1、機械控制理論基礎,第五章 系統的頻率特性,系統的頻率特性,5.1 頻率特性 5.2 頻率特性的對數坐標圖（伯德圖） 5.3 頻率特性的對數坐標圖（奈奎斯特圖） 5.5 最小相位系統的概念 5.6 閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標 5.7 系統辨識,5.1 頻率特性,1. 頻率特性的概念,頻率響應是指系統對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應。,輸出與輸入的正弦幅值之比為,輸出與輸入的正弦相位差為,式中： 是在系統傳遞函數 中令 得來， 稱為系統的頻率特性， 和 分別表示頻率特性的幅值和相位角。當 從0變化到時， 和 的變化情況分別稱為系統的幅頻特性和相頻特性，總稱為頻率特性。,輸出與輸入的正弦幅值之比為,輸出與輸入的

2、正弦相位差為,2.頻率特性的含義及特點,（1）頻率特性分析是通過分析不同諧波輸入時系統的穩(wěn)態(tài)響應來表示系統的動態(tài)特性。,傳遞函數 是輸出 與輸入 的拉氏變換之比，故,式中：,（58）,（59）,同理：,系統的頻率特性為輸出和輸入的傅氏變換之比。,（510）,（514）,式中：,（58）,（59）,（2）系統的頻率特性是系統脈沖響應函數 的傅氏變換：,（513）,（3）在經典控制理論范疇，頻域分析法比時域分析法簡單,因為它不僅可以方便地研究參數變化對系統性能的影響，而且可方便地研究系統的穩(wěn)定性，并可直接在頻域中對系統進行校正和綜合，以改善性能。對于外部干擾和噪聲信號，可通過頻率特性分析，在系統設

3、計時，選擇合適的帶寬，從而抑制其影響。,（4）對于高階系統，應用頻域分析法比較簡單,對于高階系統，應用時域分析法比較困難，而應用頻域分析法較為簡單，尤其在系統設計和校正時。,3. 機械系統動剛度的概念,圖3-2所示，質量彈簧阻尼系統，傳遞函數為：,系統阻尼比 ，系統無阻尼自然頻率 。 系統的頻率特性為：,上式反映了動態(tài)作用力 與系統動態(tài)變形 之間的關系，實質上 表示的是機械結構的動柔度 ，也就是它的動剛度 的倒數。,即該機械系統的靜剛度為k。,（515）,其動剛度曲線如右圖所示，對 求偏導，并令,可得當,具有最小值,（516）,由此可以看出，增大機械結構的阻尼 ，能大大提高系統的動剛度。若,則

4、系統不存在諧振頻率，也不會發(fā)生諧振。,例5.1 如圖所示系統，傳遞函數為 ，求系統的頻率特性及系統對正弦輸入 的穩(wěn)態(tài)響應。,解：令 則系統的頻率特性為,系統的幅頻特性為,系統的相頻特性為：,根據頻率響應的定義得系統的穩(wěn)態(tài)響應為：,如果輸入的不是正弦信號，而是一個階躍信號,輸出的傅氏變換為：,其幅值為:,相位為：,輸出響應為：,可以看出輸出 也不是正弦函數。,例5.2 如圖所示吸振器系統，若質量塊 受到干擾力 ，如何選擇吸振器參數 和 ，使質量塊產生的振幅最小。,解：建立系統的微分方程,其動剛度,則位移x1與干擾力f之間的傳遞函數為：,而,由頻率響應可知，當系統輸入為正弦信號時，系統輸出為同頻率

5、正弦信號。顯然要使 ,則應使,即應選擇吸振器參數滿足上式時，可使質量 的振幅為零，施加于 的干擾被 和 吸收了，這就是振動控制中的吸振器。,例5.3 一典型質量彈簧阻尼系統如圖所示，系統輸入力f(t)為矩形波。f(t)=f(t-2T)，試求系統的輸出位移x(t)。,解：系統的傳遞函數為,其幅頻特性,相頻特性,根據線性系統的疊加原理，系統輸出表達式為：,4.頻率特性的表示方法,（1）對數坐標圖或稱伯德(Bode)圖 （2）極坐標圖或稱奈奎斯特(Nyquist)圖 （3）對數幅相圖或稱尼柯爾斯(Nichols)圖,5.2頻率特性的對數坐標圖（伯德圖）,1.對數坐標圖,伯德圖：以對數坐標表示的頻率特

6、性圖，由對數幅頻圖和對數相頻圖組成。橫坐標是按頻率 的以10為底的對數分度。,用對數坐標表示頻率特性的優(yōu)點： 可以將幅值相乘轉化為幅值相加，便于繪制多個環(huán)節(jié)串聯組成的系統的對數頻率特性圖； 可采用漸近線近似的方法繪制對數幅頻圖，簡單方便，尤其是在控制系統設計、校正及系統辨識方面，優(yōu)點更突出； 對數分度擴展了頻率范圍，尤其是低頻段的擴展，對分析機械系統的頻率特性是有利的。,2.各種典型環(huán)節(jié)的伯德圖,（1）比例環(huán)節(jié)K,比例常數K不隨頻率而變，故其幅頻特性和相頻特性都是平行于橫軸的水平直線，大小分別為20lgK和0。,（2）積分環(huán)節(jié),對數幅頻特性為：,對數幅頻圖為一直線，且過(1,0)點，斜率為：-

7、20dB/dec,對數相頻特性為：,相位角與頻率無關，是一條平行于橫軸的直線,若系統包含兩個積分環(huán)節(jié)，即 ，則其對數幅頻特性為,對數幅頻圖為過(1,0)點，斜率為-40dB/dec的直線,相頻特性為,（3）微分環(huán)節(jié),對數幅頻特性為：,對數幅頻圖為一條過(1,0)點，斜率為20dB/dec的直線,對數相頻特性為：,當有兩個微分環(huán)節(jié)時，幅頻特性為過(1,0)斜率為40 dB/dec的直線；相頻特性為平行于橫軸的水平線，相位角恒等于180度。,（4）一階慣性環(huán)節(jié),其幅頻特性,其相頻特性,工程上經常采用近似作圖法來畫幅頻特性曲線，方法如下：,右圖即為慣性環(huán)節(jié)伯德圖，可以看出漸近線近似畫法的誤差發(fā)生在轉

8、角頻率處，誤差值為：,此外，可以看出慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波的特性。,（5）一階微分環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,可以看出一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的對數幅頻圖對稱于零分貝線。,（6）振蕩環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,（526）,（525）,可以看出漸近線與阻尼比 無關，但實際幅值變化與有 關，在 附近時，若 值較小，則會產生諧振峰。,由（525）求出對數幅頻曲線的漸近線：,即漸近線是一條零分貝線,相頻特性： 以 為橫坐標，對應于不同 的 值，形成一簇對數相頻曲線。,（7）二階微分環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,可以看出二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與振蕩環(huán)節(jié)只是相差一個符號，故其對數幅頻曲線對稱于零分貝線，對數相頻特性對

9、稱于 線。,（8）延時環(huán)節(jié),幅頻特性,即對數幅頻曲線為一條零分貝直線。,相頻特性,相位角隨頻率 成線性變化，但對于對數分度，相頻特性則表現為曲線。,3.繪制伯德圖的一般步驟,（1）由傳遞函數 求出頻率特性 ，并將 化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式； （2）求出各典型環(huán)節(jié)的轉角頻率 等參數； （3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線； （4）將各環(huán)節(jié)的對數幅頻曲線的漸近線進行疊加，得到系統幅頻曲線的漸近線，并對其進行修正； （5）將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統的相頻曲線。,例5.4 已知系統的傳遞函數為,畫出系統的伯德圖,解：（1）求系統的頻率特性 ，并化成典型環(huán)節(jié)相乘形式,（2）

10、求各典型環(huán)節(jié)的參數,比例環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),一階微分環(huán)節(jié),（3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和對數相頻曲線。,（4）將各環(huán)節(jié)的對數幅頻曲線的漸近線進行疊加，得到系統幅頻曲線的漸近線，并對其進行修正。,4.系統類型和對數幅頻曲線之間的關系,設系統開環(huán)傳遞函數 為：,其開環(huán)頻率特性為：,即低頻漸近線是 分貝的水平線，如右圖所示,（1）靜態(tài)位置誤差系數Kp,對于0型系統，其對數幅頻曲線在低頻段即 時，幅值為,（2）靜態(tài)速度誤差系數Kv,對于I型系統，其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為20dB/dec的線段,即 ，速度誤差系數Kv在數值上等于交點頻率 。,當 時，其幅值為：,即

11、速度誤差系數Kv與對數幅頻曲線低頻率起始線段（或其延長線）在 時的對應幅值相等。 若該線段或其延長線與零分貝線的交點頻率為 ，則：,（3）靜態(tài)加速度誤差系數Ka,對于II型系統，其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為40dB/dec的線段,即加速度誤差系數Ka與對數幅頻曲線起始段（或延長線）在 處對應的幅值相等。,若該線段或其延長線與零分貝線的交點頻率為,即 ，速度誤差系數Ka在數值上等于交點頻率 。,5.3 頻率特性的極坐標圖（奈奎斯特圖）,1. 極坐標圖,優(yōu)點：可以將系統在整個頻域中的頻率特性表現在一張圖上，在進行穩(wěn)定性分析和系統校正時，應用極坐標圖比較方便。,缺點：繪圖時必須計算出每個頻率下

12、的幅值和相位角，對多個環(huán)節(jié)串聯的系統，需要將某一頻率下各環(huán)節(jié)的幅值相乘、相位相加，不如伯德圖方便。,的極坐標圖是當 從零變化到無窮大時，表示在極坐標上的 的幅值與相角的關系圖。極坐標圖是在復平面內用不同頻率的矢量端點軌跡來表示系統的頻率特性。,2. 典型環(huán)節(jié)的極坐標圖,（1）比例環(huán)節(jié)K,幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標為實軸上的一點,（2）積分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標為負虛軸，且由負無窮遠處指向原點。,（3）微分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標為正虛軸，且由原點指向正無窮遠處,（4）慣性環(huán)節(jié),式中：,（5）一階微分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,一階微分環(huán)節(jié)為過點（

13、1，0），平行于虛軸的上半部直線。,幅頻特性和相頻特性分別為：,（6）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)極坐標圖與阻尼比 有關，對應不同的值，形成一簇極坐標曲線。對于欠阻尼系統 的情況，系統會出現,諧振峰值，記作 ，該頻率 稱諧振頻率。對于過阻尼系統 ，極坐標接近一個半圓，因為 很大時，特征方程的根全為實根，而起主導作用的是靠近虛軸的極點，此時系統已經接近為一階慣性環(huán)節(jié)。,幅頻特性和相頻特性分別為：,（7）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)極坐標圖與阻尼比 有關，對應不同的值，形成一簇極坐標曲線。不論 如何，極坐標曲線在 時，從點(1,0)開始，在 時指向無窮遠處。,（8）延時環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,由上面

14、式子可以看出，延時環(huán)節(jié)的極坐標圖為單位圓，特點是信號通過延時環(huán)節(jié)時，幅值不變而相位角發(fā)生改變，輸出滯后于輸入，滯后角與輸入信號的頻率成正比增大。,當慣性環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)串聯時，系統的頻率特性會產生相應的變化，例如與慣性環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)和延時環(huán)節(jié)串聯。,慣性環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為第四象限半圓，加入延時環(huán)節(jié)后，對應每一頻率的幅值不變，但相位滯后了 。系統的極坐標圖由原來的第四象限內的半園擴展到整個復平面。,3.系統奈奎斯特圖的一般畫法,例5.5 畫出下列兩個0型系統的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2，T3均大于零,上式說明0型系統的奈奎斯特圖的起點均為正實軸上的一個有限點（K，0）。,例5.6 畫出

15、下列兩個I型系統的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零,解：頻率特性可表示為,幅頻特性為,相頻特性為,（532）,根據式532，令 對 的實部和虛部分別取極限,解： 較 增加了一個慣性環(huán)節(jié),（533）,幅頻特性為,相頻特性為,根據式533，令 對 的實部和虛部分別取極限,例5.7 畫出下面II型系統的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零,解：頻率特性可表示為,（534）,幅頻特性為,相頻特性為,例5.8 畫出如下系統的奈奎斯特圖，其中K，T均大于零,解：系統頻率特性,幅頻特性為,相頻特性為,對于一般形式的系統頻率特性,對于不同型次的系統，其奈奎斯特圖具有以下特點：,（1）當 時，奈奎斯特圖

16、起點取決于系統的型次,0型系統 起始于正實軸的某一有限點；,I型系統 起始于相位角為 的無窮遠處，漸近線為一平行于虛軸的直線；,II型系統 起始于相位角為 的無窮遠處。,（2）當 時，若 ，奈奎斯特圖以順時針方向收斂于原點，即幅值為零，相位角與分母和分子階次之差有關，即,（3）當 含有零點時，其頻率特性 的相位將不隨頻率的增大而單調減小，奈奎斯特圖會產生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環(huán)節(jié)的時間常數有關。,5.4 最小相位系統的概念,1. 最小相位系統,最小相位系統：系統開環(huán)傳遞函數 的所有零點和極點都在s平面的左半平面。,特點：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍最小，且當 時，其相位角為,

17、2. 非最小相位系統,非最小相位系統：系統開環(huán)傳遞函數 有零點或極點在s平面的右半平面。,特點：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍總大于最小相位系統，且當 時，其相位角不等于,例5.10 判斷下面?zhèn)鬟f函數是否為最小相位系統，分別畫出伯德圖，并比較相頻特性，其中T1T20,解：分別寫出三個系統零點和極點并畫出分布圖,可以看出它們中只有 為最小相位系統， 和 為非最小相位系統。,可以看出它們的幅頻特性相同，相頻特性不同分別為：,例5.11 已知系統的傳遞函數如下，求其頻率特性,解：該系統為非最小相位系統，其頻率特性為：,幅頻特性為,相頻特性為,右圖為其奈奎斯特圖（其中k取3）,5.6 閉環(huán)頻率特

18、性與頻域性能指標,1.閉環(huán)頻率特性,如圖所示系統其閉環(huán)傳遞函數為,則,被稱作閉環(huán)頻率特性,2.頻域性能指標,(1)諧振峰值 和諧振頻率,若 ，則諧振峰值為 ，又稱相對諧振峰值，若取分貝值，則：,將閉環(huán)頻率特性的幅值用 表示。,當 的幅值為 時， 的最大值 稱作諧振峰值。,在諧振峰值處的頻率 稱為諧振頻率。,例如：圖示二階系統頻率特性為,幅頻特性為,令 ，則：,當 取最大值 時，應滿足：,可得：,在 范圍內，系統會產生諧振峰值Mr ，而且 越小，Mr越大；諧振頻率 與系統的阻尼自然頻率 ，無阻尼自然頻率 有如下關系：,當 時， ， ， 系統產生共振。當 時，系統不存在諧振頻率 ，即不產生諧振。,

19、二階系統Mr與阻尼比 的關系如圖46所示。當 時Mr迅速增大，此時瞬態(tài)響應超調量Mp也增大，當 時，Mr和Mp存在著相似關系。對于機械系統，通常要求,(2) 截止頻率 和頻寬,截止頻率是指系統閉環(huán)頻率特性的對數幅值下降到其零頻率幅值以下3dB時的頻率，即：,故 也可以說是系統閉環(huán)頻率特性幅值為其零頻率幅值的 時的頻率，如圖：,系統的頻寬：指從0到 的頻率范圍。 頻寬（或稱帶寬）表征系統響應的快速性，也反映了系統對噪聲的濾波性能。大的頻寬可以改善系統的響應速度，使其跟蹤或復現輸入信號的精度提高，但同時對高頻噪聲的過濾特性降低，系統抗干擾性能減弱。因此，必須綜合考慮來選擇合適的頻帶寬度。,一階系統頻寬的求解：,得：,故,一階系統的截止頻率 等于系統的轉角頻率 ，即等于系統時間常數的倒數。說明頻寬越大，系統時間