1、第十七講二元一次不定方程的解法我們知道，如果未知數的個數多于方程的個數，那么，一般來說，它的解往往是不確定 的，例如方程x-2y=3，方程組Jk + y + z = 100x 4-3y+ 23=180等，它們的解是不確定的像這類方程或方程組就稱為不定方程或不定方程組.不定方程（組）是數論中的一個古老分支，其內容極其豐富我國對不定方程的研究已延 續了數千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數”的解法被稱為中國剩余定理.近 年來，不定方程的研究又有新的進展學習不定方程，不僅可以拓寬數學知識面，而且可以 培養思維能力，提高數學解題的技能.我們先看一個例子.例 小張帶了 5角錢去買橡皮和鉛筆，橡

2、皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好 買幾塊橡皮和幾支鉛筆？解設小張買了 x塊橡皮，y支鉛筆，于是根據題意得方程3x+11y=50.這是一個二元一次不定方程從方程來看，任給一個x值，就可以得到一個y值，所以它的解有無數多組.但是這個問題要求的是買橡皮的塊數和鉛筆的支數，而橡皮的塊數與鉛筆的支數只能是 正整數或零，所以從這個問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負整數解.因為鉛筆每支1角1分，所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數 只能是0，1, 2，3，4支，即y的取值只能是0，1, 2, 3, 4這五個.若y = 則囂二斗，不是整數，不合題意；若y = liz = 13

3、,符合題意i若y = 2, RUx = y ,不是整數，不臺題意；若y=3，則x=17/3，不是整數，不合題意；若y=4，則x=2，符合題意.所以，這個方程有兩組正整數解，即Jk = 2, = 13 卜* （y = l-也就是說，5角錢剛好能買2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆.像這個例子，我們把二元一次不定方程的解限制在非負整數時，那么它的解就確定了.但是否只要把解限制在非負整數時，二元一次不定方程的解就一定能確定了呢？不能！現舉例 說明.例求不定方程x-y=2的正整數解.解我們知道：3-1=2, 4-2=2, 5-3=2,，所以這個方程的正整數解有無數組，它們是其中n可以取一切自

4、然數.因此，所要解的不定方程有無數組正整數解，它的解是不確定的.上面關于橡皮與鉛筆的例子，我們是用逐個檢驗的方法來求它們的非負整數解的，但是 這種方法在給出的數比較大的問題或者方程有無數組解的時候就會遇到麻煩.那么能不能找 到一個有效而又方便的方法來求解呢？我們現在就來研究這個問題，先給出一個定理.定理 如果a，b是互質的正整數，c是整數，且方程ax+by=c 有一組整數解X。，yo則此方程的一切整數解可以表示為rx =x0 - bty=y+at,X.其中 t=0， 1， 2， 3，.證 因為xo, yo是方程的整數解，當然滿足axo+byo=c，因此a(xo-bt)+b(y +at)=ax

5、+by=c.這表明x=xo-bt，y=yo+at也是方程的解.設xz，y /是方程的任一整數解，則有ax7 +bxz =c.-得a(x 7 -xo)=b 7 (y / -yo).由于(a，b)=1，所以a | y -y。，即y =y+at，其中t是整數.將y =y+at代入，即 得 x7 =xo-bt .因此 x7， y 7 可以表示成 x=xo-bt，y=yo+at 的形式，所以 x=xo-bt，y=yo+at 表示方程的一切整數解，命題得證.有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解.例1求11x+15y=7的整數解.解法1將方程變形得x=11 因為x是整數，所以7-15y

6、應是11的倍數.由觀察得xo=2, yo=-1是這個方程的一組整數 解，所以方程的解為t為整數-Jx = 2 -15tT (y 二 J +1 It,解法2先考察11x+15y=1，通過觀察易得所以11 X (-4)+15 X (3)=1，11X (-4X 7)+15 X (3 X 7)=7，可取 Xo=-28，yo=21 .從而t為整數.x = -28 - 15t,y=21-Fllt,可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數組整數解，由于求出的特 解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的將解中的 參數t做適當代換，就可化為同一形式.例2求方程6x+2

7、2y=90的非負整數解.解 因為（6，22）=2,所以方程兩邊同除以2得3x+11y=45.由觀察知，xi=4，yi=-1是方程3x+11y=1 的一組整數解，從而方程的一組整數解為rs0 = 45 X 4 = 180,ly0=45X （J）由定理，可得方程的一切整數解為（x = 180 -1 It,= -45 + 3t.因為要求的是原方程的非負整數解，所以必有J180-llt03由于t是整數，由，得15 t 0, (2+7t0.解不等式，得t只能取0, 1因此得原方程的正整數解為= 卜=6,(y = 2, |y = 9,當方程的系數較大時，我們還可以用輾轉相除法求其特解，其解法結合例題說明.

8、 例4求方程37x+107y=25的整數解.解 107=2 X 37+33,37=1X33+4，33=8X 4+1.為用37和107表示1,我們把上述輾轉相除過程回代，得1=33-8X 4=37-4-8X 4=37-9X 4=37-9X (37-33)=9 X 33-8X 37=9X (107-2X 37)8 X 37= 9X 107-26X 37=37X (-26)+107X 9.由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一組整數解.于是 X0=25X (-26)=-650，y=25X 9=225 是方程37x+107y=25的一組整數解.所以原方程的一切整數解為fx = -

9、65O-107t,y = 225 + 37t,辰峻例5某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方 法？解 設需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142.所以142-72“2x-2y = = 2S -X + - = 28 -耳由于7x 142,所以x20,并且由上式知5 | 2(x-1).因為(5，2)=1，所以5 | x-1，從 而x=1, 6, 11, 16,的非負整數解為|y = 27； I y = 20j y = 13;= 6.所以，共有4種不同的支付方式.說明 當方程的系數較小時，而且是求非負整數解或者是實際問題時，這時候的解的組數往往

10、較少，可以用整除的性質加上枚舉，也能較容易地解出方程.多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程.例6求方程9x+24y-5z=1000的整數解.解 設9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000.于是原方程可化為= t,13t5z=W00t用前面的方法可以求得的解為彳rQ是整數.y = -t + 3utL的解為2嚮+J滉整數.z = 1000 +消去t，得x = 6000 - 8u +U,y = -2000 + 3u - 5vt 山碩是整數-z = 1000 + 3v,li.大約1500年以前，我國古代數學家張丘建在他編寫的張丘建算經里，曾經提出并解 決了“百錢買百雞”這個有

11、名的數學問題，通俗地講就是下例.例7今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只.用100個錢買100只雞,問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解設公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組px + 3y + l/3z-100,|x + y + z = lCX).化簡得15x+9y+z=300 .-得 14x+8y=200，即 7x+4y=100.解 7x+4y=1 得X = -1,y=2.于是7x+4y=100的一個特解為坯=-100, y0 = 200.由定理知7x+4y=100的所有整數解為由題意知，0vx, y, zv 100,所以fo -100+4t10030200-7t10

12、0.r25t50,解得彳2414-t28-.77A故25t28- +7由于t是整數，故t只能取26, 27, 28,而且x, y, z還應滿足x+y+z=100.t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三種情況：4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只 小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞.練習十七1. 求下列不定方程的整數解：(1) 72x+157y=1 ;9x+21y=144 ;(3)103x -91y= 5.2. 求下列不定方程的正整數解：(1)3x -5y=19; (2) 12x+5y=125 .3. 求下列不定方程的整數解：(1)5x+8y+19z=50 ; 39x -24y+9z=78.4 .求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整數解.5.求不定方程組+ 7y + 2z = 24,伍-y 4 二4的正整數解.倚窗遠眺，目光目光盡處必有一座山，那影影綽綽的黛綠色的 影，是春天的顏色。周遭流嵐升騰，沒露出那真實的面孔。面對那流轉的薄霧，我會幻想， 那里有一個世外桃源。在天階夜色涼如水的夏夜，我會靜靜地，靜靜地，等待一場流星雨的 來臨許下一個愿望，不乞求去實現，至少，曾經，有