1、排列與組合基礎知識與習題一. 基礎知識(一) 計數原理1. 加法原理 : 完成一件事，共有 n 類辦法，在第一類中有 m1 種有不同的方法，在第 2 類中有 m2種不同的方法 在第 n 類型有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 N m1 m2mn 種不同的方法 .2. 乘法原理: 完成一件事，需要分成 n 個步驟，做第 1 步有 m1種不同的方法，做第 2 步有m2種不同的方法 做第 n 步有 mn種不同的方法；那么完成這件事共有 N m1 m2mn 種不同的方法 .3. 提示: 分類計數原理與 “分類 ”有關，要注意類與類之間所具有的獨立性和并列性； 分 步計數原理與 “分步”有關，要

2、注意步與步之間具有的相依性和連續性，應用這兩個原理進 行正確地分類、分步 , 做到不重不漏 .(二) 排列與組合1. 排列定義: 從n個不同的元素中任取 m (mn)個元素, 按照一定的順序排成一列 , 叫 做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個排列 .2. 排列計算公式： Anm n(n 1) (n m 1) (m n,n,m N) ; 規定 0! 13. 組合定義 : 從 n個不同的元素中任取 m (mn)個元素并成一組， 叫做從 n 個不同元素 中取出 m 個元素的一個組合 .m4. 組合計算公式 : Cmn Amnn!n Amm m!(n m)!兩個公式： Cmn Cn mnCmn

3、1 Cmn Cnm15. 排列與組合的區別 : 排列有順序關系，組合無順序關系 .(三) 含有相同元素的排列問題設重集S a1,a2, ,an有k個不同元素, 其中重復數為 n1,n2, ,nk, 則S的排列個數為nn!n1!n2!.nk!1!2!例如：設數字 3、2、2，求其排列個數 n 3! 3例如：數字 5、5、5、求其排列個數？其排列個數 n 3! 1. 3!二. 典型例題例 1 ( 排列問題 ) 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2) 甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端；(6)甲不站左端，乙不站右端例

4、1答案: (1) 法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間 4個位置上任選 1個，有 A14種 站法，然后其余 5 人在另外 5 個位置上作全排列有 A55種站法，根據乘法原理，共有站法： A41 A55 480.法二 由于甲不站兩端， 這兩個位置只能從其余 5個人中選 2個人站，有 A52種站法， 然后中間 4人有 A44種站法，根據乘法原理，共有站法： A52 A44 480.法三 若對甲沒有限制條件共有 A66 種站法，甲在兩端共 2 A55種站法，從總數中減去 這兩種情況的排列數，即共有站法： A66 2A55 480 .(2) 法一 (捆綁法) 先把甲、乙作為一個“整體”，和其余 4人

5、進行全排列有 A55種站法， 再把甲、乙進行全排列，有 A22 種站法，根據乘法原理，共有 A55A22 240.法二先把甲、乙以外的 4個人作全排列， 有A44種站法，再在 5個空檔中選出一個供 甲、乙放入，有 A51種方法，最后讓甲、乙全排列，有 A22種方法，共有 A44A51A22 240.(3) 法一 (插空法) 第一步先讓甲、乙以外的 4個人站隊，有 A44種站法；第二步再將 甲、乙排在 4 人形成的 5 個空檔(含兩端)中，有 A52種站法，故共有站法為 A44 A52 480 .法二 (間接法) 6個人全排列有 A66種站法，由 (2)已知甲、乙相鄰有 A55 A22 240

6、種站 法，所以不相鄰的站法有 A66 A55 A22 480.(4) 法一 先將甲、乙以外的 4 個人作全排列，有 A44種，然后將甲、乙按條件插入站隊，有 3A22 種，故共有 A442=144(種)站法 .法二先從甲、乙以外的 4 個人中任選 2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有然后把甲、乙及中間 2人看作一個 “大”元素與余下 2人作全排列有 A 33種方法，最后對甲、 乙進行排列，有 A 22 種方法，故共有 A 24 A 33 A 22 =144(種)站法 .再讓其他 4 人在中間位置A 44 =48(種)站法 .(5) 法一 首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有作全排列，有 A 44

7、 種，根據分步乘法計數原理，共有法二首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有 A 22種站法，然后考慮中間 4 個位 置，由剩下的 4人去站，有 A 44種站法，由分步乘法計數原理共有 A 22 A 44 =48(種)站法 .端的站法有(6) 法一甲在左端的站法有 A 55種，乙在右端的站法有 A 55種，且甲在左端而乙在右種，共有 A 66-2A 55 +A 44 =504(種)站法 .法二以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有A 55種站法，甲在中間 4 個位置之=504(種)站法 .，而乙不在右端有 A 14 A 14 A 44 種，故共有 A 55 +A 14 A 14例2 (組合問題) 男

8、運動員 6名，女運動員 4名，其中男女隊長各 1人.選派 5人外出 比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？(1) 男運動員 3 名，女運動員 2 名；(2)至少有 1 名女運動員；(3) 隊長中至少有 1 人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員 .例2答案: (1)第一步：選3名男運動員，有C63種選法. 第二步：選2名女運動員，有C24種C 42 =120 種選法.(2) “至少 1名女運動員”的反面為“全是男運動員 ”.從10人中任選 5人有C150種選法，其中全是男運動員的選法有 C65種. 所以“至少有 1名女運動員 ”的選法為 C150 -C 56=246.(3) 法一可分類求解：

9、 “只有男隊長”的選法為 C 48 ；“只有女隊長”的選法為 C84; “男、 女隊長都入選 ”的選法為 C 38 ；所以共有 2C48 +C 38 =196 種選法.法二 (間接法) 從10人中任選 5人有C150種選法. 其中不選隊長的方法有 C85種. 所 以“至少 1 名隊長”的選法為 C150 -C 58 =196種.(4) 當有女隊長時，其他人任意選，共有 C 94種選法. 不選女隊長時, 必選男隊長，共有 C84種選法. 其中不含女運動員的選法有 C54種，所以不選女隊長時的選法共有 C84 -C54 種選 法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有 C 49 +C 84 -C 54

10、 =191 種.例 3 (綜合問題 ) 4 個不同的球， 4 個不同的盒子，把球全部放入盒內 .(1) 恰有 1 個盒不放球，共有幾種放法？(2) 恰有 1 個盒內有 2 個球，共有幾種放法？(3) 恰有 2 個盒不放球，共有幾種放法？例3答案: (1)為保證“恰有1個盒不放球”，先從 4個盒子中任意取出去一個， 問題轉化為“4 個球， 3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？ ”即把 4 個球分成 2，1，1 的三 組，然后再從 3個盒子中選 1個放 2個球，其余 2個球放在另外 2個盒子內，由乘法原理， 共有 C14 C24C13A 22=144種.(2) “恰有 1 個盒內有 2 個

11、球”，即另外 3個盒子放 2個球，每個盒子至多放 1個球，也 即另外 3個盒子中恰有一個空盒，因此， “恰有 1個盒內有 2個球”與“恰有 1個盒不放球 ” 是同一件事，所以共有 144 種放法.A 22 種方法 . 故共有(3) 確定 2 個空盒有 C 24種方法. 4個球放進 2 個盒子可分成( 3，1)、(2，2)兩類，第一類有序不均勻分組有 C43C11A 22種方法；第二類有序均勻分組有43 C11A 22 +A22C224C=84 種.三. 當堂測試1. 從 5名男醫生、 4名女醫生中選 3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫 生都有，則不同的組隊方案共有 ( )A.70 種

12、B.80種C.100 種D.140 種2. 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四 人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工 作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 ( )A. 48 種 B.12 種C.18種D.36 種3. 從 0，1，2，3，4，5 這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字 的四位數的個數為 ( )A.48 B.12 C.180 D.1624. 甲組有 5名男同學， 3名女同學；乙組有 6名男同學， 2名女同學。若從甲、乙兩 組中各選出 2 名同學，則選出的 4 人中恰有

13、 1 名女同學的不同選法共有 ( )A，150種B， 180種C，300 種D，345種5. 甲、乙兩人從 4 門課程中各選修 2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1門不相同的 選法共有 ( )A.6 B.12 C.30 D.366. 用 0 到 9 這 10 個 數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為 ( )A.324 B.328 C.360 D.6487. 從 10 名大學畢業生中選 3 人擔任村長助理，則甲、乙 至少有 1 人入選，而丙 沒 有入選的不同選法的總數為 ( )A.85 B.56 C.49 D.28 8，將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，

14、且甲、 乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數為 ( )A.18 B.24 C.30 D.309，3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只 有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 ( )A.360 B.288 C.216 D.96當堂檢測答案1. 分為 2男 1女，和 1男 2女兩大類，共有 C52 C41 C51 C42 =70種，2. 合理分類，分為小張和小王恰有 1 人入選，先從兩人中選 1人，然后把這個人在 前兩項工作中安排一個， 最后剩余的三人進行全排列有 C21 C21 A33 種選法。小張和小趙都 入選，首先安排這兩個人，然后再剩余

15、的 3人中選 2人排列有 A32 A22種方法。共有24+12=36 種選法。解題策略 ：1.特殊元素優先安排的策略。 2.合理分類與準確分步的策略。3. 排列、組合混合問題先選后排的策略。3. 分為兩大類：含有 0，分步 1，從另外兩個偶數中選一個， C21 種方法， 2，從 3 個奇數中選兩個，有 C32種方法； 3，給 0 安排一個位置，只能在個、十、百位上選，有 C31 種方法； 4，其他的 3 個數字進行全排列，有 A33種排法，根據乘法原理共 C21 C32 C31 A33種 方法。不含 0，分步，偶數必然是 2，4 ；奇數有 C32種不同的選法，然后把 4 個元素全 排列，共 A

16、44 種排法，不含 0 的排法有 C32A44 種。根據加法原理把兩部分加一塊得 C21 C32 C31 A33 + C32 A44 =180.4. 解析： 4 人中恰有 1 名女同學的情況分為兩種，即這 1 名女同學或來自甲組，或來 自乙組，則所有不同的選法共有 C51C31C62 C52C61C21 種選法。5. 先讓甲、乙任意選擇兩門，有 C42 C42 種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況 去掉，兩個人全不相同，可以讓甲選兩門有 C42 種選法，然后乙從剩余的兩門選，有 C22 種 不同的選法，全不相同的選法是 C42 C22 種方法，所以至少有一門不相同的選法為 C42 C42C

17、42 C22 =30 種不同的選法。6. 第一類個位是零，共 A92 種不同的排法。第二類個位不是零，共 C41 C81 C81種不同的 解法。7. 合理分類，甲乙全被選中，有 C2 C7 種 選 法，甲乙有一個被選中，有 C2 C7 種不 同的選法，共 C22 C71 + C21 C72=49 種不同的選法。8. 將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，則共有 C42 種不同的分法，然后三組進行全排 列共 A33種不同的方法；然后再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共A33 種不同的排法。所以總的排法為 C42 A33 A33 =30種不同的排法。9. 分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優先考慮的

18、原則， 先考慮女生的問題， 先 從 3 個女生中選兩位，有 C32 種方法，然后再考慮順序，即先選后排，有 A22種方法；這樣選出兩名女生后，再考慮男生的問題，先把三個男生任意排列，有A32 中不同的排法，然后把兩個女生看成一個整體， 和另一個女生看成兩個元素插入 4 個位置中。有 A42種不同的排 法，共有 A22 C32 A33 A42種不同的排法。然后再考慮把男生甲站兩端的情況排除掉。甲可能站 左端，也可能是右端，有 C21種不同的方法，然后其他兩個男生排列有 A22 種排法，最后把 女生在剩余的三個位置中排列，有 A32種不同的排法。共 A22 C32 C21 A22 A32種不同的排法， 故 總的排法為 A22 C32 A33 A42 A22 C32 C12 A22 A32 =288種不同的方法。四. 解排列組