1、正弦定理（第一課時）教學設計 點明課題本節課是普通高中課程標準實驗教科書必修5第一章解三角形中的1.1正弦定理和余弦定理中的1.1.1正弦定理的內容，該節包括正弦定理的發現、證明和應用，我把這節內容分為2課時，現在我要說的是正弦定理的第一課時，主要包括正弦定理的發現、證明和簡單的應用。下面我從三個方面來說說對這節課的分析和設計：一、教學背景分析二、教學展開分析三、教學結果分析一、教學背景分析1.教材地位分析正弦定理是普通高中課程標準實驗教科書必修5中第一章解三角形的學習內容，比較系統地研究了解三角形這個課題。正弦定理緊跟必修4（包括三角函數與平面向量）之后，可以啟發學生聯想所學知識，運用平面向

2、量的數量積連同三角形、三角函數的其他知識作為工具，推導出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎，又是學生了解向量的工具性和知識間的相互聯系的的開端，對進一步學習任意三角形的求解、體會事物是相互聯系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節課學習，培養學生“用數學”的意識和自主、合作、探究能力。2.學生現實分析(1)學生在初中已學過有關直角三角形的一些知識：勾股定理： 三角函數式，如：(2)學生在初中已學過有關任意三角形的一些知識： 大邊對大角，小邊對小角 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)學生在高中已學過必修4（包括三角函數與平面向量）(4)學生已具備初步的數學建模能力，會從簡單的實

3、際問題中抽象出數學模型3.教學目標分析知識目標：(1)正弦定理的發現(2)證明正弦定理的幾何法和向量法(3)正弦定理的簡單應用能力目標：(1)培養學生觀察、分析問題、應用所學知識解決實際問題的能力(2)通過向量把三角形的邊長和三角函數建立起關系，在解決問題的過程中培養學生的聯想能力、綜合應用知識的能力情感目標：(1)設置情景，培養學生的獨立探究意識，激發學生學習興趣(2)鼓勵學生探索規律、發現規律、解決實際問題(3)通過共同剖析、探討問題，推進師生合作意識，加強相互評價與自我反思二、教學展開分析1.教學重點與難點分析教學重點是發現正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關系

4、中最常見、最重要的兩個定理之一，它準確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關系，對于它的形式、內容、證明方法和應用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學生綜合運用正弦定理和內角和定理等眾多基礎知識解決幾何問題和實際應用問題，這些知識的掌握，有助于培養分析問題和解決問題能力，所以一向為數學教育所重視。教學難點是用向量法證明正弦定理。雖然學生剛學過必修4中的平面向量的知識，但是要利用向量推導正弦定理，有一定的困難。突破此難點的關鍵是引導學生通過向量的數量積把三角形的邊長和內角的三角函數聯系起來。用平面向量的數量積方法證明這個定理，使學生鞏固向量知識，突出了向量的工具性，是向量知識應用的范例。2.教學策

5、略與學法指導教學策略：本節課采用“發現學習”的模式，即由“結合實例提出問題觀察特例提出猜想數學實驗深入探究證明猜想得出定理運用定理解決問題”五個環節組成的“發現學習”模式，在教學中貫徹“啟發性”原則，通過提問不斷啟發學生，引導學生自主探索與思考；并貫徹“以學定教”原則，即根據教學中的實際情況及時地調整教學方案。學法指導：教師平等地參與學生的自主探究活動，引導學生全員參與、全過程參與。通過啟發、調整、激勵來體現主導作用，根據學生的認知情況和情感發展來調整整個學習活動的梯度和層次，保證學生的認知水平和情感體驗分層次向前推進。3.教學媒體選擇與應用使用多媒體平臺（包括電腦和投影儀）輔助教學，讓學生自

6、己動手進行實驗，借助多媒體快捷、形象、生動的輔助作用，既突出了知識的產生過程，遵循了學生的認知規律，讓學生形成體驗性認識，體會成功的愉悅，同時又可以增加課堂的趣味性，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心。4.教學過程實施本節課采用“發現學習”的模式，因而教學過程實施分為五個部分：(1)結合實例提出問題(2)觀察特例提出猜想(3)數學實驗深入探究(4)證明猜想得出定理(5)運用定理解決問題(1)結合實例提出問題教學過程設計意圖設置問題情境從“海灣大橋”這一學生喜聞樂見的重大實際工程提出問題,營造寬松、和諧、主動積極的探究氛圍，激發學習興趣.學生自主探討可能很多學生會這樣考慮：選擇某地C點，構造

7、RtABC，測出C與AC的長，即可算出AB的長挖掘學生的原有認知，在原有知識和學習目標之間搭建平臺.教師提問如果構造出RtABC時，發現點C在海上（或者由于地形、建筑等因素），無法測出C與AC的長，那怎么辦？實際問題要考慮實際情況，鍛煉學生的發散思維，培養學生解決實際問題的能力.師生共同探討DCAB不能構造出Rt，那只能構造一般的三角形ABC這時，我們能夠測出哪些量？學生分析討論后得出：可以測出A、C與AC的長測出這些量后，怎樣求出AB長？教師引導學生，將實際問題抽象為數學問題，再來求解可以作輔助線，構造Rt來求解：作BDAC于D點，在RtABD中，BD=ABsinBAD= ABsinBAC，

8、AD=ABcosBAD= ABcosBAC，在RtBCD中，BD=(AC+AD)tanC，即可求出AB通過師生互動、生生互動的教學活動過程，體現教師的主導作用，形成學生的體驗性認識.教師提問教師指出，人們在實際中，如測量、航海、機械設計、幾何、物理等方面，經常碰到有關三角形的問題，在解決這些問題時，如果每次都通過構造直角三角形來求解，顯然有點麻煩！接著提問學生：在任意三角形中，各邊、角之間是否存在某種數量關系呢？若有，那么我們就可以直接利用，快速求解。尋求解決問題的簡便方法，符合人們的思維規律，同時也指出本節課的探究方向.(2)觀察特例提出猜想教學過程設計意圖師生共同觀察特例在RtABC中，各

9、邊、角之間存在何種數量關系？學生容易想到三角函數式子：（可能還有余弦、正切的式子）這三個式子中都含有哪個邊長？學生馬上看到，是c邊，因為那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？CBAcab得到的這個等式，說明了在Rt中，各邊、角之間存在什么關系？（各邊和它所對角的正弦的比相等）此關系式能不能推廣到任意三角形？以舊引新, 打破學生原有認知結構的平衡狀態, 刺激學生認知結構根據問題情境進行自我組織, 促進認知發展. 從直角三角形邊角關系切入, 符合從特殊到一般的思維過程.提出猜想猜想：在任意的ABC中, 各邊和它所對角的正弦的比相等, 即：鼓勵學生模擬數學家的思維方式和思維過程, 大膽拓廣, 主

10、動投入數學發現過程,發展創造性思維能力.(3)數學實驗深入探究教學過程設計意圖學生自己進行數學實驗讓學生用幾何畫板進行數學實驗：改變三角形的某個頂點的位置（即改變了三角形的形狀），觀察表格中的數據的數值大小變化情況.觀察發現：在拖動三角形的某個頂點的過程中，表格中的數據的數值大小也隨著變化，但是它們始終保持相等.給學生探索的空間，使學生真正感覺到自己在“做數學”，激起學生的好奇心和探究欲望, 調動學生自主參與數學活動，使學生體會到數學系統演繹性和實驗歸納性的兩個側面.歸納總結通過實驗后，猜想成立，即有下面的結論：在任意的ABC中, 各邊和它所對角的正弦的比相等, 即：讓學生明確到：某些規律對部

11、分特例成立，但是對一般情況不成立.(4) 證明猜想得出定理教學過程設計意圖師生總結 三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對于直角三角形，我們前面已經推導出這個關系式是成立的，那么我們現在是否需要分情況來證明此關系式？及時總結，使方向更明確，并培養學生的分類意識.交流研討辨析教師啟發：剛才在直角三角形中已經證明了,那么能否把銳角三角形轉化為直角三角形來求證？可以構造直角三角形如何構造直角三角形？作高線（例如：作CDAB，則出現兩個直角三角形）baCDABc將欲證的連等式分成兩個等式證明，若先證明 ，那么如何將A、B、a、b聯系起來？在兩個直角三角形RtBCD與RtACD中，CD是公共邊

12、：在RtBCD中，CD= ， 在RtACD中，CD=如何證明 ？作高線AEBC，同理可證.把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題, 引導啟發學生利用已有的知識解決新的問題.學生在合作交流、與人分享的探討的氛圍中傾聽、思考、表述，體驗成功的喜悅；學會合作，并在合作中懂得欣賞他人；提高分析能力.教師啟發學生開拓思維教師提問：還有其他的證明方法嗎？在我們所學過的知識中，有沒有什么知識，同時包含長度和三角函數？學生聯想到平面向量在平面向量中學過哪些知識？主要有向量的運算：加法、減法、數乘和數量積運算在向量的這些運算中，哪種運算同時包含有長度和三角函數？數量積運算在向量的這些運算中，哪種運算與三角形有關？加法和

13、減法滿足三角形法則，如：這幾個式子實質上是相同的，不妨以 為例，從這個式子出發，怎樣才能出現同時包含長度和三角函數的式子？將式子的兩邊與某個向量作數量積根據數量積的定義得：應將式子的兩邊與什么樣的向量作數量積？研究性課題具有開放性多元性.啟發學生利用所學知識解決新的問題， 讓學生對學過的各個知識融會貫通.通過多次提問，層層遞進，逐步搭設臺階,讓學生聯系向量數量積的意義, 借助向量工具來證明,突出向量的工具性作用.培養學生思維靈活廣闊性學生自主探究教師根據學生的探究情況，適當提示：目標是什么？從目標進行分析要證 ，即證 ，即與 對比，發現 不見了！即應該有那么，所作的向量AB.的方向確定了，的模

14、如何確定呢？當向量AB時，可化為即為 ，從而得證.所以，的模可以是任意大小（非零）.由于學生的層次不同，探究的結果不盡相同.教師視察學生探究情況，對于感到困難的部分學生可進行適當的提示.對層次較高的學生，給其“盡顯其能”的機會.分層教學，提高課堂效果.課外探究若ABC為鈍角三角形，證明：探究的空間由課堂延伸到課外.師生共同總結回顧我們剛才證明正弦定理的過程，用了什么證明方法？分別是如何證明正弦定理的？幾何法：作三角形的高線，構造直角三角形向量法：作垂直于三角形一邊的向量，利用數量積運算解題后適時反思總結，理清思維，加深理解和認識，可提高解題的理論水平(5) 運用定理解決問題教學過程設計意圖定理

15、明晰正弦定理如何表述？在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即表達式反映了什么？指出了任意三角形中，各邊與對應角的正弦之間的一個關系式從形式和內容進一步讓學生明確正弦定理所反映出的規律解決情境中的實例CAB題目：在ABC中，已知C48.57 ， A101.87 ， AC2620m，求AB.(精確到1米)解：B180AC 180 48.57 101.87 29.56讓學生用正弦定理重新解題，感覺比原來的方法簡便多了,使學生認為艱辛的付出有了回報,感受收獲的喜悅,體驗成功的樂趣.欣賞規劃設計的海灣大橋圖片將漂亮的大橋圖片展現給學生，從感觀上刺激學生，使學生從內心深處體驗成功的喜悅，也促使學

16、生對美好事務的向往，對未來的憧憬；把課堂氣氛推向高潮.定理反思總結我們剛才已經用正弦定理解決三角形中的一類什么問題？已知任意兩個角和一邊，可以求出另一角和另兩邊用正弦定理還可以解決三角形中的什么問題？已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出另一邊和另兩角通過總結與思考，領悟思想方法，把握規律的本質，提高分析和解決問題的能力. 課堂練習課本第5頁練習：1.（2）， 2.（2）充分利用課本資源；簡單應用正弦定理.課堂反思小結通過這節課的研討，請大家談談自己的體會.(1)在這節課中，學習了哪些知識？正弦定理及其發現和證明 正弦定理的初步應用(2)包含了哪些數學思想和數學方法？運用從特殊到一般，一般到特殊的

17、轉化思想運用方程的思想運用“觀察、猜想、實驗、證明”解決問題的方法運用向量的方法通過反思，深化學生知識理解、完善學生認知結構.課后作業(1)課后探究：類比RtABC中的式子猜想在任意三角形ABC中，比值并證明你的結論.在ABC中，求證(2)課后習題：課本第5頁練習：2.（1）通過上題，你認為在解三角形時，什么時候會出現兩個解？“課后探究”中的兩個題回答了課本第3頁中的問題“是否可以用其它方法證明正弦定理？”“課后習題”讓學生探討解的個數問題，為下節課作準備.三、教學結果分析通過本節課的學習，結合教學目標，從知識、能力、情感三個方面預測可能會出現的結果：1、學生對于正弦定理的發現、證明正弦定理的

18、幾何法、正弦定理的簡單應用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計有少部分學生還會有一定的困惑，需要在以后的教學中進一步培養應用向量工具的意識。2、學生的基本數學思維能力得到一定的提高，能領悟一些基本的數學思想方法；但由于學生還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣，對問題的認識會不周全，良好的數學素養的形成有待于進一步提高。3、由于學生的層次不同，體驗與認識有所不同。對層次較高的學生，還應引導其形成更科學、嚴謹、謙虛及鍥而不舍的求學態度；基礎較差的學生，由于不善表達，參與性較差，還應多關注，鼓勵，培養他們的學習興趣，多找些機會讓其體驗成功。設計說明1、強調向量的工具性作用，加強學生應用向量來解決問題的意識。本課例從引入到應用，遵循數學源于生活又應用于生活的特征。學生通過經歷“發現學習”的過程，提高數學的思考問題、解決問題的能力，貫徹研究性學習方法。2、教學設計本著學生心理和發展特點原則，盡量符合學生的認知規律，時時關注學生的興趣、體驗、困惑、疑難等，有效地發揮教師的組織、引導、激勵作用，盡可能使學生在多方面得到發展。3、教無定法，貴在得法。“教”、“學”不是教師單方面的操作，所以在教學中要抓住由師生、生生間的思維的碰撞而產生的教學生長點，把調動學生的內驅力放在首位。同時，教師要尊重學生的需要，如：探究的需要、獲得新體驗的需要、獲得認可和欣賞的需要等等，努