1、初中數學尺規作圖專題講解 張遠波 尺規作圖是起源于古希臘的數學課題 . 只使用圓規和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平 面幾何作圖題 . 平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規 . 在歷史上最先明確提出尺規限制的是伊諾皮迪斯.他發現以下 作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等. 這件事的重要性并不在于這個角的實際作出，而是 在尺規的限制下從理論上去解決這個問題 . 在這以前，許多作圖題是不限工具的 . 伊諾皮迪斯以后，尺規的 限制逐漸成為一種公約，最后總結在幾何原本之中 . 初等平面幾何研究的對象， 僅限于直線、 圓以及由它們 （或一部分） 所組成的圖形， 因此作圖的工具， 習慣上

2、使用沒有刻度的直尺和圓規兩種 . 限用直尺和圓規來完成的作圖方法， 叫做尺規作圖法 . 最簡單的尺 規作圖有如下三條： 經過兩已知點可以畫一條直線； 已知圓心和半徑可以作一圓； 兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點； 以上三條，叫做作圖公法 . 用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規可以作出第二條公法所說 的圓；用直尺和圓規可以求得第三條公法所說的交點. 一個作圖題，不管多么復雜，如果能反復應用上述 三條作圖公法，經過有限的次數，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規作圖可能問題；否則， 就稱為尺規作圖不能問題 . 歷史上，最著名的尺規作圖不能問題是：

3、三等分角問題：三等分一個任意角； 倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍； 化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積 . 這三個問題后被稱為 “幾何作圖三大問題 ”. 直至 1837 年，萬芝爾（ Pierre Laurent Wantzel ）首先證明三 等分角問題和立方倍積問題屬尺規作圖不能問題； 1882 年，德國數學家林德曼（ Ferdinand Lindemann ）證 明n是一個超越數（即n是一個不滿足任何整系數代數方程的實數），由此即可推得根號 n即當圓半徑r 1 時所求正方形的邊長）不可能用尺規作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個尺規作圖不

4、能問題. 若干著名的尺規作圖已知是不可能的，而當中很多不可能證明是利用了由19 世紀出現的伽羅華理論 . 盡管如此，仍有很多業余愛好者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角最受注意. 數學 家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結集成書 . 還有另外兩個著名問題： 正多邊形作法 只使用直尺和圓規，作正五邊形 只使用直尺和圓規，作正六邊形 只使用直尺和圓規，作正七邊形 一一這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手 無策，因為正七邊形是不能由尺規作出的 . 只使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以

5、把一個角 分成三等份的 . 問題的解決：高斯，大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，并給出了可用尺規作圖的正多 邊形的條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是 2 的非負整數次方和不同的費馬素 數的積，解決了兩千年來懸而未決的難題 . 四等分圓周 只準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分這個問題傳言是拿破侖波拿巴出的，向全法國 數學家的挑戰 尺規作圖的相關延伸： 用生銹圓規（即半徑固定的圓規）作圖 1只用直尺及生銹圓規作正五邊形 2生銹圓規作圖，已知兩點 A、B，找出一點C使得AB BC CA. 3已知兩點A、B，只用半徑固定的圓規，求作C使C是線段AB的中點 4尺規作圖，是古希臘人按盡可能簡

6、單”這個思想出發的，能更簡潔的表達嗎？順著這思路就有了更簡潔 的表達.10世紀時，有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖 1672年，有人證明：如果把 作直線 解釋為 作出直線上的2點”那么凡是尺規能作的， 單用圓規也能作出！ 從已知點作出新點的幾種情況： 兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點，在已有一個圓的情況下，那么凡是尺規能作的，單用直尺也 能作出！ 五種基本作圖： 初中數學的五種基本尺規作圖為: 1做一線段等于已知線段 2做一角等于已知角 3做一角的角平分線 4.過一點做一已知線段的垂線 5做一線段的中垂線 下面介紹幾種常見的尺規作圖方法： 軌跡交點法：解作圖題的一種常見方法解作圖題常歸

7、結到確定某一個點的位置 如果這兩個點的位置 是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，那么這個點的位置就不確定而形成一個軌 跡；若改變放棄另一個條件，這個點就在另一條軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點 這個利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌 跡法 【例1】 電信部門要修建一座電視信號發射塔，如下圖，按照設計要求，發射塔到兩個城鎮A、B的距離 P應修建在什么位置? G 【分析】 這是一道實際應用題，關鍵是轉化成數學問題，根據題意知道，點 P應滿足兩個條件，一是在線 段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點 P應是它們的交點 【解析】 作兩條公路

8、夾角的平分線 0D或0E ； 必須相等，到兩條高速公路 m、n的距離也必須相等，發射塔 作線段AB的垂直平分線FG ;則射線0D , OE與直線FG的交點C1 , C2就是發射塔的位置. 【例2】 在平面直角坐標系中，點 A的坐標是（4，0），O是坐標原點，在直線 AOP是等腰三角形，這樣的 P點有幾個？ y x 3上求一點P，使 【解析】 首先要清楚點P需滿足兩個條件，一是點 P在y x 3上；二是 AOP必須是等腰三角形其次, 尋找P點要分情況討論，也就是當 OA OP時，以O點為圓心，OA為半徑畫圓，與直線有兩個 點R、P2 ;當OA AP時，以A點為圓心，OA為半徑畫圓，與直線無交點；

9、當 PO PA時，作 OA的垂直平分線，與直線有一交點Pa，所以總計這樣的 P點有3個. 【例3】 設OO與OO相離，半徑分別為 R與R，求作半徑為r的圓，使其與 OO及OO外切 r 【分析】 設OM是符合條件的圓，即其半徑為r，并與OO及OO外切，顯然，點 M是由兩個軌跡確定 的，即M點既在以O為圓心以R r為半徑的圓上，又在以 O為圓心以R r為半徑的圓上，因 此所求圓的圓心的位置可確定 若OO與OO相距為b，當2r b時，該題無解，當2r b有唯一 解；當2r b時，有兩解. 【解析】 以當OO與OO相距為b , 2r b時為例: 作線段OA R r , OB R r . 分別以O, O

10、為圓心，以R r , R r為半徑作圓，兩圓交于 MM?兩點. 連接OMi，OM2，分別交以R為半徑的OO于D、C兩點 分別以Mi , M2為圓心，以r為半徑作圓 OMi,OM2即為所求 【思考】若將例3改為：設OO與OO相離，半徑分別為R與R,求作半徑為r （r R）的圓，使其與OO 內切，與OO外切 ”又該怎么作圖？ 代數作圖法：解作圖題時，往往首先歸納為求出某一線段長，而這線段長的表達式能用代數方法求出， 然后根據線段長的表達式設計作圖步驟用這種方法作圖稱為代數作圖法 【例4】 只用圓規，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心） 【分析】設半徑為1 可算出其內接正方形邊長為2 ,也就是說用這個

11、長度去等分圓周 我們的任務就是做 出這個長度六等分圓周時會出現一個 .3的長度設法構造斜邊為,3，一直角邊為1的直角三角 形，2的長度自然就出來了 【解析】具體做法： 隨便畫一個圓設半徑為1. 先六等分圓周這時隔了一個等分點的兩個等分點距離為一3 以這個距離為半徑，分別以兩個相對的等分點為圓心，同向作弧，交于一點（兩個相對的 等分點”其實就是直徑的兩端點啦！兩弧交點與兩個相對的等分點”形成的是一個底為 2,腰 為3的等腰三角形可算出頂點距圓心距離就是 過D作DE MN，交OO于E , 以DE為一邊作正方形 DEFG 正方形DEFG即為所求 【例6】 在已知直線I上求作一點M，使得過M作已知半徑

12、為 r的OO的切線，其切線長為 Mim2 【分析】 先利用代數方法求出點 M與圓心0的距離d，再以0為圓心，d為半徑作圓，此圓與直線 I的交 點即為所求 以0為圓心，0B為半徑作圓 若此圓與直線I相交，此時有兩個交點 Mi , M2. Mi , M2即為所求 若此圓與直線I相切，此時只有一個交點 M M即為所求 若此圓與直線I相離，此時無交點即不存在這樣的 M點使得過M作已知半徑為r的O0的切 線，其切線長為a . 旋轉法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點旋轉適當角度，以使已知圖形與所 求圖形發生聯系，從而發現作圖途徑 【例7】已知：直線a、b、c ,且a II b II c

13、. 求作：正 ABC，使得 A、B、C三點分別在直線 a、b、c上. 【分析】 假設 ABC是正三角形，且頂點A、B、C三點分別在直線a、b、c上.作AD b于D，將ABD 繞A點逆時針旋轉60后，置于 ACD的位置，此時點D的位置可以確定從而點C也可以確定 再作 BAC 60 , B點又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出 【解析】作法： 在直線a上取一點A，過A作AD b于點D ; 以AD為一邊作正三角形 ADD; 過D作DC AD，交直線c于C ; 以A為圓心，AC為半徑作弧，交b于B （使B與D在AC異側） 連接AB、AC、BC得 ABC ABC即為所求 【例8】 已知：如圖，P為

14、AOB角平分線OM上一點 PD，且C在0A上，D在0B上 【解析】 過P作PE OB于E. 過P作直線I II OB； PE（或 PM PE）； I ），交 0A于 C （或 C）點; 在直線|上取一點M，使得PM 過M （或M ）作MC I （或M C 連接PC（或PC），過P作PD PC （或PD PC）交0B于D （或D）點 連接 PD,CD （或 PD,CD）. 則 PCD（或 PCD）即為所求 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個條件，作出與其位 似的圖形，然后利用位似變換，將這個與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件, 從而作出滿足全部的條件

15、【例9】已知：一銳角 ABC. 求作:一正方形 DEFG，使得D、E在BC邊上，F在AC邊上，G在AB邊上 AA 【分析】 先放棄一個頂點F在AC邊上的條件，作出與正方形DEFG位似的正方形 DEFG，然后利用 位似變換將正方形 DEFG放大（或縮小）得到滿足全部條件的正方形DEFG . 【解析】作法： 在AB邊上任取一點 G，過G作GD BC于D 以GD為一邊作正方形 DEFG，且使E在BD的延長線上 作直線BF 交AC于F 過F分別作FG II FG交AB于G ;作FE II FE交BC于E. 過G作GD II GD交BC于D. 則四邊形DEFG即為所求 面積割補法作圖： 對于等積變形的作

16、圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個三角形，再借 助平行線補上一個等底等高的另一個三角形，使面積不變，從而完成所作圖形 【例10】如圖，過 ABC的底邊BC上一定點, P，求作一直線I，使其平分 ABC的面積 A BPC A 【分析】因為中線AM平分 ABC的面積，所以首先作中線 AM，假設PQ平分 ABC的面積，在 AMC 中先割去 AMP，再補上 ANP 只要 NM II AP，貝U AMP 和 AMP就同底等高，此時它們的面 積就相等了 所以PN就平分了 ABC的面積 【解析】作法: 取BC中點M，連接AM , AP; 過M作MN / AP交AB于N ; 過P、N作直線I . 直

17、線I即為所求 【例11】如圖：五邊形ABCDE可以看成是由一個直角梯形和一個矩形構成 請你作一條直線I，使直線I平分五邊形ABCDE的面積； 這樣的直線有多少條？請你用語言描述出這樣的直線. 【解析】 取梯形AFDE的中位線MN的中點0,再取矩形BCDF對角線的交點O，則經過點O, O的 直線I即為所求； 這樣的直線有無數條設中的直線I交AE于Q，交BC于R，過線段RQ中點P，且與線段 AE、BC均有交點的直線均可平分五邊形ABCDE的面積 【例12】（07江蘇連云港）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果 匹 匹，那么稱點C為線段AB的 AB AC 黃金分割點. 某研究小組在進行課題學習時，

18、由黃金分割點聯想到黃金分割線”，類似地給出 黃金分割線”的 定義：直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 s , S2，如果 邑, S S1 那么稱直線I為該圖形的黃金分割線. 研究小組猜想：在厶ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2）,則直線CD是厶ABC 的黃金分割線你認為對嗎？為什么？ 請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？ 研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交 AB于點E ,再過點 D作直線 DF / CE，交AC于點F ,連接EF （如圖3），則直線EF也是 ABC的黃金分割線請你說 明理由. 如圖4，點E是 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點 E作EF /