1、 數學極限的求法 常見:夾逼準則, 無窮小量的性質,兩個重要極限，等價無窮小，洛必達法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式。后四種不常見。另外求代數式極限可參見課本P48上。證明極限用定義證。1：利用等價無窮小代換求極限 當x趨于0時等價，例如 當上面每個函數中的自變量x換成時（），仍有上面的等價關系成立，例如：當時， ； 。 例：求 解： 82：利用極限的四則運算性質求極限 進行恒等變形，例如分子分母約去趨于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項的和（或積）為有限項。例；求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) = (2)（2）(3)-1 (4) 因

2、為 所以 3：利用兩個重要極限公式求極限 (1) (2) 例：求下列函數的極限4 (1) (2) （3） 解：(1) 1(2) 1 （3）.4.利用兩個準則求極限。 (1)夾逼準則：若一正整數 N,當nN時，有且則有 . 利用夾逼準則求極限關鍵在于從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和 ，使得。例1. ,求的極限解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項 則 又因為（2）單調有界準則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。 利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然后根據數列的通項遞推公式求極限。 例：1 證明下列數列的極限存在，并求極限。 證明：從這個數列構造

3、來看 顯然是單調增加的。用歸納法可證。 又因為 所以得. 因為前面證明是單調增加的。 兩端除以 得 因為則, 從而 即 是有界的。根據定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因為 解方程得 所以 5：洛必達法則求極限： 洛必達法則只能對或型才可直接使用，其他待定型如必可以化成這兩種類型之一，然后再應用洛必達法則 = A.可以通過，通分化為，后面兩個冪的形式通過取對數來變化。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由所以上述極限是待定型，則1(2) 它為型 由對數恒等式可得 = 如果不存在時，并不能斷定也不存在，只是這時不能用洛必達法則。例 解：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：，此極限

4、不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = 6：利用單側極限相等求極限 用于求分段函數在分段點處的極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 7：利用函數的連續性求極限用于直接將值帶入函數或求復合函數的極限。如果 u=g(x) 在點連續 g()=,而y=f(u)在點連續，那么復合函數y=f(g(x)在點連續。即，極限號可以與符號f互換順序。 例：求 解：令 y,則 因為 在點 處連續 所以 18：利用無窮小量的性質求極限： 可以處理一個有界函數和無窮小的乘積是無窮小類的問題。

5、 例：求 解： 因為 所以 09：換元法求極限： 當一個函數的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例：3 求 解：令 則 1 例. 解（變量替換法）令，則當時，于是, 原式.例.解（變量替換法）令，原式. 10：利用中值定理求極限： 1：微分中值定理：若函數 f(x) 滿足() 在連續 .()在(a,b)可導則在(a,b)內至少存在一點，使，或 例2：求 解： 2：積分中值定理：設函數f(x) 在閉區間 上連續;g(x) 在上不變號且可積，則在上至少有一點使得 例：求 解： 11：利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點有直到n+1 階連續導

6、數,那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開式 于是- 所以12：利用導數的定義求極限 導數的定義：函數f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數 f(x)在點 的導數，記為.即在這種方法的運用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點的導數。 例：求 解：取f(x)= .則 13：利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時首先選好恰當的可積函數f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數 f(x)區間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 14：利用級數收斂的必要條件求極限