1、分別是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 分別是 正弦余弦 正切 余切正割 余割角 的所有三角函數 (見:函數圖形曲線) 在平面直角坐標系xoy中，從點o引出一條射線p,設旋轉角為，設op=r，p點的坐標為（x,）有 正弦函數 sin=y/r 余弦函數 cs=x/r 正切函數ta=y/x 余切函數 t=x/y 正割函數 sec=r/x 余割函數 csc=ry （斜邊為r,對邊為y，鄰邊為x。）以及兩個不常用,已趨于被淘汰的函數: 正矢函數 vrin=1-cos 余矢函數 cvrs=1-si 正弦（sin):角的對邊比上斜邊 余弦（cs):角的鄰邊比上斜邊 正切（tn)：角的對邊比上鄰邊 余切

2、(co）:角的鄰邊比上對邊正割（sec):角的斜邊比上鄰邊余割（csc):角的斜邊比上對邊 編輯本段同角三角函數間的基本關系式: 平方關系: sin+cos11tan=s2 1o2csc積的關系：sin=tnco coscotn tan=sinsec cot=oscscsec=tansc scsect倒數關系: tan ot=1sin csc=1 os sec1 商的關系： si/=an=sec/c co/=cotcsc/sec 直角三角形abc中， 角a的正弦值就等于角a的對邊比斜邊， 余弦等于角a的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊, 1三角函數恒等變形公式 兩角和與差的三角函數： co()=

3、cocos-sisics(-)=coscos+sinsn si（)icoscoin tan(+)=(an+tan)/(-tantan) tan（)=(an-tan)/(1antn） 三角和的三角函數: s(+)=sincosco+ossncos+coscssin-insinsnos(+)cososco-cosii-sicossi-sisncstn(+)=(an+tan+tn-tantata)/(1-tantan-tantantanan)輔助角公式： asin+co=(a²+bp2;)(1/2）sin（artn(b/a)，其中 sint=b/(²；+b&up;)(1/2） st

4、=/（a²b&sp2;）（） tant=/a asin-bcos=（a&p2;+bsup；)（1/2)o(-t），tant=a/ 倍角公式: (2)=2sinos2/(tn+t)co（2)=co²()-sn&up;（)=2os²；()-11-2sin²() an(2）=2ta/1t&su;() 三倍角公式： sin(）=sin-4sin⊃()=sinsn(60+)sin(-) cs(3）=cos³；(）-cos=scos(60+)cs(0-) tn()an a tan(3+a) an（3) 半角公式： si(/)=(（1-os）/2) co

5、s(2)(（1+os）/2)tn(/2）=(1-cos)/(1cs)=sn/(1+cs)=(1-cs)/sn降冪公式 sin⊃(）=（1cos(2)/2vrsin(2)/2cos&p2;(）=(1+cos（2）)/2=cers(2)2 ansp2;()=(1cs(2）)(1+co(2) 萬能公式:in=n(/2)/+tnsup2;(） co=1-tan&up2;(/2)1+tn&up2;(2) tan2t()/-an&su;（/) 積化和差公式： sico（/2）sin(+)+sn(-) cosn=(1/2)in(+)-in() oscos=(1/2)cos()+cos(-） nsi=

6、-(1/2)cos()-cos(-) 和差化積公式: sin+si=2i(+)/2co()/2 in-sin=2co（）/si(-)/2 coscos=2cos(+）/2cos(-)/2 coso=-2sin(+）/sin（)/2推導公式 tncot2/in2 ncot=2co1cos=2ossup2; 1-cos=sip; 1+sin(si/+co2)up2;其他:si+sin(+2n)+sin(+2*2)sin(+3/）+si+2*(n-1)/n= coscos(+/n)cs(+22/n)co(23n）co+2*(-1)n= 以及 in&sp2;()+si&su2;(/)+sin⊃

7、(+/)=3 taatnbtan(a+b)+tana+tatan(+b) cxcos+.+cosnx= si（n+1）x+six-in/2six 證明：左邊=2sinx(coscsx+.+osn)/inx=sin2x-+sin3x-x+sin4x-in2x+.+ sinnx-(-2)+i(n+1)-s（-1)x/2inx （積化和差）=in(+1)+sinnxsinx2inx=右邊 等式得證 sinx+sn2x+.innx= - os(n+1）xconco-1inx 證明: 左邊=-sinxsinx+sin.nnx/(-2sin)=cs-cs+cosxcosx.+cosxco(n-2)x+co

8、s（n+1)x-os(n-1）x/(-2sinx) = cos（n1)x+cosnx-cos-2sinx=右邊 等式得證三倍角公式推導 s3a=sin（2a+a) =sin2aca+osasna =2sna(1-si²)+(1-2sin&u2；a)sn =sa-4sn&up;a co3a cos(2a+a） =cs2acosa-s2sa =(2cs&p2;a-1)coa-2（1-sn&sup；a)co =4cos&up；a3cosa in3a=3sina4n&3；a =sa（34-sip；) =sna（3/）²-si²a =sin(in&u2；6-sn&su2；a

9、) 4sia（si60+sina)（si60-sn) 4sinain（+a)/2cs(60a)/2*2in（0-a)/cos（6a）/2 4iai（60+a)sin（6-) co3=4cs&sp3;3cosa=4csa(cs²a3) =coscs&p2；a-(3/2)&s2; 4coa(os&su2；a-os&p2;30） =csa(ccs30)(acs30) =coa*2cos(a3）/2co（a-30)/2*in(a+30）/2sin(a-30)/2=-4coasin(+30)sn(-30)-cosas90-(6a)sin-0+(0+a) coacos(60-a）cos（60+a

10、) 4cosacos(0-)cos（6) 上述兩式相比可得 tn3a=tanatan(60-a)tn（60+) 編輯本段三角函數的誘導公式 公式一: 設為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等: n（2)=in co(2+)os t(2k+）tan ot(2k+）o 公式二： 設為任意角，+的三角函數值與的三角函數值之間的關系： sin（)-si cs（+）-cos tan(）=tan t（）co 公式三: 任意角與 -的三角函數值之間的關系: sn(）=sin cos(-)cos tan（）=-tan ot(-)cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數值之間的關系： s

11、in(-）=si os()=-o tan（-）-tn ot（-)-co 公式五:利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數值之間的關系： sin(2-）-sin cos（2-）cos an（2）ta co(2-)-cot 公式六: /2及/2與的三角函數值之間的關系：in(/）=co s(/2+）=-si tan(/2)-ct cot（/)=tan i(/-）=co co(2)sn an（/2-)=cotct（/2）=a sin（/2+）cos co（3/）sn ta(2）cot cot(/2）tn sin(3/2)-co cs（3/2）=-s tan（3/2-）cot ot(32-）n （以

12、上kz) 補充：9=54種誘導公式的表格以及推導方法(定名法則和定號法則）f() f(）=sin c ta co s csc 0k si cs an ot sec cs 9 co n ot tncsc e90+ cos -sin -tan -csc 180 si -cs -tan cotec cs 180+sn -cos tno -seccs 27-co -si cot tn -csc-e 0+ -cos s -o -tan cc -sec 30- -sin cos -n-otec-csc -sin costn -ce-csc 定名法則 9的奇數倍+的三角函數,其絕對值與三角函數的絕對值互為余

13、函數。90的偶數倍+的三角函數與的三角函數絕對值相同。也就是“奇余偶同,奇變偶不變”定號法則 將看做銳角(注意是“看做”）,按所得的角的象限，取三角函數的符號。也就是“象限定號,符號看象限” 比如:90+。定名:90是90的奇數倍,所以應取余函數;定號：將看做銳角,那么90+是第二象限角,第二象限角的正弦為負,余弦為正。所以sin(90+）=cos, cos(0+)=-sn這個非常神奇，屢試不爽 編輯本段三角形與三角函數 1、正弦定理:在三角形中，各邊和它所對的角的正弦的比相等,即a/sabsinb=csncr.（其中r為外接圓的半徑) 2、第一余弦定理：三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應角

14、余弦的交叉乘積的和，即a=c cosb b cc 3、第二余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a2=b2+-bcosa 、正切定理(naer比擬):三角形中任意兩邊差和的比值等于對應角半角差和的正切比值,即（a)/(a)=n（a)/2tan（+b）/=tan（a-b)2/cot(/2) 5、三角形中的恒等式: 對于任意非直角三角形中,如三角形b，總有tantb+tnctanbnc 證明： 已知(a+）=(-c) 所以n(a+b）=tan(-c) 則(tana+tanb）/（1-tatanb)=(tn-t)(1+tanan) 整理可得 t

15、ana+tanbtanctanatantanc類似地,我們同樣也可以求證:當+=n(nz）時，總有tan+tn+tan=taantn 編輯本段部分高等內容高等代數中三角函數的指數表示(由泰勒級數易得)： si=e(ix)-e(-ix)/(2i) cx=e(i)+e(-ix)/ tanx=e(ix)（-ix)/ie(ix）+i(-) 泰勒展開有無窮級數，ez=exp(）=+z1!z22！z3/!z/！+zn！此時三角函數定義域已推廣至整個復數集。三角函數作為微分方程的解: 對于微分方程組 y=-y；y=y，有通解q,可證明=ainx+bosx，因此也可以從此出發定義三角函數。 補充：由相應的指數

16、表示我們可以定義一種類似的函數雙曲函數,其擁有很多與三角函數的類似的性質,二者相映成趣。: 角度a 00 45 60 90 80 1.si 1/2 2/ 3/ 10 2.cos 3/ 2/2 12 13tana03/3 13 / 4.ota / 31 0/（注：“”為根號)編輯本段三角函數的計算 冪級數 c0+1x+c22+.+cnx.=cn （n=0.) c0+c1（x-a)+c2(-)2+.+cn（x-a）n+.=cn（x-a） （n=0.) 它們的各項都是正整數冪的冪函數, 其中c0，2,.c.及都是常數, 這種級數稱為冪級數. 泰勒展開式(冪級數展開法): (x）=f（a）+（a)1！

17、*(x-a）+f(a）/！*(x-)2+.()（a）!*（x-）n. 實用冪級數： ex = 1+xx/!+x3/3!+.+xn/n!+. n（1）= -/3+/3.(-）-*xk/k+. (x1） si x =-3/3!+5/5！.（-)k1*x2k-1/(2-1）!+. （x) cs x =1-x/2!+x/!-.（-1）k*x2k/(2k)!+. (x) arcsinx x +12*x3/3+ */(2*4)*x5/ +. (|)arccos x = -( + 1/2*x/3 + 1*3/(2*)*x/5 +. ) (x） rcan x = - x/3 x5/5 -. （x1) sinh

18、 x = x+x！+x5/!.（1)k*xk-/(2k-1)!+.（-x） cosh = +x2/2!x4/!.(-1)*x2k(k)!+. (-) arsinh =x - 2x3/3+ 3/(2*4）*x5/5 - . (|x|1)actn x = x +x3/3+ 5/ +. (x|1)在解初等三角函數時,只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數不等式、面積等等。- 傅立葉級數(三角級數) (）a/2+(n0.) (acosnx+sinnx) a0=/(.-） (x）)x an=1/(.-)（f（x)cx)xbn=1/(.-) (f(x）sinnx）dx三角函數的數值符號 正弦 第一,二象限為正, 第三,四象限為負 余弦第一，四象限為正 第二，三象限為負 正切第一，三象限為正 第二,四象限為負 編輯本段三角函數定義域和值域 sin(x),cs(x）的定義域為，值域為-1, t（x)的定義域為x不等于2k，值域為r cot(x)的定義域為x不等于k,值域為r 編輯本段初等三角函數導數 ysn-cs csx-sx yanx-y=(cs)2; =(secx)2;y=cotx-=-1/(sinx