1、導數的概念及運算10 / 8知識點一：函數的平均變化率(1) 概念： 函數1中，如果自變量.1在I處有增量，那么函數值y也相應的有增量厶y=f(x .+ x)-f(x o)，其比值叫做 坪二傀+ &)-伽)函數:從則到血+ x的平均變化率，即肛Ax。Ax _/()-/Ui)若兒 ，二 v 一一；，則平均變化率可表示為，- 一，稱為函數一 從1到的平均變化率。注意： 事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值； 函數的平均變化率表現函數的變化趨勢，當丄丄取值越小，越能準確體現函數的變化情況。 二是自變量；在處的改變量， Ax*O ；而3 是函數值的

2、改變量，可以是0。函數的平均變化率是 0，并不一定說明函數 /W 沒有變化，應取丄更小考慮。(2) 平均變化率的幾何意義函數 =/W 的平均變化率- vi的幾何意義是表示連接函數y=/to 圖像上兩點割線的斜率。如圖所示，函數AB的斜率。事實上，:-作用：根據平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率。知識點二：導數的概念：i.導數的定義：對函數：，在點 處給自變量x以增量函數y相應有增量A嚴佩+加)-他)若極限存在，則此極限稱為在點:處的導數，記作 /偏或兒崛 ，此時也稱在點-處可導。即：_L.（或.）注意： 增量二可以是正數，也可以是負數； 導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限

3、，即瞬時變化率。2. 導函數：如果函數 y 二/W 在開區間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數,從而構成了一個新的函數：1,稱這個函數為函數在開區間內的導函數，簡稱導數。注意：函數的導數與在點處的導數不是同一概念，是常數，是函數在-處的函數值，反映函數 .門在二：附近的變化情況。3. 導數幾何意義：（1）曲線的切線A則有備=伽爐空曲線上一點P（x。，yo）及其附近一點Q（x+Ax,y0+Ay），經過點P、Q作曲線的割線PQ其傾斜角為當點Q（x+Ax,y卄厶y）沿曲線無限接近于點 P（xo，y。），即 x-0時，割線PQ的極限位置直線 PT叫做曲線在點P處的切線。若切線的

4、傾斜角為左，則當 x-0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。L Ay j. 了仏丿tm 0 Im = Im 即：丄-i. ,（2）導數的幾何意義:函數:在點xo的導數 /Vo） 是曲線 y = /W 上點（ 心佩）處的切線的斜率注意:若曲線處的導數不存在，但有切線，則切線與/.軸垂直，切線與軸正向夾角為銳角;/W0，切線與軸正向夾角為鈍角;/W=o切線與丄軸平行（3）曲線的切線方程如果在點；I可導，則曲線在點（；7廠心）處的切線方程為:4. 瞬時速度：物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概

5、念。如果物體的運動規律滿足 s=s(t)(位移公式)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+ t這段時間內，當 t T0時平均速度的極限，即丄如果把函數- 看作是物體的位移公式)，導數 i的瞬時速度規律方法指導1如何求函數的平均變化率求函數的平均變化率通常用“兩步”法： 作差：求出 -和丄丄 - -1 作商：對所求得的差作商，即： 一：注意： _ 了(可)-了佃)_ 了(可+&)-了佃)(1) 4二：-，式子中二、 的值可正、可負，但乩的值不能為零，Ay的值可以為零。若函數 /為常數函數時，二!(2)在式子與二1 是相對應的“增量”，即在 Am時，Ay二他|卜血)妙_/佃+&)-/01

6、)(3) 在式子二一.：中，當】取定值，丄取不同的數值時，函數的平均變化率不同；當 二丄取定值，1取不 同的數值時，函數的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數在一點處的導數(1) 利用導數定義求函數在一點處的導數，通常用“三步法”計算函數的增量：iy _/(x1+Ax)-/(x1)求平均變化率： 一.： ；你)二血 *俶+網一您)取極限得導數：Ax 曲斗 oAx(2) 利用基本初等函數的導數公式求初等函數的導數。3. 導數的幾何意義設函數“；1在點的導數是u表示曲線“在點(.人)處的切線的斜率。 設匚 二I是位移關于時間的函數，則 =lq,表示物體在二二時刻的瞬時速度; 設1二一是速度關于時間

7、的函數，則；匚.表示物體在二訂時刻的加速度；4. 利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出丨 ；:在處的導數.;利用直線方程的點斜式得切線方程為 尸肝/譏)A咼)類型一：求函數的平均變化率求1一I 1在到-I之間的平均變化率，并求I. I時平均變化率的值思路點撥：求函數的平均變化率，要緊扣定義式V(州+&)-/(州)ci、.進行操作.舉一反三：【變式1】求函數y=5x2+6在區間2，2+丄內的平均變化率。【變式2】已知函數，分別計算在下列區間上的平均變化率:(1) 1，3；(2) 1，2；(3) 1，1.1；(4) 1，1.001.【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s

8、，3.01s，3.001s各段內的平均速度(位移s的單位為m)【變式4】過曲線 y 二 m 上兩點 m和 JI 作曲線的割線，求岀當 Ax=0.1 時割線的斜率類型二：利用定義求導數02、用導數的定義，求函數丄、二在x=1處的導數。舉一反三:【變式1】已知函數（1）求函數在x=4處的導數.y = -H4 廠 I)（2）求曲線二上一點:處的切線方程。【變式2】利用導數的定義求下列函數的導數:3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點撥：從函數在一點處的導數定義可求得函數y=x3+2x在x=1處的導數值，再由導數的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數可得切點坐標，從而建立切線方程

9、.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線：（1）平行于直線y=4x 5；（2）垂直于直線 2x 6y+5=0 ；（3）與x軸成135的傾斜角。知識點三：常見基本函數的導數公式（1）1：（C為常數），（n為有理數），/(x) = sinx，廣=f(x)cosx，/(x) = -smi5-/, ； - -（7）.f. ,_ ,（8）t * 知識點四：函數四則運算求導法則設U 工 均可導（1）和差的導數： %）士酗丄廣士殊）（2）積的導數： g卜廣盹（力+ /（帖（3）商的導數:r/Wj . =（X）麗_ 咯面 （魚）工0 ）知識點五：復合函數的求導法則兀二譏兀或幾處）1二他）卿即復合函數

10、 尸耐 對自變量x的導數y n，等于已知函數對中間變量八 二的導數.,乘以中間變量對自變量丄的導數1注意：選擇中間變量是復合函數求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函 數。規律方法指導i 求復合函數的導數的一般步驟 適當選定中間變量，正確分解復合關系； 分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）； 把中間變量代回原自變量（一般是X）的函數。整個過程可簡記為分解一一求導一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。類型一：利用公式及運算法則求導數1、求下列函數的導數：1y（i）(4) y=2x33x2+5

11、x + 4舉一反三:【變式】求下列函數的導數：_ 廠 = -2sin-(l-2cos3-)(1) 一 - -J ;(2)_(3) y=6x3 4x2+9x 62、求下列各函數的導函數XH- COSX(1)匸-11U.(2) y=x2sinx;(3) y=i一： 一 ;(4) y=-二J+1舉一反三：【變式1】函數 尸(蓋+1)匕7 在._處的導數等于()A 1B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數的導數(1)：一 丄】廠 ，： _ 1 ;(2)【變式3】求下列函數的導數.尸心+ 尸(&+1)(厶7(1)；(2)；(3)二類型四：復合函數的求導3、求下列函數導數1(3)(1)rrr；舉一反三:【變式1】求下列函數的導數:(1)J :譏.(3) y=ln (x+ -I );(4)一廣：- 1類型五：求曲線的切線方程34、求曲線y=x +2x在x=1處的切線方程舉一反三：【變式1】求曲線在點匚處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知 一 T. _ 4 是曲線y 上的兩點，則與直線 PQ 平行的曲線八的切線方程是,【變式3】已知曲線，- J .（1）求曲線上橫坐標為1的點處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線 是否還有其他的公共點?