1、加法原理、乘法原理基礎(chǔ)知識：1. 加法原理：如果完成一件事情可以分成幾類方法，每一類又包含若干種不同方法，那么將所有類中的方法數(shù)累加就是完成這件事的所有方法數(shù)加法原理的關(guān)鍵在于分類，類與類之間用加法2. 乘法原理：如果完成一件事情可以分成幾個步驟，每一步又包含若干種不同方法，那么將所有步驟中的方法數(shù)連乘就是完成這件事的所有方法數(shù)乘法原理的關(guān)鍵在于分步， 步與步之間用乘法3. 分類原則：分類要做到“不重不漏” 任意兩類之間不可以重復(fù)，這叫做不重；把所有的類別累加在一起就得到整體，這叫做不漏4. 分步原則：分步要做到“前不影響后” 無論前面步驟采取哪種方法，后面一個步驟都應(yīng)該有相同多的方法數(shù)，也就

2、是說后面一個步驟的方法數(shù)與前面步驟采取哪一種方法無關(guān)例1.從1開始依次寫下去一直到999，得到一個多位數(shù) 1234567891011121314997998999,請問：(1)這個多位數(shù)一共有多少位？(2) 第999位數(shù)字是多少？(3) 在這個多位數(shù)中，數(shù)字 9 一共出現(xiàn)了多少次？(4) 數(shù)字0 共出現(xiàn)了多少次？問題(1)這個多位數(shù)一共有多少位？0答疑編號 5721040101【答案】(1) 2889;( 2) 9; ( 3) 300; ( 4) 189【解答】分析1： 999個自然數(shù)構(gòu)成一個多位數(shù)，可以利用加法原理分類的思想求這個多位數(shù)的位數(shù)將這999個自然數(shù)分成3類：第1類是1位數(shù)；第2類

3、是2位數(shù)；第3類是3位數(shù).分別 計算每一類自然數(shù)占了多少位，再求和就可以得出多位數(shù)的位數(shù)了詳解1 :按照自然數(shù)的位數(shù)去分類構(gòu)成這個多位數(shù)的自然數(shù)中1位數(shù)有9個，占了 9位；2位數(shù)有90個，占了 2X 90=180位；3位數(shù)有900個，占了 3X 900= 2700位；所以這個多位數(shù)總共有9+180+2700=2889位.問題(2)第999位數(shù)字是多少？詳解2: 1位數(shù)和2位數(shù)一共占了 189位，999位數(shù)數(shù)字還需要 3位數(shù)占據(jù)999- 189=810位.由 810-3=2700可知第999位數(shù)字是第270個3位數(shù)的最后1位.第270個3位數(shù)是369,所以第999 位數(shù)字是9.問題(3)在這個多

4、位數(shù)中，數(shù)字9一共出現(xiàn)了多少次？分析3:前面2問分類的方法是按照自然數(shù)的位數(shù)去分類，1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)各自分為一類但按照這種分類的思路來解第3問就不是很方便了：1位數(shù)含有1個9, 2位數(shù)含有19個9,但是考慮3位數(shù)含有多少個9還是比較復(fù)雜.通過這種分類的思路去分析問題并沒有使問題變得簡單.可以考慮按照分段的方法去分類，第1類1 99;第2類100 199 ;第3類200 299；第10類900 999.分別計算每一類中包含了多少個9，然后再加和就可以了 .注意利用每一類的相似性，比如第1類到第9類每一類所包含 9的個數(shù)應(yīng)該一樣多，當(dāng)然第 10類900 999中9的個數(shù)比 前9類要多100個

5、.再考慮一種分類的方法，按照9出現(xiàn)的位置去分類.首先考慮9在百位出現(xiàn)了多少次；再考慮 9在十位出現(xiàn)了多少次；最后考慮9在個位出現(xiàn)了多少次.詳解3 :按照分段的方法去分類.實際這種分類方法也是按照百位數(shù)的不同去分類，在每一類中百位數(shù)是相同的(1 99可以看成百位數(shù)為0).考慮第1類1 99中包含了多少個 9,個位包含 9的有：9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89,99 一共 10 個；十位包含 9 的有：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 也是 10 個.這樣在 1 99 中9在個位和十位各出現(xiàn)了10次，一共是20次.同理，

6、第2類100 199；第3類200 299 ；第9類800899;每一類中也都包含 20個9.第10類900 999中9的個數(shù)比前9類要多100個，應(yīng)該是120個.所以原來的多位數(shù)中總共有 20X 9+ 120=300 個 9.其實更快的方法是按 9出現(xiàn)的位置去數(shù)，應(yīng)用乘法原理問題(4)數(shù)字0 共出現(xiàn)了多少次？詳解4 :按照0出現(xiàn)在個位、十位去分類當(dāng)0出現(xiàn)在十位時，百位可以為19,個位可以為09，根據(jù)乘法原理，共有 9X 10=90次；同理，當(dāng)0出現(xiàn)在個位時，共有 9X 10+9=99次，所以原來的多位數(shù)中0出現(xiàn)了 99 + 90=189次.例2.允許數(shù)字重復(fù)，那么用數(shù)字0、1、3、5、7、9

7、最多可以組成多少個不同的三位數(shù)？軻答疑編號 5721040102【答案】180【解答】百位有5種選擇，十位和個位都有 6種選擇.根據(jù)乘法原理，一共可以組成5X 6X 6=180 個三位數(shù).變化：如果不允許數(shù)字重復(fù)呢？其中被5整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)又有多少個呢？例3.在所有的三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個 2的偶數(shù)有個.0答疑編號 5721040103【答案】162【解答】個位是 2的有9X 10=90個；十位是 2但個位不是2的偶數(shù)有9X 4= 36個；百 位是2但十位和個位都不是 2的偶數(shù)有9X 4=36個，所以一共有 90 + 36+ 36= 162個符合條件的三 位數(shù)例4.用1、2、3、4、5

8、這5個數(shù)字組成四位數(shù)， 至多允許有1個數(shù)字重復(fù)兩次.例如1234、1233 和2454是滿足條件的，而 1212、3335和4444就是不滿足條件的.那么，所有這樣的四位數(shù)共有 個.O答疑編號 5721040104【答案】480個【解答】方法1:分類討論如果包含4個互不相同的數(shù)字，一共有 5X 4X 3X 2=120個；如果 包含3個互不相同的數(shù)字，我們可以先從 5個數(shù)字中選出3個數(shù)字，然后再從挑出的 3個數(shù)字中選 1個可以重復(fù)，最后把這 3個數(shù)字帶上1個重復(fù)的數(shù)字共4個數(shù)字排成1行.根據(jù)乘法原理，就有- 二 -個，所以一共有 120 + 360= 480個四位數(shù).方法2:排除法.所有可能的四

9、位數(shù)有 5X 5X 5X 5= 625個；只包含1個數(shù)字的有5個，包含2 個數(shù)字的有5X 4X( 2X 2X 2- 1 )= 140個.那么包含3個或4個不同數(shù)字的四位數(shù)有 625- 5 140=480 個.例5.書架上有1本英語書，9本不同的語文書，9本不同的數(shù)學(xué)書和 7本不同的歷史書.現(xiàn)在要 從中取出3本書，而且不能有兩本是同一科的.那一共有多少種取法？O答疑編號 5721040105【答案】774【解答】因為一共要 4種書中選3種，所以要分4種情況討論：如果拿的是英語、語文和數(shù)學(xué) 書，根據(jù)乘法原理一共有 1X 9X9種方法；如果拿的是英語、語文和歷史書，一共有 1X 9X7種拿 法，同理

10、另外兩種情況分別有 1X 9X7種和9X 9X7種拿法.最后我們根據(jù)加法原理，一共有1X 9X9 + 1X 9X 7+ 1X 9X 7+ 9X 9X 7= 1X 9X 16+ 10X 9X 7=144+ 630 = 774 種拿法.例1.用0, 1 , 2, 3, 4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的：（1）銀行存折的四位密碼；（2）四位數(shù)；（3）四位奇數(shù).O答疑編號 5721040201【答案】（1） 120 （個）；（2） 96 （個）；（3） 36 （個）.有5種選取方法;有4種選取方法;有3種選取方法;有2種選取方法;第一步第二步第三步第四步【解答】（1）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密

11、碼”這件事，可以分四個步驟: 選取左邊第一個位置上的數(shù)字， 選取左邊第二個位置上的數(shù)字， 選取左邊第三個位置上的數(shù)字， 選取左邊第四個位置上的數(shù)字，由乘法原理，可組成不同的四位密碼共有（2）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四個步驟：從1, 2, 3, 4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種選取方法；從1, 2, 3, 4中余下的三個數(shù)字和 0中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有 從余下的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種選取方法；從余下的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種選取方法；N=4X 4X 3X 2=96 （個）N=5X 4X 3X 2=120 （個）第一步 第二步 第三步

12、第四步4種選取方法;由乘法原理，可組成不同的四位數(shù)共有（3）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四個步驟： 第一步：從1, 3中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種選取方法；第二步：從1, 3中余下的一個數(shù)字和 2, 4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有3種選取方法;第三步：從余下的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有3種選取方法；第四步：從余下的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有2種選取方法；由乘法原理，可組成不同的四位奇數(shù)共有N=2X 3X 3X 2=36 （個）.例2.在120共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加，使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種？O答疑編號 5721040202【答案】90 （種

13、）【解答】取a+b與取b+a是同一種取法.分類標(biāo)準(zhǔn)為兩加數(shù)的奇偶性，第一類，偶偶相加，由乘法 原理得（10X 9）/2=45種取法，第二類，奇奇相加，也有（10X 9）/2=45種取法.根據(jù)加法原理共有45+ 45=90種不同取法.例3將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案有多少種？O答疑編號 5721040203【答案】150 （種）【解答】5名志愿者分配到 3個不同的奧運場館，可以分成 3, 1 , 1和2, 2, 1兩類， 第一類：分成3, 1，1，完成此件事可以分成 3步， 第1步：3個館選一個館去3個人，共有3種選法，第2步：5個人中選3個

14、人，共有=丨種選法，第3步：剩下的2個人分別去兩個館，所以當(dāng)分配成3, 1 , 1時，根據(jù)乘法原理，共有 3X 10X 2=60（種）； 第二類：分成2, 2, 1，完成此件事可以分成 3步，第1步：5個人中選出一個人，共有 5種選法，第2步：3個館中選出一個館，共有 3種選法，第3步：剩下的4個人中選2個人去剩下兩個館中的一個， 最后一個人去另外一個館， 共有-（種），所以當(dāng)分配成2, 2, 1時，根據(jù)乘法原理，共有 5X 3X 6=90 （種）； 所以根據(jù)加法原理，不同的分配方案共有60+ 90=150 （種）.例4.用1, 2, 3, 4, 5, 6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相

15、鄰兩個數(shù)字的奇偶性不 同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)有多少個？&答疑編號 5721040204【答案】40 （個）【解答】可分三步來做這件事：第一步：先將3、5放到六個數(shù)位中的兩個，共有2種排法；第二步：再將4、6插空放入剩下四個數(shù)位中的兩個，共有2X 2=4種排法；第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有 5種排法.根據(jù)乘法原理：共有 2X 4X 5=40 （種）.例5.在一個3行4列的方格表內(nèi)放入 4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少種不同的放法？在一個3行4列的方格表內(nèi)放入 4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共

16、有多少種不同的放法？0答疑編號 5721040205【答案】81 （種）；1944 （種）【解答】問題14枚棋子放入4列，每一列有且僅有1枚棋子，因此總共分 4個步驟考 慮.第1步考慮第1列的棋子放在什么位置； 第2步考慮第2列的棋子放在什么位置； 第3步考慮第 3列的棋子放在什么位置；第 4步考慮第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3種選擇方法，所以 方法數(shù)一共有 3X 3X 3X 3=81種.問題2假設(shè)4枚互不相同的棋子為 A, B, C, D將按照下面的4個步驟進(jìn)行考慮，先放棋子 A, 12個格子可以隨便選擇，一共有 12種方法.第2步放棋子B, A那一列的3個格子不能選擇，其 它的格子

17、都可以放 B,所以一共有9種方法.第3步放棋子C, A B那兩列一共6個格子不能選，所 以一共有6種方法.第4步放棋子D, A B C三列一共9個格子不能選，還剩 3個格子，所以一共 有3種方法.利用乘法原理，放入 4個不同棋子的方法數(shù)一共有 12X 9X 6X 3=1944種方法.另外一種解法問題24個棋子要占4個方格，先選出放棋子的 4個方格實際上挑出4個方格的方法數(shù)和第1問是完全相同的，總共有 3X 3X 3X 3=81種選擇方法.選好方格后再將棋子排列進(jìn)去，第 1列的方格可以選擇 A, B, C D中的任何一個棋子，所以有 4種方法；第2列的方格還剩下三個棋子可供選擇，所以有 3種方法

18、；第3列的方格還剩下兩個棋 子可供選擇，有2種方法；第4列的方格只有1種方法.所以選好4個方格后排列棋子的方法數(shù)一共 是 4X 3X 2X 1=24 種.選4個方格有81種方法，選好4個方格后放棋子一共有 24種方法，所以將表格中放入 4個互 不相同的棋子的總方法數(shù)是 81 X 24=1944種.例6.如圖，把圖中的8個部分用紅、黃、綠、藍(lán) 4種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使 用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色那么，這幅圖共有多少種不同的著色方法？AFBGCHO答疑編號 5721040206【答案】768 （種）【解答】按照 A，B, D, E，C, G F，H的步驟進(jìn)行染色.對

19、A進(jìn)行染色的時候沒有任何的限制，總共有4種染色的方法；對 B進(jìn)行染色的時候由于不能和A同色，所以有3種染色的方法；對 D進(jìn)行染色的時候由于不能和A, B同色，所以只剩2種染色的方法；對E進(jìn)行染色時不能和 B, D同色，所以有2種染色的方法；對 C進(jìn)行染色時不能和 B, E 同色，所以有2種染色方法；對 G進(jìn)行染色時不能和 D, E同色，所以有2種染色的方法；對 F進(jìn)行 染色時不能和 D, G同色，所以有2種染色的方法；對 H進(jìn)行染色時不能和 E, G同色，所以有2種 染色的方法綜合上面的八個步驟，利用乘法原理，共有4X 3X 2X 2X 2X 2X 2X 2=768種著色的方法評議本題染色的步驟還有很多種，大家考慮一下按照A, B, C, D, E, F, G, H的步驟進(jìn)行染色是否可以？可能有同學(xué)發(fā)現(xiàn)按照 A, B, C, D, E, F, G H的步驟進(jìn)行染色會算出另外一個答案 4X 3X 3X 2X 1X 3X 1X2 =432.當(dāng)然，正確答案只能有一個，那么這種分步方法到底錯在哪里呢？這里