1、遼寧省丹東市2019屆高三數學總復習質量測試試題（二）理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復平面內，復數對應的點位于第二象限，則復數可取（ ）A. 2B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意首先分析復數z的實部和虛部的關系，然后考查所給的選項即可確定z的值.詳解】不妨設，則，結合題意可知：，逐一考查所給的選項：對于選項A：，不合題意；對于選項B：，符合題意；對于選項C：，不合題意；對于選項D：，不合題意；故選：B.【點睛】本題主要考查復數的運算法則，各個象限內復數的特征等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2.已知集合，若，則

2、實數值集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】,可以得到，求出集合的子集，這樣就可以求出實數值集合.【詳解】,的子集有，當時，顯然有；當時，；當時，；當，不存在，符合題意，實數值集合為，故本題選D.【點睛】本題考查了通過集合的運算結果，得出集合之間的關系，求參數問題.重點考查了一個集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結論.3.經過點作圓的切線，則的方程為（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】設直線存在斜率，點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，再討論直線不存在斜率時，是否能和圓相切，如果能,寫出直線方程，綜上所述，求出切線

3、方程.【詳解】，圓心坐標坐標為，半徑為，當過點的切線存在斜率，切線方程為，圓心到它的距離為，所以有，當過點的切線不存在斜率時，即，顯然圓心到它的距離為，所以不是圓的切線；因此切線方程為,故本題選C。【點睛】本題考查了求圓的切線.本題實際上是過圓上一點求切線，所以只有一條.4.在中，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可知，點是的中點，由，可以確定點是的中點，以為基底，表示出，最后確定的關系.【詳解】因為，所以點是的中點，又因為，所以點是的中點，所以有：，因此，故本題選D.【點睛】本題考查了向量加法的幾何意義、平面向量基本定理.解題的關鍵是對向量式的理解、對向量加法的

4、幾何意義的理解.5.據中國古代數學名著九章算術中記載，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標準量器一商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），其體積為12.6立方寸.若取圓周率，則圖中的值為（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.1【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，根據體積，可以求出圖中的值。【詳解】由三視圖可知：該幾何體是由一圓柱和長方體組而成，由題意可知：.【點睛】本題考查了由三視圖還原立體幾何圖形能力，體積運算能力.考查了空間想象能力和運算能力.6.函數的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出函數的定

5、義域，然后判斷奇偶性，再考慮時，函數的單調性，用排除法進行選擇.【詳解】函數的定義定義域為，所以函數是奇函數，圖象關于原點對稱，故可排除B，當時，故可排除C;當時， ，顯然當時，函數是單調遞減的，可排除D，故本題選A.【點睛】本題考查了識別函數的圖象.解決此問題可以從定義域、奇偶性、單調性、對稱性、周期性入手，易采用排除法，有時找特殊點、特殊值也是常用的方法.7.若，則（ ）A. B. C. -1D. 3【答案】A【解析】【分析】由，可求出的值，所求式子可以寫成分母為1的形式，用進行代換，分子、分母同時除以，然后把的值代入求值即可.【詳解】,把代入，求得，故本題選A.【點睛】本題考查了兩角和的

6、正切公式、正弦的二倍角公式,解決本題的關鍵是的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來.8.從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，不同選法共有（ ）A. 156種B. 168種C. 180種D. 240種【答案】B【解析】【分析】先求出從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊有多少種選法，然后再求出服務隊中沒有女生有多少種選法，兩數相減即可.【詳解】從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊有種選法，服務隊中沒有女生的選法有種，所以要求服務隊中至少有1名女生，不同選

7、法共有種選法，故本題選B.【點睛】本題考查了組合問題、分步計算原理.本題采用的是間接法來求解，當問題的正面的好多種情況時，可以看它的反面情況，這樣求解起來簡單.9.在中，則的面積為（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據余弦定理可以求出,再利用同角的三角函數關系求出，最后用三角形面積公式求出面積.【詳解】由余弦定理可知 ，因為，所以，因此，故本題選C.【點睛】本題考查了余弦定理、同角三角函數關系、三角形面積公式.重點考查了運算能力.10.若是函數的極值點，則的值為（ ）A. -2B. 3C. -2或3D. -3或2【答案】B【解析】【分析】由題意可知，這樣可求出，然后針

8、對的每一個值，進行討論，看是不是函數的極值點.【詳解】，由題意可知，或當時，當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減，顯然是函數的極值點；當時，所以函數是上的單調遞增函數，沒有極值，不符合題意，舍去，故本題選B.【點睛】本題考查了已知函數的極值，求參數的問題.本題易錯的地方是求出的值，沒有通過單調性來驗證是不是函數的極值點，也就是說使得導函數為零的自變量的值，不一定是極值點.11.已知函數，若是圖象的一條對稱軸，是圖象的一個對稱中心，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是圖象的一條對稱軸，說明當時，函數有最值；是圖象的一個對稱中心，說明當時，函數值為零，這樣得到二個等式，可

9、以求出的值.【詳解】因為是圖象的一條對稱軸，所以，又因為是圖象的一個對稱中心，所以，得，所以可以表示為：，已知，所以是從1開始的奇數，對照選項，可以選C.【點睛】本題考查了已知正弦型函數的對稱軸、對稱中心求參數問題.重點考查了運算能力.12.雙曲線：的左右焦點分別為，的右支上一點滿足，若坐標原點到直線距離是，則的離心率為（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】分別過，作直線的垂線，垂足為，利用中位線性質可以求出,在中，可以求出，利用雙曲線的定義，可以求出，在中，利用余弦定理可以得到的關系，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】分別過，作直線的垂線，垂足為，顯然, 是的中點,所以=

10、,在中, ,由雙曲線的定義,可知:,在中，,故本題選B.【點睛】本題考查了求雙曲線的離心率.解題的關鍵是利用雙曲線的定義、中位線的性質、余弦定理的綜合使用,考查了運算能力.二、填空題。13.設，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】3【解析】【分析】畫出可行解域，平移直線，找到的最大值.【詳解】畫出如下圖的可行解域：當直線經過點時,有最大值, 解得, ,所以=3.【點睛】本題考查了線性規劃問題，求線性目標函數的最值問題，考查了畫圖能力.14.設函數，若，則_【答案】【解析】分析】當時，解方程，求出的值，判斷是否存在；當時，解方程，求出的值，判斷是否存在，最后確定的值.【詳解】當時， ，而，故舍去

11、；當時， ，所以.【點睛】本題考查了分段函數求值問題，考查了分類運算能力.15.某種種子每粒發芽的概率都為0.85，現播種了1000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為，則的數學期望_【答案】300【解析】【分析】設沒有發牙的種子數為,則有,由題意可知服從二項分布，利用公式可以求出，進而求出的數學期望.【詳解】設沒有發牙的種子數為,則有,由題意可知服從二項分布，即,.【點睛】本題考查了二項分布.重點考查了這二個公式，一；二是.16.正三棱柱的所有棱長都相等，是中點，則二面角的正切值為_【答案】【解析】【分析】設正三棱柱的所有棱長2,取的中點,這樣可以證明出，通過側面與底面

12、垂直，利用面面垂直的性質定理可以證明出側面,也就證明出，這樣過作,利用線面垂直的判定定理，可以證明出所以平面,也就證出，這樣就可以找到二面角的平面角的補角,通過計算可以求出二面角的平面角的補角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【詳解】設正三棱柱的所有棱長2, 取的中點,連接,由題意可知, ,所以,利用勾股定理可以求得,過作,垂足為,連接,如下圖所示:在正三棱柱 中,側面底面,而側面底面,所以側面,平面,所以有,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的補角,在正方形中, 由面積可得,求出,在中, ,所以二面角的正切值為.【點睛】本題考查了求二面角的正切值問題，解決本題的關鍵是

13、找到二面角的平面角的補角.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演箅步驟。17.數列中，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可以采用累和法進行求解，利用等差數列的前項和公式，可以求出的通項公式；（2），可以采用裂項相消法求出數列的前項和.【詳解】解：（1）因為，所以當時， .由于滿足，所以求的通項公式為.（2）因為，所以數列的前項和為 .【點睛】本題考查了累和法求數列的通項公式、裂項相消法求數列前項和.解決此類問題的關鍵是掌握已知所給的通項公式、遞推公式的特征.18.為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設，某市組織開展“學習強國

14、”知識測試，每人測試文化、經濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統計他們文化、經濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數分布表和經濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：經濟項目測試成績頻率分布直方圖分數區間頻數235154035文化項目測試成績頻數分布表將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數在區間內為一般，分數在區間內為良好，分數在區間內為優秀.（1）在抽取的100人中，經濟項目等級為優秀的測試人員中女生有14人，經濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有以上的把握認為“經濟項目等級為優秀”與性別有關

15、？優秀一般或良好合計男生數女生數合計（2）用這100人的樣本估計總體，假設這兩個項目的測試成績相互獨立.（i）從該市測試人員中隨機抽取1人，估計其“文化項目等級高于經濟項目等級”的概率.（ii）對該市文化項目、經濟項目的學習成績進行評價.附：0.1500.0500.0102.0723.8416.635.【答案】（1）見解析（2）（i）0.32（ii）見解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖，可以求出經濟項目等級為優秀人數的人數，同時可以求出男生數人.經濟項目等級為一般或良好的人數，同時可求出男生數，然后填表；計算并結合給出的附表，可以得出結論；（2）（i）記“文化項目等級為優秀”為事件，“

16、文化項目等級為良好”為事件；“經濟項目等級為良好”為事件；“經濟項目等級為一般”為事件.分別可求出，從該市測試人員中隨機抽取1人，其“文化項目等級高于經濟項目等級”的概率為，計算得出；（ii）記“文化項目等級為一般”為事件，“經濟項目等級為優秀”為事件，可求出.可以計算出從該市測試人員中隨機抽取1人，其“項目經濟等級高于文化項目等級”的概率為，從這一點上可以看出該市文化項目學習成績的更好.通過計算文化項目測試成績良好率估計值，經濟項目測試成績良好率估計值，通過比較，可以得出該市文化項目學習成績的更好.通過計算文化項目測試成績平均數的估計值，經濟項目測試成績平均數的估計值為，通過比較，可以得出該

17、市文化項目學習成績的更好.通過由頻數分布表可以求出，該市文化項目測試成績中位數的估計值，和該市文化項目測試成績中位數的估計值，通過比較可以得出該市文化項目學習成績的更好.可以求出該市文化項目測試成績眾數的估計值和經濟項目測試成績眾數的估計值，通過比較可以得出該市對經濟項目學習研究的更深入.可以求出文化項目測試成績優秀率估計值、經濟項目測試成績優秀率估計值，通過比較，可以得出該市對經濟項目學習研究的更深入.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖，得經濟項目等級為優秀人數為.其中女生數為14人，男生數為26人.經濟項目等級為一般或良好的60名測試人員中，女生數為34人，男生數為26人.作出列聯表：優秀

18、一般或良好合計男生數262652女生數143448合計4060100.由于，故有以上的把握認為“經濟項目等級為優秀”與性別有關.（2）（i）記“文化項目等級為優秀”為事件，“文化項目等級為良好”為事件；“經濟項目等級為良好”為事件；“經濟項目等級為一般”為事件.則，.從該市測試人員中隨機抽取1人，其“文化項目等級高于經濟項目等級”的概率為.（ii）記“文化項目等級為一般”為事件，“經濟項目等級為優秀”為事件，則，.從該市測試人員中隨機抽取1人，其“項目經濟等級高于文化項目等級”的概率為.因為，所以該市文化項目學習成績的更好.文化項目測試成績良好率估計值為0.9，經濟項目測試成績良好率估計值為0

19、.8，所以該市文化項目學習成績的更好.文化項目測試成績平均數的估計值為 .經濟項目測試成績平均數的估計值為 .因為，所以該市文化項目學習成績的更好.由頻數分布表知，文化項目測試成績低于40分的頻率為，測試成績低于50分的頻率為.故該市文化項目測試成績中位數的估計值為.由直方圖知，經濟項目測試成績低于40分的頻率為，測試成績低于50分的頻率為，故該市文化項目測試成績中位數的估計值為.因為，所以該市文化項目學習成績的更好.該市文化項目測試成績眾數的估計值為45（分）.經濟項目測試成績眾數的估計值為55（分）.因為，所以該市對經濟項目學習研究的更深入.文化項目測試成績優秀率估計值為0.35，經濟項目

20、測試成績優秀率估計值為0.4，所以該市對經濟項目學習研究的更深入.【點睛】本題考查了獨立性檢驗.重點考查了通過用樣本的數字特征、均值等方面對總體進行評估，是一道用數學中的統計知識，為決策者提供參考的一道好題.19.如圖，四棱錐中，平面，是中點，是線段上的點.（1）若是中點，求證：平面；（2）設與平面所成角為，求最大值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】解法1：（1）建立空間直角坐標系，求出的坐標表示，再證明出平面的法向量是，只要證明出就可以證明平面；（2）設，則，.可以求出，根據和二次函數開口方向，對稱軸，可以求出最大值.解法2：（1）取中點為，連結，可得，可以證明出平面，同理可以證

21、明出平面.也就可以證明平面平面，因此平面；（2）同解法1；解法3：（1）同解法2；（2）由，可知.可以證明出，也就能證明出平面，則.可以求出.的最小值為到距離等于，所以的最大值.【詳解】解法1：（1）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，設.則，所以，.因平面，所以，又，所以平面，平面一個法向量為.因為，平面，所以平面.（2），設，則，.平面的一個法向量為，所以.因為，所以當，即時，取得最大值.解法2：（1）取中點為，連結，則，因為平面，所以平面，同理平面.所以平面平面，因此平面.（2）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，.設，則，.平面

22、的一個法向量為，所以.因為，所以當，即時，取得最大值.解法3：（1）同解法2.（2）因為，所以.因為平面，所以，.所以平面，則.設，則，.的最小值為到距離等于，所以的最大值.【點睛】本題考查了證明線面平行，以及線面角的正弦值最大值問題，通過本題的詳解可以知道利用常規的立體幾何方法和向量方法都能很好地解決問題,20.經過坐標原點的兩條直線與橢圓：分別相交于點、和點、，其中直線經過的左焦點，直線經過的右焦點.當直線不垂直于坐標軸時，與的斜率乘積為.（1）求橢圓的方程；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）最大值6.【解析】【分析】（1）設，由對稱性可知，由，相減得，而直線與直線的斜率乘積

23、為，所以，由題意可知，利用，這樣可求出的值，進而求出橢圓的標準方程；（2）由題設不平行于軸，設：，與聯立得，由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是，利用根與系數的關系，和換元法以及求導法，可以求出四邊形面積的最大值.【詳解】解：（1）設，由對稱性，直線與直線的斜率乘積為.由，相減得.所以，因為，所以，的方程為.（2）由題設不平行于軸，設：，與聯立得.，.由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是 .設，當時，函數單調遞增，所以當，即時，取最大值6.【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，以及橢圓內接四邊形面積最大問題，解決本題的關鍵是理解掌握橢圓對稱性質.21.已知，設函數.（1）討論單調性；（2）若當時，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函數的導數，然后根據的不同取值，進行分類討論函數的單調性；（2）當時，且時，于是等價于，顯然若，時，不等式不成立；當若，構造新函數，求導，得，函數在單調遞增，所以，可以證明出當時，當時，可以通過找到零點，證明出不恒大于零.【詳解】解：（1）.當時，當時，當時，.