1、精品資料歡迎下載一元二次不等式的解法及線性規劃【知識梳理】1一元二次不等式的解法(1) 將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數大于零的不等式ax2 + bx + c 0(a0)或2ax + bx+ c v 0( a 0).(2) 求出相應的一元二次方程的根. 利用二次函數的圖象與 x軸的交點確定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表：判別式2 , = b 4ac 0= 0v 0二次函數 y= ax2 + bx土 c ( a 0)的圖象iy01= 0)的根有兩相異實根xi - x2(XiV X2)有兩相等實根bXi = X2 =2a沒有實數根2ax

2、 土 bx+ c0 ( a0)的解集x| x X2或 x V xix|x主-壽R2ax 土 bx+ cv 0 ( a0)的解集x| xi v x v X2?一個技巧一元二次不.等式.ax.2 土 bx 土 cv-0( a壬.0).的解集.的確定愛.a. 的符號、.b2二4ac.的符號的影響且 與相應的二.次函數、.一元二次-方程有密切聯系可結合相-應的函數 y.亍.ax2 土 bx - c( a于.0).的 圖象，數形結合求得.不等式的解集若一元二次不等式經過不等式的同解變形后-化為ax2土bx土 c0(或v.0)(其中a.0).的形式.，其對應的方程ax2土bx土c.0一有兩個不等實根一X.

3、-.x?.-.( xi V x2).C此.時.4=. b2 4ac 0).-.則可根據“大于取兩邊-小于夾.中間”求.解集一.兩個防范(1) .二次項系數中含有參數時.，參數的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數是否為零的情況;.(2) .解含參數的一元二次不等式一可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解一則可對判別式進行分類討論一分類要不重不漏.【課堂自測】1.（人教A版教材習題改編）不等式2x 3X+ 2v 0的解集為（）.A. ( s, 2) U ( 1 ,+ )B.(2, 1)C. ( s, 1) U (2 ,+s )D.(1,2)解析 I (x 1)( x 2)

4、 v 0 , 1v x v 2.故原不等式的解集為（1,2）.答案D2. （2011廣東）不等式2x 2解析/ 9x + 6x + 1 = (3x + 1) 0 , 9x2+ 6x+ 1w 0 的解集為答案B4. （2012許昌模擬）若不等式ax2 + bx 2v 0的解集為 x 1 0的解集是（）A.1,1B.(1 ,+s )C. ( s , 1) U (2 , +s )D.一 s,(1 , +s )解析/ 2x2 x 1 = (x 1)(2 x + 1) 0 ,1 x 1 或 xv-.故原不等式的解集為一 s,(1 , +s ).答案D3. 不等式9x2 + 6x + K 0的解集是（）.

5、1Ax| x工一33D. Rx| 2v xv1，貝y ab=A. 28 B . 26C . 28 D . 26 2 1 12 = 一2 x；= 2, = 7a 4,1 2解析/x = 2, 4是方程ax + bx 2 = 0的兩根, a= 4, b= 7. ab= 28.答案C5. 不等式ax2 + 2ax+ 10對一切x R恒成立，則實數 a的取值范圍為 解析 當a= 0時，不等式為1 0恒成立；a 0,a 0,當a 0時，須*即*2w 0,4a 4a 0,x2+ 2x, x v 0,解不等式f (x) 3.f(x) 3變成兩個不等式組.解得：x 1.審題視點對x分x 0、xv 0進行討論從

6、而把x 0,x v 0 ,解由題意知3或x2+2x3, 故原不等式的解集為x|x 1.hrn訃”解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標準形式；(2)確定判別式的符號； 若 0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若v 0,則對應的二次方程無根；結合二次函數的圖象得出不等式的解集.特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集.【訓練1】 函數f (x) = 72x2 + x 3 + log 3(3 + 2x x2)的定義域為 . 22x + x 3 0,解析依題意知2|3 + 2x x 0, 1 w x v 3.故函數f(x)的定義域為1,3)答案1,3) 考

7、點二含參數的一元二次不等式的解法【例2】？求不等式12x2 ax a2(a R)的解集.審題視點先求方程12x2 ax= a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集 解/ 12x2 ax a2, 12x2 axa20,即(4 x+ a)(3 x a) 0,令(4x+ a)(3 x a) = 0,a a得：xi= 4，X2= 3.a aaa a0時，一4v 3,解集為cx| x3攔 a= 0時，x 0，解集為x| x R且x豐0；a aa ,a a3,解集為 咲|x 4綜上所述：當a0時，不等式的解集為ix| xI ;當a= 0時，不等式的解集為x|x R且x豐0； 嚴aa、當a 0時，不等式的解

8、集為 嘆|x事- * 解含參數的一元二次不等式的一般步驟：(1)二次項若含有參數應討論是等于0，小于0,還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式.判斷方程的根的個數，討論判別式與0的關系.(3) 確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定 解集形式.【訓練2】 解關于x的不等式(1 ax)2 1.22 2解 由(1 ax) 1,得 ax 2ax 0,即卩 ax(ax 2) 0 時，由 ax( ax 2) 0,得 ax x - 0, k a丿2 即 0 x .at丄2當 a 0 時，一 x0時，不等式解集為20 x aa綜上所述：當a= 0時，不等式解

9、集為空集；當a 0時，不等式解集為xa x 1 2x2對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍.審題視點化為標準形式ax2 + bx + c 0后分a = 0與a* 0討論.當 a* 0時，有存0= b 4acv 0.解 原不等式等價于（a+ 2） x2+ 4x + a 1 0對一切實數恒成立，顯然a= 2時，解集不是R,因此 az 2,a+ 2 0,從而有 2所以芒a 2,A= 4 4(a + 2 p 1 尸 0,Z|a 2,整理，得(a 2(a+ 3 0,所以a 2.故a的取值范圍是（2 ,+s ）.m-m 不等式ax2 + bx+ c 0的解是全體實數（或恒成立）的條件是當a= 0時，b=

10、 0, ca 0,o0;當a* 0時，*不等式ax + bx+ cv 0的解是全體實數（或恒成立）的條件是當AV 0；av 0,a= 0 時，b= 0, cv0；當 a*0 時，a 恒成立，求 a的取值范圍.解 法一 f (x) = (x a)2+ 2 a2,此二次函數圖象的對稱軸為x = a. 當a (a, 1)時，f (x)在1 ,+ )上單調遞增，f (x) min= f ( 1) = 2a+ 3.要使 f (x)a 恒成立，只需 f (x)min a,即 2a + 3 a,解得一30在1，+a )上恒成立，2A 0,即 A= 4a 4(2 a) w 0 或 av 1,g 1 0.解得3

11、w aw 1.所求a的取值范圍是3,1.線性規劃典型例題一_x + y _2 蘭0,例1畫出不等式組x + y-40,表示的平面區域.3y+3 蘭0.分析：采用“圖解法”然后求其公共部分.解：把 x = 0, y =0代入-x y -2 中得 -0 0 - 2 ： 0不等式_xy_20表示直線_xy_2=0下方的區域(包括邊界)，即位于原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示.說明：“圖解法”是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種方法.典型例題二例2畫出2x -3 ： y豈3表示的區域，并求所有的正整數解(x , y).分析：原不等式等價于 y2x-3,而求正整數

12、解則意味著 x , y還有限制條件，即求 ”3.0, y 0,z, y z,y 2x -3,八3.解：依照二元一次不等式表示的平面區域，知2x -3 ： y乞3表示的區域如下圖:對于2x -3 ： y _3的正整數解，先畫出不等式組.說明：這類題可以將平面直角坐標系用網絡線畫出來,(2,3).XA0, y 0,X Z V E Z所表示的平面區域,y 2X -3,然后在不等式組所表示的平面區 域內找出符合題設要求的整數點來.典型例題三例3求不等式組x+1 -1y -x +1所表示的平面區域的面積.分析：本題的關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，判斷其形狀進而求出其面積.而要將平面區域作出

13、來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形， 如何變形？需對絕對值加以討論.解：不等式 yx+1 1 可化為 y Fx(xM1)或 y 啟x2(X1);不等式y蘭一x +1可化為y蘭一x +1(x X 0)或y蘭x +1(x c 0).在平面直角坐標系內作出四條射線AB: y =x(x _ -1) , AC : y - -x 2(x ： -1)DE : y = x 1(x _ 0) , DF : y = x 1( x ： 0)由于AB與AC、DE與DF互相垂直， 所以平面區域是一個矩形.1.分析：作出不等式組所表示的平面區域，本題的關鍵是目標函數 可行域中的點與坐標原點的距離的平方

14、.解：作出直線l1: x-4y，3=0 , l2：x 5y-25 =0 , l3: x=1得到如圖所示的可行域.x _4y +3 = 0由丿 丫得A(5,2)3x +5y -25 = 0x _4y +3 =0由丿y得c(i, i)X =1,”3x+5y 25 = 0/曰 22、由得B(1,竺).x =15由圖可知：當(x, y)為點C(1,1)時，z取最小值為2；當(x, y)為點A(5,2)時，z取最大值29.x說明：若將該題中的目標函數改為 z ，如何來求z的最大值、最小值呢？請自己探y求.(將目標函數理解為點 (x , y)與點(0,0)邊線的斜率)典型例題九例 9 設 x_0 , y_

15、0 , z_0; p = -3x y 2z, q=x-2y 4z , x y z = 1 , 用圖表示出點(p , q)的范圍.分析：題目中的p , q與x , y , z是線性關系.可借助于x , y , z的范圍確定(p,q)的范圍.13x - y -2z = _ p,x _2y 4z = q,x y z =1,x = 27(8+q6p),i 1得 y = (14 5q +3p),由 x0 ,271z =(5 + 4p +3q),276 p -B 一 0,3p -5q *140,做出不等式所示平面區域如圖所示.3p 4q 5-0,6P-fl-=0說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的x ,

16、y , z的取值范圍借助于三元一次方程組分別求出x , y , z，從而求出p , q所滿足的不等式組找出（p , q）的范圍.典型例題十例10某糖果廠生產 A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤 40元，B種糖果每箱獲 利潤50元，其生產過程分為混合、烹調、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需 平均時間（單位：分鐘）混合烹調包裝A153B241每種糖果的生產過程中，混合的設備至多能用12機器小時，烹調的設備至多只能用機器30機器小時，包裝的設備只能用機器 15機器小時，試用每種糖果各生產多少箱可獲得最 大利潤.分析：找約束條件，建立目標函數.解：設生產A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤

17、z元，則此問題的數學模式在x +27205x+4y 蘭 1800約束條件3x+y蘭900 下，求目標函數z = 40x+50y的最大值，作出可行域，其邊界x蘭0y -0OA :y=0 AB:3x y-90S0BC :5x 4y-1800 =0-4，截5C點時截CD:x 2y-720 =0 DO:x=04 z由z =40x 50 y得y x，它表示斜率為5 50距為的平行直線系， 越大，z越大，從而可知過5050距最大，z取得了最大值.儀+2y=720解方程組丿二C（120,300）、5x +4y =1800 Zmax =40 120 - 50 300 =19800即生產A種糖果120箱，生產B

18、種糖果300箱， 可得最大利潤19800元.說明：由于生產A種糖果120箱，生產B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的 混合時間為120 + 2 X 300 = 720 （分），烹調時間 5X 120 + 4 X 300 = 1800 （分），包裝時間3 X 120 + 300= 660 （分）,這說明該計劃已完全利用了混合設備與烹調設備的可用時間，但對包裝設備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過剩”問題構成了該問題的“松馳”部 分，有待于改進研究.【課后作業】1.2.不在3x+ 2y 241)C. ( 0, 2)D. ( 2,6)在直線 3x 72y + m = 0的兩側，貝UB.

19、 7v m v 243.4.C.m = 7或 m = 24D. 7 m24X蘭2，則目標函數y 0的點（x, y）的集合（用陰影部分來表示）的（D14個D .17 個C.7.不等式x|“|y ：:3表示的平面區域內的整點個數為A. 3, 16.在直角坐標系中, 是B . 1 ,滿足不等式A.13 個B .10 個&不等式|2x y m p： 3表示的平面區域包含點（0,0）和點（-1,1）,則m的取值范圍是A. 一 2 ： m ： 3 B . 0 ： m ： 6C.(一 3 ： m 6 D . 0 m 39.已知平面區域如右圖所示，z =mx y（m 0）在平面區域內取得最大值的最優解有無數多

20、個，則m的值為77A.B.20201 C.D .不存在21yDy-2A.B3x -2y 6 .03x -2y 6 _0x ：0xE0y 二y C. 3x2y 6 .0D. 3x _2y 6 ： 01xOiX0、填空題（本題共4小題，每小題6分，共24 分）10.如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是.x y 5 丄011. 已知x，y滿足約束條件x y -0 ，則z =4x-y的最小值為 .x乞3x 2y 乞8|883212. 已知約束條件$ 2x +y蘭8,目標函數z=3x+y，某學生求得x=- , y=-時，Zmax= ,+333N ,y 乏 N這顯然不合要求，正確答案應為x=； y=

21、； Zmax=.13. 某電腦用戶計劃用不超過 500元的資金購買單價分別為 60元，70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有 種I +2y -5 生014. 已知x, y滿足彳xK1,y0 ，則-的最大值為 ，最小值為 .，xx 2y -3 _0三、解答題（本大題共6題，共76分）15. 由y乞2及x乞y乞x 1圍成的幾何圖形的面積是多少 ？（ 12分）16. 已知a，（0,2）,當a為何值時，直線 h : ax -2y =2a-4與l2 : 2x a22a2 4及坐標軸圍成的平面區域的面積最小？ （12分）17有兩種農作物（大米和小麥），可用輪船和飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機運輸效果如下：在一天內如何安排才能合理完成運輸2000噸小麥和1500噸大米的任務？（12 分）方式 種類、輪船飛機小麥300噸150噸大米250噸100噸0x118.設z=2y-2x+4，式中變量X, y滿足條件0EyE2，求z的最小值和最大值.（12分）2y - x _1參考答案選擇題（本大題共 10小題，