1、第五章 金屬電子論,5.8 等離激元與準電子,金屬電子論是建立在獨立電子基礎上的。布洛赫定理實質上是一個關于單粒子波函數的定理，電子-晶格和電子-電子的相互作用歸結為周期勢場，而電子-電子之間的相互作用只是在平均場范疇加以考慮。 如果考慮晶格周期勢場中的多粒子問題，情況將變得十分復雜。下面我們將討論為什么對金屬而言，獨立電子的假設仍然是一個可以接受的理論,一、等離激元,電子與電子之間的相互作用是庫倫勢，具有長程作用，即電子并非僅銅它們的最近鄰有相互作用。這就是考慮電子-電子相互作用效應的一個嚴重困難。 在宏觀尺度上，力的長程性可借助晶體的局部非電中性引起的電場表現出來，這意味著難以處理的相互作

2、用的長程力部分，可近似用純粹的宏觀方法處理,考慮一個自由電子氣模型，分散的正離子被極端地涂抹成不動而又均勻的陽電荷背景，即電子能夠很自由地在其中的一種“凝膠”。 我們需要這種凝膠，是為了保持系統電中性。這就是金屬的自由電子氣凝膠模型。這個系統是一種等離子體，因為其中含有正電荷與負電荷濃度相等，而兩種電荷中至少有一種是可遷移的,正電荷的密度等于平均電子的電荷密度： 由于電子可動，實際電子密度寫成(r,t)，那么局部的非電中性產生的電場E滿足： 電場下，電子被加速： 這里忽略了導致歐姆定律的碰撞效應,為了求解電荷分布，需要電荷守恒定律： 把速度同電荷密度聯系起來，如果,這個式子對變量 是線性的,將

3、5.8.3對時間求導，并利用5.8.1和5.8.2，得到 即,上式是一個角頻率為p的諧振子方程，它表明來自均勻點和密度的任一擾動都以頻率p振蕩。由于庫倫勢的長程性，電子-電子之間的關聯將在這集體運動中表現出來,上面只給了長波極限時的振蕩頻率，更詳細的理論可以給出等離子振蕩的色散關系。 金屬中的等離子集體振蕩起源于電子間的庫倫力的長程部分。由于庫倫勢是縱場，所以它是一種縱等離子體振蕩，即電荷密度波,縱等離子體振蕩的量子 稱為等離激元。對于一般的金屬，取 得到,它是一個高于金屬費米能的能量量子。因此金屬中的等離子體振蕩不是通常溫度下的正常受激。 當一束高能電子束穿透金屬薄膜時，可以激發等離子振蕩，

4、測量電子束的能量損失譜可以得到以 為周期的振蕩曲線,典型的碰撞弛豫時間： 因此前面忽略碰撞時一個好的近似,二、電子氣的個別激發,等離激元是金屬電子氣的集體激發，除此之外還存在電子的個別激發。電子氣的基態可描述為費米球內所有狀態均被電子占據，而球外是全空的。 費米球內k態電子被激發到k+q的空狀態時，則產生一個k+q的電子和一個k的空穴。這種電子和空穴對的個別激發的能量滿足,受到泡利原理的限制，波矢應滿足 當 時，費米球內只有部分電子可以被激發到球外。如圖所示,激發能量的界限是 當 時，費米球內所有電子被激發。 能量界限是,式5.8.10和5.8.11可以畫出電子、空穴對的激發區域,圖中也畫出了

5、等離激元的色散曲線，qc為集體激發與個別激發區的交點，當qqc時， ，可以證明等離子集體激發是不穩定的。 因此僅僅在長波范圍0qc，只有個別對激發,三、靜電屏蔽、準電子,等離激元源于電子-電子庫倫相互作用的長程部分之后，金屬電子間的有效互作用只能由庫侖勢的短程部分提供。 由于電子之間的庫倫排斥，它將排開周圍的電子，這樣電子周圍的正電荷凝膠背景將暴露出來，形成一個正電荷的屏蔽云，它將隨電子一起運動。這種裹著屏蔽云一起運動的電子稱為準電子。 準電子間的相互作用不再是裸勢，而是屏蔽勢,現在討論屏蔽勢的具體形式。考慮一個處于傳導電子海洋中的一個點電荷 q(r),它在空間r處產生的勢為(r)。假設和電子

6、的德布羅意波相比，勢是r的緩變勢，即電子感受到的靜電勢在很大范圍內近似為常量。這就是所謂的托馬斯-費米近似。 在此近似下，r處的電子密度可以寫為 f(E)為費米分布函數，N(E)為能態密度,很小時，5.8.12可近似寫為： n為平均電子密度，并應用了 由此得到r處的點電荷q(r)以及它所誘導的電荷導致的有效點和密度為,它所長生的勢由泊松方程決定 將 做傅里葉展開,代入5.8.15可以得到 的傅里葉變換 將5.8.18代回5.8.16，得到任何浸沒在自由電子氣的電荷所產生的勢,這種形式的勢稱為湯川(Yukawa)勢。它表明浸沒在電子氣的點電荷產生的勢比它在真空中的裸勢多了一個屏蔽因子： 該電荷將

7、在 距離內被屏蔽，為屏蔽長度,電子氣的屏蔽效應使得金屬中電子之間的庫倫相互作用變成短程相互作用， 對于一般金屬，取 得到 因此金屬中的準電子可以近似看成相互獨立的,另一方面， ，系統中電子的濃度越大，屏蔽效應越強，電子之間的關聯越弱。在高電子濃度下，電子系統的費米動能大于庫倫相互作用，這是電子處于擴展態，使之在整個晶體中運動。 隨著電子濃度降低，庫倫相互作用大于費米動能。 早在20世紀30年代，維格納 (Wigner) 就從理論上指出，在低電子濃度下，電子之間的強關聯將促使電子局域化，使之在均勻正電荷的背景下形成規則排列的晶格，稱為維格納晶格。有序晶格的形成在能量上是有利的,知道1979年，人

8、們才在液氦表面的二維電子氣中觀測到六角形的維格納晶格的存在。1990年，人們在半導體反型層中的二維電子氣系統中找到維格納晶格存在的證據。三維電子氣的維格納晶格在實驗上始終未觀測到，理論上預計它應具有體心立方結構。 電子氣的屏蔽效應同樣適用于晶格中的正離子，每個離子的強大庫倫勢也被傳導電子所屏蔽，這也是點陣對電子的實際影響要比我們料想的小的原因之一,綜上所述，對于足夠大的電子濃度，屏蔽效應使得電子-電子，電子-晶格之間的關聯很弱，以致阻止束縛態的形成，隨著電子濃度減小到某個臨界值，束縛態將形成。人們認為金屬態到絕緣態的轉變是一個突變，即所謂的莫特轉變,四、等離子體中的橫振動,上面討論的等離激元對應于等離子體的縱振動，我們也可以考慮橫向振動。例如電子波穿過金屬的情況，由于電磁場是橫場： 由5.8.1有 所以橫向擾動激發的等離子體橫振蕩并非密度波。對于這種情況，方程5.8.1和5.8.4都是無足輕重的，此時加速方程5.8.2必須銅麥克斯韋方程一起求解,利用J=-nev，得到,應用了 并且 就是等離激元頻率,方程5.8.23是普遍成立的，對于縱振動， 實質上我們導出了方程5.8.6。對于現在要討論的橫振動， 方程5.8.23變成,其中應用了矢量算符恒等式,方程5.8.24具有類波解 其中 我們也可以得到介電函數,由此可見，如果電磁波的頻率 ，則 波矢k是虛數，這樣的電磁波不能在金