1、2.3 連續(xù)型隨機變量,定義 設 X 是隨機變量, 若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函數(shù),則稱 X 是 連續(xù)型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函數(shù)( p.d.f. )，簡記為d.f.,2.3 連續(xù),43,1,分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義,43,2,p.d.f. f ( x )的性質,常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性 r.v.的 d.f.,在 f ( x ) 的連續(xù)點處，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的 區(qū)間內取值的概率,43,3,積分,43,4,注意: 對于連續(xù)型r.v.X , P(X = a) = 0,其中

2、 a 是隨機變量 X 的一個可能的取值,命題 連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零,強調 概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生),事實上,43,5,對于連續(xù)型 r.v. X,43,6,43,7,例1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連 續(xù)r.v., 其 d.f.為,(1) 求常數(shù) c,(3) 已知一設備裝有3個這樣的電子管, 每個電子管能否正常工作相互獨立, 求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.,(2) 計算,43,8,解,(1) 令,c = 1000,(2),43,9,(3),設A 表示一個電子管的壽命小于1500小時,設在使用的最初1500小時三個電子管中 損壞的個數(shù)為 Y,4

3、3,10,例2 設,為使 f (x) 成為某 r.v. X 在,解 由,d.f.系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足何條件？,當,有最小值,上的,43,11,另外由,當且僅當 時,得,所以系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足下列條件,43,12,(1) 均勻分布,若 X 的 d.f. 為,則稱 X 服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布或稱,X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布. 記作,均勻分布,43,13,X 的分布函數(shù)為,43,14,43,15,即 X 落在(a,b)內任何長為 d c 的小區(qū)間的 概率與小區(qū)間的位置無關, 只與其長度成正 比. 這正是幾何概型的情形.,進行大量數(shù)值計算時

4、, 若在小數(shù)點后第 k 位進行四舍五入, 則產(chǎn)生的誤差可以看作 服從 的 r.v. 隨機變量,應用場合,43,16,例3 秒表最小刻度值為0.01秒. 若計時精 度是取最近的刻度值, 求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X 的 d.f. 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.,解 X 等可能地取得區(qū)間,所以,上的任一值，則,43,17,(2) 指數(shù)分布,若 X 的d.f. 為,則稱 X 服從 參數(shù)為 的指數(shù)分布,記作,X 的分布函數(shù)為, 0 為常數(shù),指數(shù)分布,43,18,43,19,對于任意的 0 a b,應用場合,用指數(shù)分布描述的實例有：,隨機服務系統(tǒng)中的服務時間,電話問題中的通話時間,無線電

5、元件的壽命,動物的壽命,指數(shù)分布 常作為各種“壽命” 分布的近似,43,20,若 X (),則,故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布,指數(shù)分布的“無記憶性”,事實上,命題,年輕,43,21,解 (1),例4 假定一大型設備在任何長為 t 的時間內 發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) (t), 求,相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布; 設備已正常運行小時的情況下,再正常 運行 10 小時的概率.,例4,43,22,即,43,23,(3) 正態(tài)分布,若X 的 d.f. 為,則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布,記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，,正態(tài)分布,亦稱高斯 (Gauss)分布,43,

6、24,N (-3 , 1.2 ),43,25,f (x) 的性質：,圖形關于直線 x = 對稱, 即,在 x = 時, f (x) 取得最大值,在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應的 點處有拐點,曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線,曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀,f ( + x) = f ( - x),性質,43,26,43,27,f ( x) 的兩個參數(shù)：, 位置參數(shù),即固定 , 對于不同的 , 對應的 f (x) 的形狀不變化，只是位置不同, 形狀參數(shù),固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.,若 1 2 則,比x= 2 所對應的拐點更靠近直線 x

7、=,附近值的概率更大. x = 1 所對應的拐點,前者取 ,43,28,Showfn1,fn3,43,29,正態(tài)變量的條件,若 r.v. X, 受眾多相互獨立的隨機因素影響, 每一因素的影響都是微小的, 且這些正、負影響可以疊加,則稱 X 為正態(tài) r.v.,43,30,可用正態(tài)變量描述的實例極多：,各種測量的誤差； 人體的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；,熱噪聲電流強度； 學生的考試成績；,43,31,一種重要的正態(tài)分布,是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為,標準正態(tài),其值有專門的表供查., 標準正態(tài)分布N (0,1),密度函數(shù),43,32,43,33,-x

8、,x,43,34,對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2),其分布函數(shù),作變量代換,43,35,例5 設 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,43,36,求 P ( X 0 ).,解一,例6,43,37,解二 圖解法,0.2,由圖,43,38,例 3 原理,設 X N ( , 2), 求,解,一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 ) 的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小,由3 原理知，,當,3 原理,43,39,標準正態(tài)分布的上 分位數(shù) z,設 X N (0,1) , 0 1, 稱滿足,的點 z 為X 的上 分位數(shù),z,常用 數(shù)據(jù),43,40,例7 設測量的誤差 X N(7.5,100)(單位:米) 問要進行多少次獨立測量，才能使至 少有一次誤差的絕對值不超過1