1、2.1.1平面目標定位1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.2.了解平面的基本性質，即公理1，2，3.3.會進行“文字語言”“符號語言”“圖形語言”之間的轉化.4.掌握空間中點與直線、點與平面位置關系的分類與表示.自 主 預 習1.平面的概念(1)幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)平面的畫法水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍，如圖.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖.(3)平面的表示法圖的平面可表示為平面，平面ABC

2、D，平面AC或平面BD.2.點、線、面之間的關系(1)直線在平面內的概念：如果直線l上的所有點都在平面內，就說直線l在平面內，或者說平面經過直線l.(2)一些文字語言與數學符號的對應關系：文字語言表達數學符號表示文字語言表達數學符號表示點A在直線l上Al點A在直線l外Al點A在平面內A點A在平面外A直線l在平面內l直線l在平面外l直線l，m相交于點AlmA平面、相交于直線ll3.平面的基本性質及作用公理內容圖形符號作用公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內Al，Bl，且A，Bl既可判定直線和點是否在平面內，又能說明平面是無限延展的公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一

3、個平面A，B，C三點不共線存在唯一的平面使A，B，C一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是判斷兩個平面重合的依據公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，且Pl，且Pl一是判斷兩個平面相交的依據；二是證明點共線問題的依據；三是證明線共點問題的依據即 時 自 測1.判斷題(1)A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線與重合.()(2)梯形一定是平面圖形.()(3)三個平面可以將空間分為4部分或6部分或8部分.()(4)空間中有四個點，如果其中任意三個點都不在同一直線上，那么過其中三個點的平面有四個.()提示(3)三個平面可以將空間分為4部分或6部分或7

4、部分或8部分.(4)當這四個點共面時，只有一個平面；當這四個點不共面時，有四個平面.2.下列圖形中，不一定是平面圖形的是()A.三角形 B.菱形C.梯形 D.四條邊相等的四邊形解析三角形的三個頂點為不共線的三點，因此一定是平面圖形；菱形、梯形分別有兩組、一組對邊平行，故為平面圖形；四邊相等的四邊形可能為空間四邊形.答案D3.用符號表示“點A在直線l上，直線l在平面外”，正確的表示是()A.Al，l B.Al，lC.Al，l D.Al，l解析點與直線、點與平面之間的關系是元素與集合之間的關系，直線與平面之間的關系是集合與集合之間的關系，故選B.答案B4.兩兩平行的三條直線最多可以確定_個平面.解

5、析如圖此時確定的平面個數最多.答案3類型一三種語言的轉換【例1】 用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.(1)三個平面，相交于一點P，且平面與平面相交于PA，平面與平面相交于PB，平面與平面相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.解(1)符號語言表示：P，PA，PB，PC，圖形表示如圖.(2)符號語言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，圖形表示如圖.規律方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)根據符號語言或文字語言畫相

6、應的圖形時，要注意實線和虛線的區別.【訓練1】 根據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解(1)點A在平面內，點B不在平面內，如圖.(2)直線l在平面內，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上，如圖.(3)直線l經過平面外一點P和平面內一點Q，如圖.類型二點線共面問題(互動探究)【例2】 證明：兩兩相交且不過同一點的三條直線在同一平面內.思路探究探究點一確定平面的基本條件有哪些？提示確定平面的基本條件有4個：不在同一直線上的三點、兩條相交直線、兩條平行直線、直線及直線外一點.探究點二納入法證明點、

7、線共面的思路是什么？提示先由公理2確定一個平面，再由公理1證明有關點、線在此平面內.證明法一(納入法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.又Bl3，Cl3，l3.直線l1、l2、l3在同一平面內.法二(重合法)l1l2A，l1、l2確定一個平面.l2l3B，l2、l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的三個點A、B、C既在平面內，又在平面內.平面和重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內.規律方法在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內

8、.(2)重合法：即先證明一些元素在一個平面內，再證明另一些元素在另一個平面內，然后證明這兩個平面重合，即證得所有元素在同一個平面內.【訓練2】 已知直線ab，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面.證明如圖所示.由已知ab，所以過a，b有且只有一個平面.設alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即過a，b，l有且只有一個平面.類型三點共線與線共點問題【例3】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D、A、Q三點共線.證明MNEFQ，Q直線MN，Q直線EF，又M直線CD，N直線AB，CD

9、平面ABCD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直線AD，即D、A、Q三點共線.規律方法點共線與線共點的證明方法：(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上.(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條

10、直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.【訓練3】 如圖所示，已知四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且2.求證：直線EG，FH，AC相交于同一點.證明E，F分別是AB，AD的中點，EFBD且EFBD.又2，GHBD且GHBD，EFGH且EFGH，四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交，設兩腰EG，FH的延長線相交于一點P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD，又平面ABC平面ACDAC，PAC，故直線EG，FH，AC相交于同一點.課堂小結1.解決立體幾何問題首先應過好三大語言關，即實現這三種語言的相互轉換，正確理解集合

11、符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當地用符號語言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉換為符號語言.文字語言和符號語言在轉換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛.2.在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時要體會三個公理的作用，體會先部分再整體的思想.1.下列命題中正確的個數是()一個平面長4米，寬2米；2個平面重疊在一起比一個平面厚；一個平面的面積是25平方米；將一個平面內的一條直線延長，它就會伸出這個平面.A.0 B.1 C.2 D.3解析幾何中的平面是無限延展的，不可進行所有類型的度量，容易判斷所有命題都不對.答案A2.若點Q在直線b上，b在平面內，則

12、Q，b，之間的關系可記作()A.Qb B.QbC.Qb D.Qb解析點Q(元素)在直線b(集合)上，Qb.又直線b(集合)在平面(集合)內，b，Qb.答案B3.設平面與平面交于直線l，A，B，且直線ABlC，則直線AB_.解析l，ABlC，C，CAB，ABC.答案C4.用文字語言和符號語言表示如圖.解文字語言：平面內的兩直線m和n相交于點A.符號語言：m，n，且mnA.基 礎 過 關1.已知點A，直線a，平面，以下命題表述正確的個數是()Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.A.0 B.1 C.2 D.3解析不正確，如aA；不正確，“a”表述錯誤；不正確，如圖所示，Aa，a，但A；不

13、正確，“A”表述錯誤.答案A2.在下列命題中，不是公理的是()A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析A.不是公理，是個常用的結論，需經過推理論證；B、C、D都是平面的基本性質公理.答案A3.已知、為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理錯誤的是()A.Aa，A，Ba，BaB.M，M，N，NMNC.A，AAD.A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共線、重合解析A，A，A.由公理可知為經過A的一條

14、直線而不是A.故A的寫法錯誤.答案C4.(1)空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定_個平面.(2)空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定_個平面.解析(1)可以想象三棱錐的4個頂點，它們總共確定4個平面.(2)可以想象四棱錐的5個頂點，它們總共確定7個平面.答案(1)4(2)75.設平面與平面相交于l，直線a，直線b，abM，則M_l.解析因為abM，a，b，所以M，M.又因為l，所以Ml.答案6.(1)用數學符號表示圖中的點、直線、平面之間的位置關系.(2)畫出滿足下列條件的圖形(其中，為平面，a，b，l為直線)：l，a，b，al，blA，Ba.解(

15、1)l，a，alA，bB，bC.(2)如圖所示7.如圖，直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線.解很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上.由于ABCD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示，EAC，AC平面SAC，E平面SAC.同理，可證E平面SBD.點E在平面SBD和平面SAC的交線上，則連接SE，直線SE就是平面SBD和平面SAC的交線.能 力 提 升8.空間四點A、B、C、D共面而不共線，那么這四點中()A.必有三點共線 B.必有三點不共線C.至少有三點共線 D.不可能有三點共線解析如圖(1

16、)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中A、B、D不共線.答案B9.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論錯誤的是()A.C1，M，O三點共線B.C1，M，O，C四點共面C.C1，O，A，M四點共面D.D1，D，O，M四點共面解析在題圖中，連接A1C1，AC，則ACBDO，A1C平面C1BDM.三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，選項A，B，C均正確，D不正確.答案D10.若直線l與平面相交于點O，A，Bl，C，D，且ACBD，則O，C，D三點的位置關系是_.解析A

17、CBD，AC與BD確定一個平面，記作平面，則直線CD.lO，O.又OAB，O直線CD，O，C，D三點共線.答案共線11.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F為A1A的中點，求證：(1)E，F，D1，C四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.證明(1)如圖，分別連接EF，A1B，D1C.E，F分別是AB和AA1的中點，EF綉A1B.又A1D1綉B1C1綉BC，四邊形A1D1CB為平行四邊形.A1BCD1，EFCD1.EF與CD1確定一個平面，E，F，D1，C四點共面.(2)EF綉CD1，直線D1F和CE必相交.設D1FCEP.D1F平面AA1D1D，PD1F，P平面AA1D1D.又CE平面ABCD，PEC，P平面ABCD.P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點.又平面ABCD平面AA1D1DAD，PAD，CE，D1F，DA三線共點.探 究 創 新12.在棱長是a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1、D1C1的中點，過D，M，