1、群的基本概念群的基本概念 目錄目錄 2 群的基本概念群的基本概念 2.1 群的定義群的定義 2.3 同構與同態同構與同態 2.2 群的乘法表群的乘法表 2.4 群的直積群的直積 2.6 分子點群的共軛分類分子點群的共軛分類 2.5 群元素的共軛分類群元素的共軛分類 2.1 群的定義群的定義 元素元素 A、B、C、. 組成集合組成集合 G，在集合，在集合 G 中定義有稱為中定義有稱為 乘法乘法 的的 某種組合運算，如果某種組合運算，如果 G 對該對該 乘法乘法 滿足以下四個條件，則集合滿足以下四個條件，則集合 G 構構 成群成群。 (1) 封閉性封閉性 A、B 為群為群 G 中的元素，如果：中的

2、元素，如果： AB = C 則則 C 也是群也是群 G 中的一個元素。中的一個元素。 (2) 結合律結合律 群元素相乘滿足乘法結合律，如：群元素相乘滿足乘法結合律，如： ABC = ( AB )C =A( BC ) (3) 恒等元素恒等元素 群中有且僅有一個恒等元素群中有且僅有一個恒等元素 E，且有：，且有： EX = XE = X 其中其中 X 為群中的任何元素。為群中的任何元素。 群元素的數目稱為群的階群元素的數目稱為群的階 h . (4) 逆元素逆元素 群中任一元素群中任一元素 X 都有一個逆元素都有一個逆元素 X-1 ，且逆元素，且逆元素 X-1 也也 是該群中的元素，且有：是該群中的

3、元素，且有： X X-1 = X-1 X = E 從數學的角度看，按一定規則聯系起來的任何元素的一個集合，從數學的角度看，按一定規則聯系起來的任何元素的一個集合， 如果滿足上述四個條件，就稱為群。群的特征不在于構成群的是何種如果滿足上述四個條件，就稱為群。群的特征不在于構成群的是何種 元素，而在于它們共同遵守著某種規則，這種規則反映了群元素之間元素，而在于它們共同遵守著某種規則，這種規則反映了群元素之間 的內在聯系。的內在聯系。 除除 0 以外的全體實數的集合對數的乘法構成群；（以外的全體實數的集合對數的乘法構成群；（1）任意兩實數之）任意兩實數之 積仍為實數，（積仍為實數，（2）數的乘法服從

4、結合律，（）數的乘法服從結合律，（3）恒等元為）恒等元為 1，（，（4） 逆元為其倒數。逆元為其倒數。 例例 1-1 實數加法群實數加法群 例例 1-2 實數乘法群實數乘法群 全體實數的集合對于數的加法構成群；（全體實數的集合對于數的加法構成群；（1）任意兩實數之和仍為實）任意兩實數之和仍為實 數，（數，（2）數的加法服從結合律，（）數的加法服從結合律，（3）恒等元為）恒等元為 0，（，（4）逆元為其）逆元為其 相反值。相反值。 例例 1-3 立正操立正操 例例 1-4 全體正整數的集合不能構成整數乘法群。盡管該集合滿足封全體正整數的集合不能構成整數乘法群。盡管該集合滿足封 閉性和結合律，也有

5、恒等元，但除閉性和結合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均無逆元。以外，其余元素均無逆元。 四個操練動作：立正，向右轉，向左轉，向后轉的集合構成群，如四個操練動作：立正，向右轉，向左轉，向后轉的集合構成群，如 果定義兩個動作的乘法為進行一個動作之后接著進行另一個動作。果定義兩個動作的乘法為進行一個動作之后接著進行另一個動作。 例例 1-5 全體實數的集合，雖然能構成實數加法群，但不能構成實數全體實數的集合，雖然能構成實數加法群，但不能構成實數 乘法群。因為其中的乘法群。因為其中的 0 無逆元。無逆元。 2.2 群的乘法表群的乘法表 群是按一定規律相互聯系著的元素的集合，這個規律就是所謂群

6、是按一定規律相互聯系著的元素的集合，這個規律就是所謂 的乘法。對一個有的乘法。對一個有 h 個元素的有限群來說，如果知道了所有可能的個元素的有限群來說，如果知道了所有可能的 乘積（乘積（h2 ）是什么，那么群元素之間的關系就一目了然，這個群就）是什么，那么群元素之間的關系就一目了然，這個群就 完全且唯一的被定義了。乘法表就是這樣一個概念。完全且唯一的被定義了。乘法表就是這樣一個概念。 對于一個有限群對于一個有限群 G 和群和群 G 中任意兩個元素的乘積關系以表格的中任意兩個元素的乘積關系以表格的 形式來表示，稱為乘法表。形式來表示，稱為乘法表。利用乘法表可以方便的進行群的運算。利用乘法表可以方

7、便的進行群的運算。 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列組成。列組成。列列寫在表的左邊，寫在表的左邊，行行在表的頂部。如：在表的頂部。如： B A E BAEG3 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列組成。列組成。列列寫在表的左邊，寫在表的左邊，行行在表的頂部。如：在表的頂部。如： 2）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定，）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定， 習慣上按照習慣上按照（列）（列）（行）（行）定義，即在定義，即在 x 列列和和 y 行行的交叉點上找到的交叉點上找到 的元素是的元素是 xy 的乘積。的乘積。 B A E BAEG

8、3 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列組成。列組成。列列寫在表的左邊，寫在表的左邊，行行在表的頂部。如：在表的頂部。如： 2）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定，）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定， 習慣上按照習慣上按照（列）（列）（行）（行）定義，即在定義，即在 x 列列和和 y 行行的交叉點上找到的交叉點上找到 的元素是的元素是 xy 的乘積。的乘積。行元素稱為右乘因子，先作用；列元素稱為左行元素稱為右乘因子，先作用；列元素稱為左 乘因子，后作用；兩者的乘積寫在交叉點上。乘因子，后作用；兩者的乘積寫在交叉點上。 B A E BAEG3 1

9、）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列組成。列組成。列列寫在表的左邊，寫在表的左邊，行行在表的頂部。如：在表的頂部。如： 2）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定，）因為乘法一般是不可交換的，對乘法的次序需作出一致的規定， 習慣上按照習慣上按照（列）（列）（行）（行）定義，即在定義，即在 x 列列和和 y 行行的交叉點上找到的交叉點上找到 的元素是的元素是 xy 的乘積。的乘積。行元素稱為右乘因子，先作用；列元素稱為左行元素稱為右乘因子，先作用；列元素稱為左 乘因子，后作用；兩者的乘積寫在交叉點上。乘因子，后作用；兩者的乘積寫在交叉點上。 2 2 3 BBABEB ABA

10、AEA EBEAEE BAEG B A E BAEG3 重排定理重排定理 在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能有由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能有 任意兩列全同。任意兩列全同。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。 重排定理重排定理 重排定理能幫助構建乘法表。如三階（抽象）群：重排定理能幫助構建乘法表。如三階（抽象）群： 在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每

11、一個群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能有由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能有 任意兩列全同。任意兩列全同。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。 BB AA BAEE BAEG3 重排定理重排定理 重排定理能幫助構建乘法表。如三階（抽象）群：重排定理能幫助構建乘法表。如三階（抽象）群： 在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一個群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能

12、有由此可見，不可能有兩個行全同，也不可能有 任意兩列全同。任意兩列全同。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。每一個行和每一個列都是群元素的一個重新排列。 BB AA BAEE BAEG3 AEBB EBAA BAEE BAEG3 例例 2-1 二階點群二階點群 si CCCG, 22 抽象的看，只有一個可能的二階群，它具有下列乘法表。這個抽象的看，只有一個可能的二階群，它具有下列乘法表。這個 群用符號群用符號 G2 表示。表示。 EAA AEE AEG2 例例 2-2 三階點群三階點群 G3 也只有一種可能：也只有一種可能： AEBB EBAA BAEE BAEG3 例例 2-2 三階

13、點群三階點群 G3 也只有一種可能：也只有一種可能： AEBB EBAA BAEE BAEG3 循環群：循環群：G = |a1, a2, an = E|。上述。上述 G3 群是循環群的一個例子。群是循環群的一個例子。 AA = A2 = B, AB = A3 = E 1） 四階循環群四階循環群 ： 例例 2-3 四階群有兩個四階群有兩個： )1( 4 G BAECC AECBB ECBAA CBAEE CBAEG )1( 4 1） 四階循環群四階循環群 ： 例例 2-3 四階群有兩個四階群有兩個： )1( 4 G BAECC AECBB ECBAA CBAEE CBAEG )1( 4 AA =

14、 A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = E BA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = A CA = A4 = E, CB = A5 = A, CC = A6 = B 2） 四階群四階群 ： 例例 2-3 四階群有兩個四階群有兩個： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 2） 四階群四階群 ： 例例 2-3 四階群有兩個四階群有兩個： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 這個群的特點是每個群元素的逆都是其自身。這個群的特點是每個群元素的逆都是

15、其自身。 2） 四階群四階群 ： 例例 2-3 四階群有兩個四階群有兩個： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 可對易（可對易（Abel）群：）群：任意兩群元素的乘積是可對易的，任意兩群元素的乘積是可對易的，aiaj =ajai。 上述例子都是上述例子都是 Abel 群的例子。群的例子。 這個群的特點是每個群元素的逆都是其自身。這個群的特點是每個群元素的逆都是其自身。 例例 2-4 C2v 群群 E E ECC CEE CEC YZYZ XZXZ YZXZ YZXZv ZZ Z Z )()( )( )( 22 2 22 例例 2-4 C2v

16、群群 E E ECC CEE CEC YZYZ XZXZ YZXZ YZXZv ZZ Z Z )()( )( )( 22 2 22 EC CE ECC CEE CEC Z Z ZZ Z Z XZYZYZ YZXZXZ XZYZ YZXZ YZXZv )( )( )()( )( )( 2 2 22 2 22 例例 2-5 S3 置換群置換群 S3 置換群是三個數碼置換群是三個數碼 1，2，3 的所有可能的置換，共有的所有可能的置換，共有 6 個群個群 元素：元素： 231 321 23 123 321 13 312 321 12 213 321 132 132 321 123 321 321 E

17、 群元素相乘相當于進行一次置換后，再進行一次置換。群元素相乘相當于進行一次置換后，再進行一次置換。 置換群的群元素相乘彼此不對易，作用的先后次序是重要的：置換群的群元素相乘彼此不對易，作用的先后次序是重要的： 先右邊先右邊，再左邊再左邊（action in turn !）。如）。如 132 213 321 123 321 312 321 1312 123 132 321 312 321 123 321 1213 由此可得到由此可得到 S3 置換群的乘法表。置換群的乘法表。 E)()()()()()( )(E)()()()()( )()(E)()()()( )()()()(E)()( )()()

18、(E)()()( )()()()()(EE )()()()()(ES 13212313231212 12313223121313 13212312132323 231213132123123 132312123132132 121323123132 121323123132 3 S3 置換群表：置換群表： C3v 群的群元素與群的群元素與 S3 置換群的置換群的 群元素存在一一對應關系。這群元素存在一一對應關系。這 個對應關系可通過右圖分析得個對應關系可通過右圖分析得 出。如：出。如： 例例 2-6 C3v 群群 C3v 群的群元素作用下三個數碼的置換群的群元素作用下三個數碼的置換 213 3

19、21 321 321 1 3 C C3v 群的群元素作用下三個數碼的置換群的群元素作用下三個數碼的置換 C3v 群的群元素與群的群元素與 S3 置換群的置換群的 群元素存在一一對應關系。這群元素存在一一對應關系。這 個對應關系可通過右圖分析得個對應關系可通過右圖分析得 出。如：出。如： 例例 2-6 C3v 群群 213 321 321 321 1 3 C 根據兩個群的群元素的對應關系可以得到根據兩個群的群元素的對應關系可以得到 C3v 的群表：的群表： ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 1 3 2

20、3 )2()1()3()3( 2 3 1 3 )1()3()2()2( 1 3 2 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 2.3 同構與同態同構與同態 如如 例例 2-1 中的中的 C2 群、群、Ci 群、群、Cs 群三個群同構。群三個群同構。 兩個群，如果其群元素數目相同（兩個群，如果其群元素數目相同（同階群同階群），而且乘法關系相同），而且乘法關系相同 （有相同的乘法表有相同的乘法表），則稱這兩個群），則稱這兩個群同構同構，即有相同的結構。，即有

21、相同的結構。 如如 C3v 群與群與 S3 群同構。此外，還有群同構。此外，還有 Cnv 群與群與 Dn 群同構，群同構，O 群與群與 Td 群同構。群同構。 同構與同態在構造群表和群的特征標表中作用很大。同構與同態在構造群表和群的特征標表中作用很大。 如果兩個群的群元素之間存在如果兩個群的群元素之間存在 1 對對 m 的關系，則這兩個群同態。的關系，則這兩個群同態。 如如 G2 群與群與 C3v 群同態，存在著群同態，存在著 1 對對 3 的關系。從乘法表的區域分布的關系。從乘法表的區域分布 可以看出：可以看出： )3( )2( )1( 2 3 1 3 v v v A C C E E 2.4

22、 群的直積：直積群群的直積：直積群 2.4.1 子群子群 因為有相同的乘法關系，子群因為有相同的乘法關系，子群 H 與群與群 G 有相同的單位元素。有相同的單位元素。 若一個群若一個群 H 的群元素皆包含于另一個群的群元素皆包含于另一個群 G 之中，就稱群之中，就稱群 H 是群是群 G 的子群。的子群。 或者說，群或者說，群 H 的階為的階為 h，群，群 G 的階為的階為 g，且，且 h g，H G。就稱群就稱群 H 是群是群 G 的子群。的子群。 如果一個群如果一個群 G 中一部分元素的集合（子集合）對于群中一部分元素的集合（子集合）對于群 G 的乘法是封的乘法是封 閉的，即：閉的，即： H

23、abHbaif , 則稱則稱 H 為群為群 G 的子群。的子群。 如果一個群如果一個群 G 中一部分元素的集合（子集合）對于群中一部分元素的集合（子集合）對于群 G 的乘法是封的乘法是封 閉的，即：閉的，即： HabHbaif , 則稱則稱 H 為群為群 G 的子群。的子群。 群群 G 的階的階 g 必是子群必是子群 H 的階的階 h 的整數倍。的整數倍。 2.4.2 群的直積群的直積 這個定義很容易推廣到多個直因子的直積的情況。這個定義很容易推廣到多個直因子的直積的情況。 設有設有 2 個群個群 H1 = am 、H2 = bn ，如果兩個群的任意兩個元素是可，如果兩個群的任意兩個元素是可

24、對易的：對易的：aibj = bjai ，則可以定義一個大群則可以定義一個大群 G （直積群）是（直積群）是 H1 與與 H2 的直積，表示為：的直積，表示為： 21 HHG 直積群直積群 G 的元素的元素 gk = aibj （k = 1, 2, , mn）。顯然，。顯然， H1 、H2 是是 G 的子群，叫做直積群的子群，叫做直積群 G 的直因子。的直因子。 例例 1 C6 群包含群包含 C2 子群和子群和 C3 子群。子群。 236 1 6 5 6 1 2 3 6 2 3 4 6 1 3 2 66 ) ( ) ( ) ( : CCCCCCC CCCCEC 例例 2 C3h 群包含群包含

25、C3 子群和子群和 CS 子群。子群。 例例 1 C6 群包含群包含 C2 子群和子群和 C3 子群。子群。 236 1 6 5 6 1 2 3 6 2 3 4 6 1 3 2 66 ) ( ) ( ) ( : CCCCCCC CCCCEC Shhhh h CCCCC CCEC 33 2 3 1 3 2 3 1 33 : 例例 3 D2h 群包含群包含 D2 子群和子群和 Ci 子群。子群。 ih XYXZYZ ZYX h CDD i CCCED 22 2222 : 此外，還有：此外，還有： 例例 3 D2h 群包含群包含 D2 子群和子群和 Ci 子群。子群。 ih XYXZYZ ZYX h

26、 CDD i CCCED 22 2222 : hihi OCOTCT 后面我們會看到，直積群的性質很容易由它的直因子的性質導出。后面我們會看到，直積群的性質很容易由它的直因子的性質導出。 因此，只要有可能，我們總是愿意把一個群分解成較簡單的群的直因此，只要有可能，我們總是愿意把一個群分解成較簡單的群的直 積。積。 直積群有如下性質：直積群有如下性質： 2）直積群的一部分直因子的乘積仍是它的直因子。）直積群的一部分直因子的乘積仍是它的直因子。 1）各個直因子的交（即共同的元素）只有單位元素。）各個直因子的交（即共同的元素）只有單位元素。 2.5 群元素的共軛分類群元素的共軛分類 其中其中 X 為

27、群中任意元素，則稱為群中任意元素，則稱 A 與與 B 共軛。共軛。 如果群中的兩個元素存在如下的相似變換關系：如果群中的兩個元素存在如下的相似變換關系： B X A X 1 2.5 群元素的共軛分類群元素的共軛分類 其中其中 X 為群中任意元素，則稱為群中任意元素，則稱 A 與與 B 共軛。共軛。 如果群中的兩個元素存在如下的相似變換關系：如果群中的兩個元素存在如下的相似變換關系： 相互共軛的群元素的一個完整集合稱為群的類。相互共軛的群元素的一個完整集合稱為群的類。 B X A X 1 群元素的共軛分類比較復雜，但有規律可循：群元素的共軛分類比較復雜，但有規律可循： 3）反映：）反映： h 永

28、遠自成一類；永遠自成一類； n v 的分類相對復雜，有時同屬一類，有時則分屬兩類。的分類相對復雜，有時同屬一類，有時則分屬兩類。 1）恒等操作）恒等操作 E 總是自成一類總是自成一類 2）反演）反演 i 總是自成一類總是自成一類 當當 n v 分屬兩類時，一類稱為分屬兩類時，一類稱為 v，另一類可稱為，另一類可稱為 v 或或 d。 4）轉動）轉動 （1）循環群中的）循環群中的 操作每一個自成一類。操作每一個自成一類。 132 , , , n nnnn CCCC 4）轉動）轉動 （2）在所有其他對稱性較高的群中，）在所有其他對稱性較高的群中， 歸屬一類，歸屬一類， （1）循環群中的）循環群中的

29、操作每一個自成一類。操作每一個自成一類。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 自成一類。自成一類。 4）轉動）轉動 （2）在所有其他對稱性較高的群中，）在所有其他對稱性較高的群中， 歸屬一類，歸屬一類， （1）循環群中的）循環群中的 操作每一個自成一類。操作每一個自成一類。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 2/ n n C 自成一類。自成一類。 （3）非真轉動）非真轉動 Sn 的分類情況與的分類情況與 Cn 相似。相似。 4）轉動）轉動 （2）在所有其他對稱性較高的群中，）在所有其他對稱性較高的群中， 歸屬一類，歸屬一

30、類， （1）循環群中的）循環群中的 操作每一個自成一類。操作每一個自成一類。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 2/ n n C 根據乘法表可以對群元素進行共軛分類。根據乘法表可以對群元素進行共軛分類。以以 C3v 群為例說明。群為例說明。 5）如果二個對稱操作可以借助另一個對稱操作交換位置（或彼此到）如果二個對稱操作可以借助另一個對稱操作交換位置（或彼此到 達），則這二個操作同屬一類。如達），則這二個操作同屬一類。如 C3v 群中的群中的 3 個豎直的鏡面個豎直的鏡面 v。 6）同構群的群表相同，共軛分類（當然！）相同。）同構群的群表相同，共軛分類（當然

31、！）相同。 這是對稱群的類的幾何意義：這是對稱群的類的幾何意義：相互共軛的對稱操作，本質上是相互共軛的對稱操作，本質上是 相同的操作。相同的操作。 ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 2 3 1 3 )2()1()3()3( 1 3 2 3 )1()3()2()2( 2 3 1 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 依據依據 C3v 群表：群表： 1 3 1

32、3 1 CECE 1 3 1 3 1 3 1 3 CCCC 1 3 2 3 1 3 2 3 CCCC 2 3 )1(1 3 )1( CC vv 2 3 )2(1 3 )2( CC vv 2 3 )3(1 3 )3( CC vv 由此可見，由此可見，C13 和和 C23 共軛，同屬一類；同理可得，共軛，同屬一類；同理可得，3 個個 v 同屬一類；同屬一類； E 則自成一類。則自成一類。 C3v 群有群有 3 個共軛類。個共軛類。 ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 2 3 1 3 )2()1()3()3(

33、 1 3 2 3 )1()3()2()2( 2 3 1 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 依據依據 C3v 群表：群表： 1 3 1 3 1 CECE 1 3 1 3 1 3 1 3 CCCC 1 3 2 3 1 3 2 3 CCCC 2 3 )1(1 3 )1( CC vv 2 3 )2(1 3 )2( CC vv 2 3 )3(1 3 )3( CC vv 2.6 分子點群的共軛分類分子點群的共軛分類 1）Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群的

34、群元素各自成一類。群的群元素各自成一類。 Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群均屬）群均屬 Abel 群（可對易群），群元素相乘群（可對易群），群元素相乘 彼此對易：彼此對易： iii AAXXXAX 11 故每個群元素自成一類。共軛類數等于群的階。故每個群元素自成一類。共軛類數等于群的階。 自成一類，自成一類， 同屬一類，共同屬一類，共 類，類， 2）Cnv 與與 Dn 群的共軛類群的共軛類 （1）n 為奇數時為奇數時 E mn n m n CC & 2 3 1 2 1 1 nn 2)1( n n v 同屬一類，共有：同屬一類，共有： 自成一類，自成一類， 同屬一類，共同屬一類，共 類，類， 2）Cnv 與與 Dn 群的共軛類：群的共軛類：Dn 與與 Cnv 群同構，共軛分類相同，只需群同構，共軛分類相同，只需 將將 v 改為改為 C2 即可。即可。 如上例，如上例， C3v 群共有群共有 3 個類。個類。 （1）n 為奇數時為奇數時 E mn n m n CC & 2 3 1 2 1 1 nn 2)1( n n v 同屬一類，共有：同屬一類，共有： 為一類，共有：為一類，共有： 自成一類，自成一類， 同屬一類，共同屬一類，共 類，類， 自成一類，自成一類， （2）n 為偶數時為偶數時 E mn n m n CC & 3 2 4 2