1、35 導數(shù)的應用問題利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上的最大最小值，或利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點.本節(jié)內(nèi)容主要是指導考生對這種方法的應用.難點磁場()已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(x)=g(x)f(x),試問：是否存有實數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù).案例探究例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1時取得極值，且f(1)=1.(1)試求常數(shù)a、b、c的值；

2、(2)試判斷x=1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由.命題意圖：利用一階導數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入.是導數(shù)應用的關鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)關系的理解.屬級題目.知識依托：解題的成功要靠準確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結構實行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化.這是解答本題的閃光點.錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用f(1)=0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙.技巧與方法：考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值，再通過極值點與導數(shù)的關系，建

3、立由極值點x=1所確定的相等關系式，使用待定系數(shù)法求值.解：(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函數(shù)f(x)的極值點，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數(shù)的關系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當x1或x1時，f(x)0當1x1時，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù).當x=1時，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=1.例2在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40

4、 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？命題意圖：學習的目的，就是要會實際應用，本題主要是考查學生使用導數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及水平.知識依托：解決實際應用問題關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數(shù)學問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解.錯解分析：本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關系式.技巧與方法：根據(jù)題設條件作出圖形，分析各

5、已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化，構造相對應的函數(shù)關系.解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km,則BD=40,AC=50x,BC=又設總的水管費用為y元，依題意有：y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50x=20(km)供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.解法二：設BCD=Q,則BC=,CD=40cot,(0),AC=5040cot設總的

6、水管費用為f(),依題意，有f()=3a(5040cot)+5a=150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根據(jù)問題的實際意義，當cos=時，函數(shù)取得最小值，此時sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.錦囊妙計1.f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，若f(x)0,則f(x)是增函數(shù)；若f(x)0,則f(x)是減函數(shù).2.求函數(shù)的極值點應先求導，然后令y=0得出全部導數(shù)為0的點，(導數(shù)為0的點不一定都是極值點，例如：y=x3,當x=0時，導數(shù)是0，但非極值點)，導數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，

7、即兩邊的y的符號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數(shù)的極值點不一定在導數(shù)為0的點處取得，但可得函數(shù)的極值點一定導數(shù)為0.3.可導函數(shù)的最值可通過(a,b)內(nèi)的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導的點處取得，所以，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導數(shù)不存有的點的函數(shù)值實行比較，如y=|x|,在x=0處不可導，但它是最小值點.殲滅難點訓練一、選擇題1.()設f(x)可導，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A.可能不是f(x)的極值B.一定是f(x)的極值C.一定是f(x)的極小值D.等于02.()設函數(shù)fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數(shù)

8、)，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A.0B.1C. D.二、填空題3.()函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.4.()在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開時它的面積最大.三、解答題5.()設f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.6.()設x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.7.()已知a、b為實數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證：abba.8.()設關于x的方程2x2ax2

9、=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當a為何值時，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最小？科普美文新教材中的思維觀點數(shù)學科學具有高度的綜合性、很強的實踐性，持續(xù)的發(fā)展性，中學數(shù)學新教材打破原教材的框架體系，新增添了工具性、實踐性很強的知識內(nèi)容，正是發(fā)展的產(chǎn)物.新教材具有更高的綜合性和靈活多樣性，更具有朝氣與活力，所以，把握新教材的脈搏，培養(yǎng)深刻嚴謹靈活的數(shù)學思維，提升數(shù)學素質(zhì)成為燃眉之需.新教材提升與增添的內(nèi)容包括簡易邏輯、平面向量、空間向量、線性規(guī)劃、概率與統(tǒng)計、導數(shù)、研究型課題與實習作業(yè)等，這使得新教材中的知識內(nèi)容立體交

10、叉，聯(lián)系更加密切，聯(lián)通的渠道更多，并且富含更高的實用性.所以在高考復習中，要通過總結、編織科學的知識網(wǎng)絡，求得對知識的融會貫通，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系.做到以下幾點：一、深刻領會數(shù)學思想方法，把立足點放在提升數(shù)學素質(zhì)上.數(shù)學的思想方法是數(shù)學的精髓，只有使用數(shù)學思想方法，才能把數(shù)學的知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題與解決問題的水平，才能形成數(shù)學的素質(zhì).知識是水平的載體，領悟并逐步學會使用蘊含在知識發(fā)生發(fā)展和深化過程中，貫穿在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題過程中的數(shù)學思想方法，是從根本上提升素質(zhì)，提升數(shù)學科水平的必由之路，只有通過對數(shù)學思想方法的持續(xù)積累，持續(xù)總結經(jīng)驗，才能從知識型向水平型轉(zhuǎn)化，持續(xù)提升學習水平和學習水

11、平.二、培養(yǎng)用化歸（轉(zhuǎn)化）思想處理數(shù)學問題的意識.數(shù)學問題可看作是一系列的知識形成的一個關系鏈.處理數(shù)學問題的實質(zhì)，就是實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化，復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。雖然解決問題的過程不盡相同，但就其思考方式來講，通常將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至化歸為一類已解決或很容易解決的問題，從而求得原問題的解答.三、提升用函數(shù)方程思想方法分析問題解決問題的水平.函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象非數(shù)學的特性，用聯(lián)系和變化的觀點，建立各變量之間固有的函數(shù)關系.與這種思想相聯(lián)系的就是方程的思想，在解決數(shù)學問題時，將所求的量（或與所求的量相關的量）設成未知數(shù)，用它來表示問題

12、中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關系去列方程，以求得問題的解決.數(shù)學思維是科學思維的核心，思維的基石在于邏輯推理，邏輯思維水平是數(shù)學水平的核心，邏輯推理是數(shù)學思維的基本方法.我國著名的數(shù)學家華羅庚先生認為，學習有兩個過程：一個是“從薄到厚，一個是從厚到薄”，前者是“量”的積累，后者是“質(zhì)”的飛躍.雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越，只要同學們在學習中持續(xù)積累，持續(xù)探索，持續(xù)創(chuàng)新，定能在高考中取得驕人戰(zhàn)績！參考答案難點磁場解：(1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2

13、+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存有，則(x)=4x3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當x1時，(x)0即4x3+2(2)x0對于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當1x0時，(x)0即4x2+2(2)x0對于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當=4時，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存有.殲滅難點訓練一、1.解析：由=1,故存

14、有含有0的區(qū)間(a,b)使當x(a,b),x0時0,于是當x(a,0)時f(0)0,當x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B2.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1答案：D二、3.解析：函數(shù)的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x

15、2時，f(x)0.函數(shù)f(x)在(,2)上是減函數(shù).若0a1,則當x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù)答案：(,2)4.解析：設圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內(nèi)接三角形的面積為S=xh=從而令S=0,解得h=R,因為不考慮不存有的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S+0S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、5.解：f(x)=3ax2+1若a0,f(x)0對x(,+)恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛

16、盾.若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x),此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.a0且單調(diào)減區(qū)間為(,)和(,+)，單調(diào)增區(qū)間為(, ).6.解：f(x)=+2bx+1(1)由極值點的必要條件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程組可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x(2)f(x)=x-1x+1,當x(0,1)時，f(x)0,當x(1,2)時，f(x)0,當x(2,+)時，f(x)0,故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值ln2.7.證法一：bae,要證abba,只要證blnaalnb,設f(b)=blnaalnb(be),則f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函數(shù)f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函數(shù)，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaa