初中數學競賽中多元極值問題的常用解法嘉積中學海桂學校 劉紅軍多元極值問題是初中數學競賽中的常見題型，此類問題有著極為豐富的內涵，它涉及的知識面廣，綜合性強，解法頗具有技巧性，解答這類問題可以根據不同情況的具體特點，采取不同的方法，現以近年來的數學競賽題為例，介紹這類問題的常用解法，供大家參考.一、配方法：配方法是數學中的一種重要的方法，將已知代數式（等式）配方成若干個完全平方式的形式，結合非負性質，問題常能順利解決.例1 設,為實數，代數式的最小值為 .(2005年武漢CASIO選拔賽試題)分析與解:配方得:原式=顯然,當時,原式有最小值-10.同類型試題: 設,為實數，代數式的最小值為 .(第21屆江蘇省初中數學競賽試題),此題也可以用配方法來解決,最小值為3.二、消元法：把多個元素轉化為某一元素為主元，再結合已知條件，經過合理的運算，使問題逐步簡化，便利求解.例2 已知,為整數，且，若，則：的最小值是： .(2006年全國初中數學競賽決賽試題)分析與解：由，得 因為，為整數，所以，的最大值為1002于是，的最大值為5013例3 若，且x、y、z均為非負數，則的最大值為_.(2007年全國初中數學競賽海南賽區初賽試題)分析與解：由用x來表示y、z，得y=402x，z=x10，又由y0，z0，得解得10x20，又把y=402x，z=x10代入M=5x+4y+2z得，M=x+140，顯然M是關于x的一次函數，且M隨x增大而減小，所以當x=10時，M的最大值為130.三、數形結合法: 數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.例4 已知,且則的最小值為（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）分析與解：這道題，初識實感無從下手，若將“式”轉化成“形則或輕松解.（如圖1）分別以、1和、2為直角邊，、為斜邊，構造如圖1所示的兩個、。由圖形顯見，當點C位于直線 AD上時，AC+AD最短，即的值最小.A GB C ED21圖 1于是過點A作AG垂直DE的延長線交于G點，則四邊形ABEG是矩形，又在中，DG=3，AG=5， 斜邊AD=， 由勾股定理可得：AD= 故應選擇D。同類型試題: 已知,均為正數，且，求的最小值(2003年北京市初二數學競賽試題),此題也可以用此方法來解決,最小值為.四、均值代換法：在數學問題中，出現條件時，我們常作代換，這種代換稱為均值代換.例5 若,均為正數,且,求的最小值.分析與解:由,設: ,則= 當時，即時，此時，原式有最小值：.五、和差代換法：對于任意的實數,，總有 ，若令則有：，這種代換稱為和差代換.例6 已知實數滿足，那么t的取值范圍是 _.分析與解:設,把它們代入 中，得： 化簡得: 因為: 即：六、參數法：參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發生聯系的新變量（參數），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題.例7 若，則可取的最小值為（ ）（2003年武漢選拔試題）A. 3B. C. D. 6解：設 則所以 當時 的值最小為，應選B七、整體設元法：就是把一些看似彼此獨立而實質是緊密相聯系的量看成一個整體去設元、列式、變形、消元、代入和求值等.例8 已知,為實數，那么的最小值是 分析與解：本題要直接求出所求式子的值很困難，故可以采取整體設元，巧妙運用二元一次方程的根的判別式來解決，思路就顯得非常簡捷.設=,將等式整理成關于為主元的二次方程,得為實數 即 就是 ,當時,有.故當時, 有最小值,即代數式有最小值是-1.八、利用函數的性質：借助二次（一次）函數的增減性，并注意自變量的取值范圍，可使問題迎刃而解.例9 已知，且，求的最小值.( 2004年“TRULY信利杯”全國初中數學競賽試題)分析與解:將已知等式兩邊平方得 整理可得: 又 ,得.故=此為關于的二次函數,且開口向上,對稱軸為=2 ,又由于,知當時, 取得最小值