 . 1 1max 0max 1max 0max al l M M 由題義：由題義： 即：即： 5-2 試用積分求圖示各梁的撓度和轉角方程，并計算各梁截面試用積分求圖示各梁的撓度和轉角方程，并計算各梁截面A的撓度與轉角。已知各梁的的撓度與轉角。已知各梁的EI 為常量。為常量。 解解：取坐標系求彎矩方程取坐標系求彎矩方程(分段函數分段函數) ) 2 0( 22 3 8 9 )( 22 l x qxqlxql xM ) 2 0( l x 分別作兩次積分：分別作兩次積分： x x y ) 2 ( 2 )2/( 22 3 8 9 )( 222 lx llxqqxqlxql xM 1 3

49、2 2 1 64 3 8 9 )(Cx q x ql x ql xEI ) 2 (lx l 1 332 2 2 )2/( 664 3 8 9 )(Dlx q x q x ql x ql xEI 21 432 2 1 24416 9 )(CxCx q x ql x ql xEIy 21 4432 2 2 )2/( 2424416 9 )(DxDlx q x q x ql x ql xEIy 邊界條件：邊界條件：)2/()2/()2/()2/(0)0(0)0( 121211 lllylyy 5-2 試用積分求圖示各梁的撓度和轉角方程，并計算各梁截面試用積分求圖示各梁的撓度和轉角方程，并計算各梁截面

50、A的撓度與轉角。已知各梁的的撓度與轉角。已知各梁的EI 為常量。為常量。 ) 2 0( l x 由邊界條件：由邊界條件： x x y 0 11 CD )41827( 24 )( 22 1 xlxl EI qx x ) 2 (lx l )2448( 48 )( 22 2 xlxl EI ql x )21227( 48 )( 22 2 1 xlxl EI qx xy )641928( 384 )( 3223 2 xlxxll EI ql xy 則有：則有： 0 22 CD )( 48 25 )()( 128 45 )( 3 2 4 2 EI ql l EI ql lyy AA 5-3 用疊加法求圖

51、示各梁指定截面處的撓度與轉角，用疊加法求圖示各梁指定截面處的撓度與轉角，(a)求求 yC 、 C ；(b)求求yC 、 A 、 B 。 解解：(a)將將AB段視為剛化，相當于固定端段視為剛化，相當于固定端 EI ql EI aql ay BCBC 2424 3 22 3 22 EI aql EI aM C 2 0 1 EI aql EI aM yC 22 222 0 1 將將 BC 段視為剛化，段視為剛化，AB 梁相當于受均布載荷和一梁相當于受均布載荷和一 端集中力偶同時作用的簡支梁，分別計算端集中力偶同時作用的簡支梁，分別計算 q (1) ql2 ql2 (2) (3) EI ql EI a

52、ql EI laM ay BCBC 333 3 33 3 0 33 )( 24 )127( 3242 23322 221 EI alaql EI aql EI aql EI aql yyyy CCCC )( 24 )247( 324 2332 221 EI alql EI ql EI ql EI aql CCCC 5-3 用疊加法求圖示各梁指定截面處的撓度與轉角，用疊加法求圖示各梁指定截面處的撓度與轉角，(a)求求 yC 、 C ；(b)求求yC 、 A 、 B 。 解解：(b)分別計算各力單獨作用時位移，然后疊加分別計算各力單獨作用時位移，然后疊加 EI Fl EI lM yCM 1616 32 0 EI Fl EI Fl EI Fl y BFAFCF 161648 223 EI Fl EI lM EI Fl EI lM BMAM 66