1、初二數學第十一章 第2節 三角形全等的判定人教新課標版一、學習目標： 1. 經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程。2. 能敘述三角形全等的條件，了解三角形的穩定性。3. 能靈活地運用三角形全等的條件，進行有條理的思考和簡單的推理，并能利用三角形全等的性質解決實際問題，體會數學與實際生活之間的聯系。二、重點、難點：重點：（1）使學生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式；（2）三角形全等的性質和判定難點：（1）掌握用綜合法證明的格式；（2）選用合適的判定定理證明兩個三角形全等；（3）初步理解圖形的全等變換，從而學會恰當添加輔助線。三、考點分析：三角形是數學中最常

2、見的幾何圖形之一，三角形全等是證明線段和角相等的重要依據，在數學推理證明中起著重要的作用，因此本章是中考考查的重點內容之一，考查的題型有選擇題、填空題、證明題。近幾年，在開放性試題中也常會出現。在中考命題時，既會單獨命題也會與四邊形、相似形、圓等內容綜合命題。隨著中考中對與圓有關的證明題要求的降低，對本章內容的考查要求將有所加強，利用圖形變換找全等形，利用全等找對應邊、對應角，求證線段、角相等是中考中常見的考查方式。本節內容在本學期期末考試中的分值占10分左右。1. 全等三角形判定1：三邊對應相等的兩個三角形全等。2. 全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。3. 全等三角

3、形判定3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。4. 全等三角形判定4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。5. 全等三角形判定5：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。知識點一：全等三角形判定1例1：如圖，在afd和ebc中，點a，e，f，c在同一直線上，有下面四個論斷：（1）adcb；（2）aecf；（3）dfbe；（4）adbc。請將其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結論，編一道證明題，并寫出證明過程。思路分析：1）題意分析：本題一方面考查證明題的條件和結論的關系，另一方面考查全等三角形判定1中的三邊對應關系。 2）解題思路：根據全等三角形判定1：三邊對應相等

4、的兩個三角形全等。首先確定命題的條件為三邊對應相等，而四個論斷中有且只有三個條件與邊有關，因此應把論斷中的（1）（2）（3）作為條件，來證明論斷（4）。在證明全等之前，要先證明三邊分別對應相等。解答過程：已知：如圖，在afd和ebc中，點a，e，f，c在同一直線上，adcb，aecf，dfbe。求證：adbc。證明：aecfaeefcfefafce在afd和ceb中，afdebc（sss）acadbc解題后的思考：在運用全等三角形判定1判斷三角形全等時，一定要找準三邊的對應關系，然后給出證明。小結：本例題一方面考查了命題的書寫與證明，另一方面通過本題的嚴格證明鍛煉學生的邏輯思維能力，進一步規范

5、了三角形全等證明題的書寫。知識點二：全等三角形判定2例2：已知：如圖，是和的平分線，。求證：（1）oabocd；（2）。思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2中的對應關系。 2）解題思路：根據全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對應相等。解答過程：證明：（1）op是和的平分線，aopcop，bopdopaopbopcopdopaobcod在oab和ocd中，oabocd（sas）（2）由（1）知oabocdabcd解題后的思考：在判斷三角形全等時，一定要根據全等三角形判定2，找準對應邊和對應角。例3：已知：如圖，

6、abcd，abcd，求證：adbc，adbc思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2的應用。 2）解題思路：根據全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。在證明三角形全等之前，要先將用于證明三角形全等的條件準備好。即如何由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上abcd這個條件。解答過程： 連接bd abcd12在adb和cbd中，adbcbd（sas）adbc，adbcbdadbc綜上：adbc，adbc解題后的思考：本題中證明三角形全等用到了公共邊，這是解決問題的關鍵所在；在解決這類問題時要善于從題目中發現這些重要的隱含條件。例4：（1）在圖1中，abc和d

7、ef滿足abde，acdf，ad，這兩個三角形全等嗎？（2）在圖2中，abc和abd滿足abab，acad，bb，這兩個三角形全等嗎？思路分析：1）題意分析：本題主要考查應用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的問題。 2）解題思路：在圖1中，abc和def滿足abde，acdf，ad，即兩個三角形滿足sas的條件，所以這兩個三角形全等。（2）在圖2中，abc和abd滿足abab，acad，bb，這兩個三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個三角形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個三角形不全等。解答過程：（1）全等；（2）不全等。解題后的思考：有兩邊和一角相等的兩個三角形不一定全等，要根據

8、所給的邊與角的位置進行判斷：（1）當兩個三角形滿足兩邊及夾角對應相等即“sas”時，這兩個三角形全等；（2）當兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應相等即“ssa”時，這兩個三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點。小結：本題組主要考查了對全等三角形判定2的掌握情況，即兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。另一方面，也提醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形，即“兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形一定不全等。”另外，在證明兩個三角形全等時，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知識點三：全等三角形判定3 例5：如圖，beae，cfae，memf。求證：am是abc的中線

9、。思路分析：1）題意分析：要證明am是abc的中線，就要證明bmcm，要證明線段相等，就要證明與bm、cm有關的三角形全等，即bemcfm，然后從已知條件中找出能夠判斷這兩個三角形全等的條件。2）解題思路：結合已知條件和對頂角相等可由asa來判定 bemcfm，從而得出bmcm，進而得到am是abc的中線。解答過程： beae，cfaebemcfm90在bme和cmf中，bmecmf（asa）bmcmam是abc的中線。解題后的思考：要證明am是abc的中線，需要證明m是bc的中點，因此，轉化為證明bmcm，結合已知條件，應考慮證明與這兩條相等線段有關的可能全等的兩個三角形，結合題目中已有的條

10、件和能夠求出的相等關系，選擇正確的判定方法來解決相關問題。知識點四：全等三角形判定4例6：已知：bcef，bcef，ad，abfdec。求證：afdc。思路分析：1）題意分析：要證明afdc，就要先證明abfdec，而已知中證明這兩個三角形全等的條件是ad，abfdec，但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根據bcef，bcef，想到連接be，從而證明bfeecb，進一步得到bfec，再利用aas來判定兩個三角形全等。2）解題思路：要證明線段相等，我們可以考慮先證明三角形全等，abf和dec中有兩對角對應相等，要使它們全等，只要證得bfec即可。于是連接be證bfeecb，即可證得bfec。解答

11、過程：連接bebceffebcbe在bfe和ecb中，bfeecb（sas）bfce在abf和dec中，abfdec（aas）afdc解題后的思考：證明三角形全等是證明線段相等的一種重要方法，解答時要結合圖形，分析已知條件與求證的結論，尋找溝通二者的橋梁。例7：在abc中，acb90，直線經過點，且于，于。（1）當直線繞點旋轉到圖a的位置時，求證：； （2）當直線繞點旋轉到圖b的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉到圖c的位置時，試問具有怎樣的數量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明。 圖a 圖b圖c思路分析：1）題意分析：要證明一條線段等于兩條線段之和，或證明一條線段等于兩條線段之差，就要想

12、這條線段與兩條線段之間有何關系，以及兩條線段ad、be與ce、dc之間有何關系。這就需要我們用三角形全等來證明線段相等，從而實現等線段的轉化。2）解題思路：（1）于，于，又，在rt與rt中，直角對應相等，斜邊對應相等。又與同為的余角，自然也是相等的，所以可得到。進一步可推出。（2）第（3）問中，與（1）的證明思路類似，先證明，再來證明三條線段間的數量關系。解答過程：（1）， 。，。圖a，。（2），。又，。圖b（3）當旋轉到圖c的位置時，所滿足的等量關系是（或adbede，等）。，。又，。圖c解題后的思考： 在運動變換問題中，不管運動變換前后的圖形、結論是否發生變化，解題的基本思路不變，一般情況

13、下，運動前的解題思路及方法是為解答運動后的相關問題作鋪墊。小結： 本題組主要考查如何運用全等三角形判定4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。以及在運動變換問題中如何準確地運用三角形全等實現等線段的轉換。知識點五：全等三角形判定5例8：已知：如圖為的高，為上一點，交于，且有，。求證：。思路分析：1）題意分析：要證垂直于，需證，由題意可知，若能證明，就可得垂直于，這就要證。這可由已知條件證明，便可知。再由1290和12bec180，得到bec90。從而得到。2）解題思路：運用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，證明，進一步得到。解答過程：證明：，

14、。在rt和rt中，。（全等三角形對應角相等）（直角三角形兩銳角互余），解題后的思考： （1）證明兩個直角三角形全等除了可運用前面的幾個條件外，還可利用“斜邊和直角邊”去證明；（2）證明兩直線垂直可直接證明兩直線夾角等于90，也可證明夾角所在三角形中的另兩個角互余。小結：本組題主要考查如何運用直角三角形全等的判定方法來解決相關問題，在解題時注意挖掘題目中的隱含條件。利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個三角形找出來；（2）證明這兩個三角形全等；（3）根據全等三角形的性質得出要判斷的線段（或角）相等。一、預習新知1. 如圖，是一個平

15、分角的儀器，其中abad，bcdc。將點a放在角的頂點，ab和ad沿著角的兩邊放下，沿ac畫一條射線ae，ae就是dab的平分線。你能說明它的道理嗎？由此總結出作已知角的平分線的方法。二、預習點撥探究與反思探究任務一：如圖，將aob對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。如何利用三角形全等證明這個性質？探究任務二：我們已知“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，那這個命題的逆命題“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上是否是一定的呢？請大家探究結論并給予證明。（答題時間：60分鐘）一

16、、選擇題：1. 三角形中到三邊距離相等的點是（ ）a. 三條邊的垂直平分線的交點b. 三條高的交點c. 三條中線的交點d. 三條角平分線的交點2. 如圖，c90，ad平分bac交bc于d，若bc5cm，bd3cm，則點d到ab的距離為（ ）a. 5cm b. 3cm c. 2cm d. 不能確定 3. 如果三角形的一個角的平分線恰好是其對邊上的高，那么這個三角形是（ ）a. 直角三角形 b. 等腰三角形c. 等邊三角形 d. 等腰直角三角形4. 如圖，abac，beac于e，cfab于f，be、cf交于點d，則abeacf；bdfcde；點d在bac的平分線上，以上結論正確的是（ ）a. b.

17、 c. d. 5. 如圖，已知點p到be、bd、ac的距離恰好相等，則點p的位置：在b的平分線上；在dac的平分線上；在eac的平分線上；恰是b，dac，eac三個角的平分線的交點。上述結論中，正確結論的個數有（ ）a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個二、填空題：6. 已知o是abc三條角平分線的交點，odbc于d，若od5，abc的周長等于20，則abc的面積等于sabc 。7. 如圖，abcd，o是bac、acd的平分線的交點，oeac于e，且oe2，則ab與cd間的距離等于 。8. 如圖，在abc 中，c90，acbc，ad平分bac 交bc于點d，deab于e，ab8cm，則

18、deb的周長為_。 三、解答題：9. 已知：如圖，在abc 中，ad是bac的角平分線，e、f分別是ab、ac上的點，且edfeaf180。求證：dedf。10. 已知：如圖，在abc 中，b60，abc的角平分線ad、ce相交于點o。求證：aecdac一、選擇題：1. d；2. c； 3. b；4. a；5. d 二、填空題：6. 50；7. 4；8. 8cm三、解答題：9. 證明：過點d作dmab于點m，dnac于點n。ad平分bacdmdnmanamdandmdn360amdand180mdnman180edffae180mdnedfmdefdn在edm和fdn中，edmfdn（asa）

19、dedf10. 證明：在ac上截取afae，連接of。ad平分bac，ce平分acbeaofao，dcofco在aeo和afo中，待添加的隱藏文字內容3aeoafo（sas）aofaoeoacoca又abc的角平分線ad、ce相交于點o，b60oacoca（bacacb）（180b）（18060）60aofaoe60又cofaoe60在cof和cod中，cofcod（asa）cdcfaccfafaecd初二數學人教新課標版第十一章 第2節 三角形全等的判定同步練習（答題時間：60分鐘）一、選擇題：1. 三角形中到三邊距離相等的點是（ ）a. 三條邊的垂直平分線的交點b. 三條高的交點c. 三條

20、中線的交點d. 三條角平分線的交點2. 如圖，c90，ad平分bac交bc于d，若bc5cm，bd3cm，則點d到ab的距離為（ ）a. 5cm b. 3cm c. 2cm d. 不能確定 3. 如果三角形的一個角的平分線恰好是其對邊上的高，那么這個三角形是（ ）a. 直角三角形 b. 等腰三角形c. 等邊三角形 d. 等腰直角三角形4. 如圖，abac，beac于e，cfab于f，be、cf交于點d，則abeacf；bdfcde；點d在bac的平分線上，以上結論正確的是（ ）a. b. c. d. 5. 如圖，已知點p到be、bd、ac的距離恰好相等，則點p的位置：在b的平分線上；在dac的平分線上；在eac的平分線上；恰是b，dac，eac三個角的平分線的交點。上述結論中，正確結論的個數有（ ）a. 1個 b. 2個