1、幾何概型教學設計哈爾濱市第五十八中學高二學年數(shù)學備課組 發(fā)引導 形成概 念初步運用 示例練 習 環(huán) 節(jié) 教學內容設置 設計 意圖 一、創(chuàng)設情境引入新課 有利于 設 師：上節(jié)課我們共同學習了概率當中的古典概型，請同學們回想一下其 培養(yǎng)學 問 中所包含的主要內容，并依據(jù)此舉一個生活當中的古典概型的例子。 生思維 激 生甲：擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，求擲得奇數(shù)點的概率。 的完整 疑 師：請同學們判斷這個例子是古典概型嗎？你判斷的依據(jù)是什么？ 性,也為 生乙：是古典概型，因為此試驗包含的基本事件的個數(shù)是有限個，并且 學生歸 創(chuàng) 每個基本事件發(fā)生的可能性相等。 納方程 設 師：非常好，下面允許老師也舉

2、一個例子，請同學們作以判斷。 與函數(shù) 情 * 的關系 打下基 境 礎. 啟 jH-jT# 把具體 討論探究 揭示定 的結論 推廣到 一般情 況,向學 生滲透 從最簡 單、最熟 悉的問 題入手 解決較 復雜問 題”的思 維方法, 培養(yǎng)學 生的歸 納能力 利用辨 析練習， 來加深 學生對 概念的 理解目 的要學 生明確 零點是 一個實 數(shù)，不是 一個占 I 八、 引導學 生得出 三個重 要的等 價關系， 體現(xiàn)了 轉化”和 數(shù)形結 教學目標 一、知識與技能目標 (1) 通過學生對幾個幾何概型的實驗和觀察，了解幾何概型的兩個特點。 (2) 能識別實際問題中概率模型是否為幾何概型。 (3) 會利用幾何概

3、型公式對簡單的幾何概型問題進行計算。 二、過程與方法 讓學生通過對幾個試驗的觀察分析，提煉它們共同的本質的東西，從而親歷幾何 概型的建構過程，并在解決問題中，給學生尋找發(fā)現(xiàn)、討論交流、合作分享的機會。 三、情感態(tài)度與價值觀 通過設置幾個具體試驗，引導學生積極探索、深入思考，在幾何概型建構的過 程中提高他們的興趣和愛好以及求實的科學態(tài)度，進一步體會數(shù)學對自然和社會所產(chǎn) 生的作用。 教學重點 幾何概型的特點，幾何概型的識別，幾何概型的概率公式。 教學難點 建立合理的幾何模型求解概率。 教學過程與操作設計如圖:把一塊木板平均分成四部分，小球隨機的掉到木板上，求小球掉在 陰影區(qū)域內的概率。 生丙：此試

4、驗不是古典概型，因為此試驗包含的基本事件的個數(shù)有無數(shù) 多個。 師：非常好，此試驗不是古典概型，由此我們可以看到，在我們的生活 中確實存在著諸如這樣的不是古典概型的實際問題， 因此我們有必要對 這樣的問題作進一步更加深入的學習和研究。 今天這節(jié)課我們在學習了 古典概型的基礎上再來學習幾何概型。 那到底什么是幾何概型，它和古 典概型有聯(lián)系嗎？在數(shù)學里又是怎樣定義的呢？為此，我們接著來看剛 才這個試驗。 試驗一 師：請同學們根據(jù)我們的生活經(jīng)驗回答此試驗發(fā)生的概率是多少? 生丁：四分之一 師：很好，那你是怎樣得到這個答案的呢？ 生丁：就是用陰影的面積比上總面積。 師：非常好，下面我們再來看圖中的右邊這

5、種情形，現(xiàn)在陰影的面積仍 是總面積的四分之一，只不過陰影的形狀及其位置發(fā)生了變化， 那么此 時小球落在陰影區(qū)域內的概率又是多少？ 生丁：仍是四分之一，還是用陰影的面積比上總面積。 師：非常好，請坐。我們梳理一下我們剛才的發(fā)現(xiàn)。首先此試驗所包含 的基本事件的個數(shù)為無數(shù)多個，并且每個基本事件發(fā)生的可能性相等， 而所求的概率就是用陰影的面積比上總面積， 所以此概率僅與陰影的面 及有關系，而與陰影的形狀和位置并無關系。 試驗二 在500ml的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2 ml水樣放到顯微鏡 下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率 師：首先請同學們觀察這個試驗跟剛才那個試驗有沒有共同本質的東 第3頁共3頁 2

6、0cm20cm 合”的數(shù) 學思想， 這也是 解題的 關鍵 通過小 組討論 完成探 究，教師 恰當輔 導，引導 觀 察 感 知 例 題 學 學 生 大 膽 猜 想 出 函 數(shù) 零 占 八、 存 在 性 的 判 疋 方 法 .這 樣 設 計 既 符 合 學 生 的 認 也 讓 學 生 經(jīng) 歷 從 特 殊 到 -一一 般 過程 引 導 學 生 思 考 如 何 應 用 疋 理 來 解 決 相 關 的 具 /、 體 問 題: ,接 、辛、 :著 讓 學 生 知特點, 知識運用 嘗試練 習 反思小結 培養(yǎng)能力 課后作業(yè) 自 我們把滿足上述條件的試驗稱為幾何概型，參照上述三個試驗請給出 幾何概型的定義。 2

7、、幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域 的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度 量（長度、面積或體積）成正比，而與 A的位置和形狀無關。滿足以上 條件的試驗稱為幾何概型。 在幾何概型中，事件A的概率定義為 P（A）A 其中 表示區(qū)域的幾何度量，A表示 區(qū)域A的幾何度。 3、古典概型和幾何概型的比較 利用計 算器完 成對應 值表，然 后禾1用 函數(shù)單 調性判 斷零點 的個數(shù)， 并借助 函數(shù)圖 象對整 個解題 思路有 一個直 觀的認 識 通過反 饋練習， 使學生 初步運 用定理 來解決 函數(shù)零 點存在 或所在 區(qū)間”這 一類問 題. 對新知 識的理 解需要 一個不 斷深化 完善的 過程，通 過練

8、習， 進行數(shù) 古典概型 幾何概型 所有基本事件的個數(shù) 有限個 無限個 每個基本事件發(fā)生的 可能性 等可能 等可能 概率的計算公式 P(A)- n P(A) 4、怎樣求幾何概型的概率 對于復雜的實際問題，解題的關鍵是要建立模型，找出隨機事件與所有基 本事件相對應的幾何區(qū)域，把問題轉化為幾何概率問題，利用幾何概率公 式求解. 利用幾何概型的定義判斷該問題能否轉化為幾何概型求解； 把基本事件空間轉化為與之對應的區(qū)域Q; 把隨機事件A轉化為與之對應的區(qū)域 A; 利用幾何概型概率公式計算。 三、幾何概型的應用 練一練 在面積為S的厶ABC邊AB上任取一點卩,求厶PBC的面積大于13 的概率。 在高產(chǎn)小麥

9、種子100ml中混入了一粒帶銹病的種子，從中隨機取出 3ml，求含有麥銹病種子的概率是多少？ 生戊：此試驗所包含基本事件的個數(shù)仍是無限多個， 每個基本事件發(fā)生 的可能行都相等。 師：所求的概率是多少？ 生戊：就是用取出的水樣的體積比上總體積，答案是五百分之二。 試驗三 取一根長為60厘米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長 都不少于20厘米的概率有多大？ 請同學首先思考討論，老師作以分析如下： 首先此試驗所包含的基本事件的個數(shù)仍是無限多個，并且每個基本事件 發(fā)生的可能性都相等。現(xiàn)在把這根繩子抽象為一條線段，因此每做一次 隨機試驗就可以理解為在對應這條線段上取一個點，也就是說一次隨機

10、試驗就可以理解為線段上的一個點，那基本事件空間就可以理解為這條 線段，因此此試驗的本質就是在此線段上取一個點，能夠使得事件A 發(fā)生，所以現(xiàn)在問題的關鍵是線段上找到可以使事件 A發(fā)生的點。 老師通過實物的演示幫助學生在線段上找到可以使事件A發(fā)生的點。 師:通過剛才的演示我們可以發(fā)現(xiàn)，當取到的點在A、B之間的時候能 夠使得事件A發(fā)生，因此這個問題又可以理解為：在此線段上取一點 當這個點在A、B之間的時候的概率是多少？ 生己：就是用線段AB的長度比上總長度，答案是三分之一。 老師對此問題作以小結： 在剪刀剪的次數(shù)可以是無限多次的情況下， 通過建立等量替代關系，在 “每剪一次一繩子上一點”對應基礎上，

11、順次建立“無數(shù)次隨即剪一線 段上所有點”，“剪數(shù)量一線段長度”對應關系，在“數(shù)（次數(shù)）-形 （點）一數(shù)（長度）”轉換過程中，解決無限性無法計算的問題。這 樣對應是內在的，邏輯的，因此建立的度量公式是合理的。 二、幾何概型的建構 1想一想 以上三個試驗共同點： 所有基本事件的個數(shù)都是無限多個。 每個基本事件發(fā)生的可能性都相等。 三個試驗的概率是怎樣求得的？ 師：簡單的說所求概率就是它們的面積之比、體積之比和長度之比，具 體的說，就是把基本事件空間理解為一個區(qū)域，不妨記為Q,而事件A 可以理解為它的一個子區(qū)域，而所求的概率就是用子區(qū)域A的幾何度量 （長度、面積、體積）比上區(qū)域Q的幾何度量。 答案: 學思想 方法的 小結，可 使學生 更深刻 地理解 數(shù)學思 想方法 取一個邊長為2a的正方形及其內切圓（如圖），隨機向正方形內丟 一粒豆子，求豆子落入圓內的概率。 學生自主小結 老師總結 今天我們通過觀察分析發(fā)生在我們生活中的三個試驗，得到了它們 共同的本質的東西，定義了幾何概型，通過幾何模型的建立，從而實 現(xiàn)了無限和無限的對接，進而歸納出幾何概型的概率