1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(教學(xué)實(shí)錄 )一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課師： 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，請回答：函數(shù)在xx0 處的導(dǎo)數(shù) f ( x0 ) 的含義？生：函數(shù)在 xx0 處的瞬時變化率 .f/x0limyf x0xf ( x0 )xlimxx 0x0師： 那么，用定義求導(dǎo)數(shù)分哪幾個步驟？同學(xué)們可參考教材第6 頁例 1.生：第一步：求平均變化率yfx0x f (x0 )；xx第二步：求瞬時變化率，即f /x0limyx 0x師： 非常好，并且我們從求導(dǎo)數(shù)的步驟中發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)數(shù)就是求平均變化率y當(dāng)x 趨近于 Ox時的極限 . 明確了導(dǎo)數(shù)的概念之后，今天我們來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.二、引導(dǎo)探究、獲得新知yyf (

2、x)y2y師： 觀察函數(shù) y=f(x)的圖象，平均變化率在圖中有Bxy y2 y1什么幾何意義？Ax x2x1生：平均變化率表示的是割線AB 的斜率 .y1師： 是的，平均變化率y的幾何意義就是割線的斜率 .x1x2xx師： P 是一定點(diǎn)， 當(dāng)動點(diǎn) Pn 沿著曲線 y=f(x) 趨近于點(diǎn) P 時，觀察割線 PPn的變化趨勢圖 .（多媒體顯示【動畫1】）1yx=6.90TyPxMOx0xx生：當(dāng)點(diǎn) Pn 沿著曲線 y=f(x) 趨近于點(diǎn) P 時，割線 PPn 趨近于在 P 處的切線 PT.師： 看來這位同學(xué)已經(jīng)預(yù)習(xí)了，他說的很對，“當(dāng)點(diǎn) Pn 沿著曲線y=f(x) 逼近點(diǎn) P 時，即x 0，割線

3、 PPn 趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT 稱為點(diǎn) P 處的切線 . ” 這就是切線的概念 .師：觀察圖，曲線y=f(x) 與它的割線有2 個交點(diǎn)，與它的切線PT 有 1 個交點(diǎn) .那么，能否根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)來判斷直線與曲線的位置關(guān)系？生：若曲線與直線有2 個公共點(diǎn)，則它們相交；若曲線與直線有1 個公共點(diǎn)，則它們相切 .y=f(x)yyLyl1l 2ABPTCox0xx2 ： 察 ， 指出（ 1）直 l1 與曲 L 是什么位置關(guān)系？（ 2）直 l2 與曲 L 是什么位置關(guān)系？生：直 l1 與曲 L 相交，直 l2 與曲 L 相切 . ：直 l 1 與曲 L 有唯一公共點(diǎn)但它不是

4、曲 的切 ，l 2 與曲 L 不只一個公共點(diǎn)，但它是曲 在 A 的切 . 所以，今后我 不能用曲 與直 公共點(diǎn)的個數(shù)來判斷它 的位置關(guān)系， 從定 出 . ： 由切 的定 可知，當(dāng)x0 ，割 PPn 近于切 PT .那么，割 PPn 的斜率 近于？生：切 PT 的斜率 .y ： 割 PPn 的斜率 kn，當(dāng)x0 ，切 PT 的斜率 k 就是？x生： klimyx0x ： 即 k limf x0x f ( x0 )f / x0 . 至此， 同學(xué) ， 數(shù) f / x0x 0x有什么幾何意 ？生： f / x0 是 PT的斜率 . ： 直 PT 是曲 yf ( x) 的？生：直 PT 是曲 yf (

5、x) 在 xx0 的斜率 . ： 同學(xué) 的非常好！（教 板 ） 數(shù)的幾何意 ：3函數(shù)在 xx0 的 數(shù)就是切 PT 的斜率 k ，即ylimf x0xf ( x0 )/x0k limxfx 0 xx0 ：那么， 通 數(shù)的幾何意 ，我 可以通 函數(shù)在某點(diǎn) 的 數(shù)，來得到其 像在 點(diǎn) 切 的斜率 . ： 出曲 yfx 在 x1,2,3 的切 的 斜角 .（ 1） f /11；（ 2） f / 20 （ 3） f / 33生： 450 、 00 、 1200四、知 用、鞏固理解 ： 例 1：求出曲 f (x)x2 在 x1 的切 方程 . 你 想怎 求切 方程呢?生：求出函數(shù)在x1 的 數(shù) f /

6、1 ，就知道了所求切 的斜率. ： 求切 的斜率之后呢？生：（ ，回答不出） ： 好，那我 不妨先求出斜率（教 板 ）k f (1) limf (1x)f (1)lim( x) 22 x 1 1lim( x 2) 2x0xx0xx 0那么，關(guān)于直 我 知道哪些信息？生： x1是切點(diǎn)的坐 ： 是切點(diǎn)的橫坐 ，那 坐 呢？也是1生：也是 1，切點(diǎn)的坐 （1， 1） ： 知道直 上一點(diǎn)的坐 和斜率，那么直 方程？生：點(diǎn)斜式 y 1 2( x1) ，即2x y 10 （學(xué)生回答，教 板 ）4師： 今后我們?nèi)绾吻笄€yf (x) 在 xx0 處的切線方程？生：（ 1）求出 f (x0 ) ，則f (x0

7、 ) 就是曲線在 xx0 切線的斜率；（ 2）求切點(diǎn)； (3) 寫出切線的點(diǎn)斜式方程， yf(x0 ) f (x0 )( xx0 )師： 同學(xué)們很棒！例2.如圖，它表示跳水運(yùn)動中高度隨著時間的變化的函數(shù)的圖像. 據(jù)圖回答問題 . 請描述、比較曲線h(t ) 在 t0 ， t1 ， t2 附近的變化情況 .生：作出曲線在這些點(diǎn)處的切線.師：曲線在 t0 處有怎樣的變化趨勢？生：不知道怎么表達(dá).師：我們觀察在 t0 處附近曲線幾乎與切線l0重合，所以，我們可以用切線的變化趨勢刻畫曲線在該點(diǎn)附近的變化情況，這種思想方法叫“以直代曲”. 那么， l 0 平行于x 軸，即 h (t0 )0 ，說明曲線在

8、t0 附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.師： 在 t1 ， t2 處呢？生：在 t1 ， t2 切線斜率 h (t1 )0 ， h (t 2 )0 ，所以，在 t1 ， t2 附近曲線下降，即函數(shù) h(t ) 在 tt1 ， t2 附近單調(diào)遞減 .師： 曲線在 t1 ， t2 處都是下降的，下降的速率一樣嗎？生：不一樣，在t 2 處都是下降的快 .師： 你們?nèi)绾蔚弥模可簣D像在 t1 處的切線傾斜程度小于在t2 處切線的傾斜程度，說明曲線在t1 附近比在 t 2 附近下降得緩慢.五、分層練習(xí)、提升能力（看學(xué)案）師： 曲線yx2 上有一點(diǎn) P，過 P 的切線平行于直線y=4x-5 ，求 P 的坐標(biāo) .5生：設(shè) P 的坐標(biāo)為 ( x0 , x0 2 ) ，yf x0x f (x0)x0x22x02x 4f (x ) limlimlimlim x 2x0xx00x 0 xx 0x 0x 0即 x0 2所以， P 的坐標(biāo)為 ( 2, 4)六、課堂小結(jié)師： 非常好！這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？生：（齊聲回答）一、切線的定義：當(dāng)點(diǎn) Pn 沿著曲線 yf (x) 逼近點(diǎn) P 時，即x0 ，割線 PPn 趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點(diǎn) P 處的切線 .二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù) f (x0 ) 就是