實例 ：小王有 200 元錢，他決定用來購買兩種急 需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購 買 x 張磁盤， y 盒錄音磁帶達到最佳效果， 效果函數為 U(x, y) = 設每張磁 盤 8 元，每盒磁帶 10 元，問他如何分配這 200 元以達到最佳效果 問題的 實質 ：求 在條件 下的極值點 ( 2 0 0108 要找函數 ),( 在條件 0),( 下的可能 極值點 , 條件極值 ：對自變量有附加條件的極值 先構造函數 ),(),(),( ，其中 為某一常數，可由 (,0),(),(,0),(),(解出 , , 其中 , 就是可能的極值點的坐標 . 拉格朗日乘數法可 推廣 到自變量多于兩個的情況： 要找函數 ),( 在條件 0),( ， 0),( 下的極值。 先構造函數 （ 其中 21 , 均為常數 ） ),(),( ,(),( 21 ,(,0),(,0),(,0),(,0),(,0),(求解方程組 解出 x, y, z, t 即得 可能極值點的坐標 . 解 )22()22()22(則 例 1 求表面積為 體積為最大的長方體的體積 . 設長方體的長、寬、高為 x , y， z. 體積為 V . 則問題就是條件 求函數 的最大值 . )0,0,0( y ),222(),( 2 ,0,0,0 ， )22()22()22(則 令 ),222(),( 2 ,0,0,0 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22,0 ,0 ,0 (2), (1)及 (3), (2)得 ,zy ,zx ,0 ,0 ,0 (2), (1)及 (3), (2)得 ,zy ,zx 于是， 代入條件，得 22 解得 ,66 ,66 6 66 66 6 3m a x 這是唯一可能的極值點。 因為由問題本身可知， 所以， 最大值就在此點處取得。 故，最大值 最大值一定存在， 例 2 將正數 12 分成三個正數 , , 之和 使得 3 為最大 . 解 令 )12(),( 23 , 120020323322則 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322由 (1)， (2) 得 ( 5 ) ,32 由 (1)， (3) 得 ( 6 ) ,31 即，得唯一駐點 )2 ,4 ,6( ， 3m a x (5)， (6) 代入 (4)： 123132 ,6x ,4y .2 因為由問題本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在這個可能的極值點處取得。 故，最大值 解 0102402222則 小值。約束條件下的最大與最在方程求函數例12),( 82222(2),( 2222 構造拉格朗日函數，），（），（），（），（解得可能條件極值點為01,01,10,10 ,1)0,1()0,1(,2)1,0()1,0(最小值為所以所求得的最大值為上必有最值，在有界閉集由于連續函數121/),(2 2222 在第一卦限內作橢球面 1222222切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐標 . 解 設 ),( 000 橢球面上一點 , 令 1),( 222222 則 2 02|x ， 2 02|y ， 2 02|z 過 ),( 000 切平面方程為 )( 020 )(020 )(020 化簡為 12 02 02 0 該切平面在三個軸上的截距各為 02 ，02 ，02 ,所 圍 四 面 體 的 體 積 000222661 , 在條件 1220220220 的最小值 , 令 ,00 ),(0000001(220220220, 由 ,010,0,0220220220000(3a，3b，3c) 時 , 四面體的體積最小 i n . 01021021021220220220200200200可得 即 3030 ，30多元函數的極值 拉格朗日乘數法 （取得極值的必要條件、充分條件） 多元函數的最值 微分法在幾何上的應用 一 問題的提出 二 空間曲線的切線與法平面 (of in 一 問題的提出 偏 導 數 ),(00所 截 得 的 曲 線 在 點0M 處的切線x 軸的斜率 . 偏 導 數 ),(00 曲 面 被 平 面0所 截 得 的 曲 線 在 點0M 處 的 切 線y 軸的斜率 . 我們可以利用偏導數來確定空間曲線的 切向量和空間曲面的法向量 推導過程 二 空間曲線的切線與法平面 1 空間曲線 切向量 ： 000 , , 切線方程 ： 000000法平面方程： 0000000 0 z , y , 0000 (of 解： 2tt 3z , 2y , 1 t 在（ 1 ， 1 ， 1 ）點對應參數為 t = 1 3 , 2 , 1 312111 ( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0 即： x + 2 y + 3 z = 6 例 1 求曲線 在點 處的切線及法平面方程。 3,2, )1,1,1(2 切線方程： 000001 : z , y , 0000 000000 0) z , y ,G ( x 0 ) z , y ,x F(: 3 z , y , 0000 切線方程： 0 000 例 2、求曲線 在點（ 1 ， 1）處的切線及法平面方程。 0, 6222 30163032 222222 1212, 1212, 1212121121,：法平面方程： x - z = 0 切線方程： 110211 設曲面方程為 0),( ,(),(),( 000 曲線在 在曲面上任取一條通過點 ,)()()(:n TM(of ),(),(),( 000000000 令 則 ,由 于 曲 線 是 曲 面 上 通 過 M 的 任 意 一條 曲 線 ，它 們 在 M 的 切 線 都 與 同 一 向 量 n垂 直 ，故曲 面 上 通 過 M 的 一 切 曲 線 在 點 M 的 切 線 都 在 同 一平面上，這個平面稱為曲面在點 M 的 切平面 . 切平面方程為 0)(,()(,()(,(000000000000 通過點 ),( 000 垂 直 于 切 平 面 的 直 線稱 為 曲 面 在 該 點 的 法 線 ),(),(),( 000000000000),(),(),( 000000000 曲面在 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量 . 2 空間曲面方程形為 ),( 曲面在 ,)(,()(,( 0000000 曲面在 (),(0000000 ,(),( 令 )(,()(,( 0000000 切平面上點的豎坐標的增量 的全微分在點函數 ),(),( 00 因為曲面在 3 全微分的幾何意義 ),( 在 ),(00全微分，表示曲面 ),( 在點 ),( 000 的 切 平 面上的點的豎坐標的增量 . 若 、 、 表 示 曲 面 的 法 向 量 的 方 向 角 ，并 假 定 法 向 量 的 方 向 是 向 上 的 ， 即 使 得 它 與 正 向 所 成 的 角 是 銳 角 ， 則 法 向 量 的 方向余弦 為 ,1c o ,1co o ),( 00 ),( 00 其中 解 ,632),( 222 ,1,1()1,1,1( 6,4,2 ,6,4,2切平面方程為 ,0)1(6)1(4)1(2 32 切平面及法 線 方程( 1, 1, 1) 在點632 面3222 求曲面 32 z 在點 )0,2,1( 處 的 切平面及法線方程 . 解 ,32),( z,42 )0,2,1()0,2,1( yF x ,22 )0,2,1()0,2,1( xF y,01 )0,2,1()0,2,1( zz 切平面方程 法線方程 ,0)0(0)2(2)1(4 42 設 為曲面上的切點 , ),(