1.3.2函數的奇偶性,1.已知函數f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并畫出它的圖象。,解:,f(-2)=(-2)2=4f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x),-x,x,f(-x),f(x),1.偶函數的概念:,偶函數定義:如果對于f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫偶函數.,2.已知f(x)=x3,畫出它的圖象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8,f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x),-x,f(-x),x,f(x),1.奇函數的概念:,奇函數定義:如果對于f(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫奇函數.,奇函數、偶函數定義的說明:,(1).函數具有奇偶性的前提：定義域關于原點對稱。,（2）.奇、偶函數定義的逆命題也成立，即：若f(x)為奇函數,則f(-x)=f(x)成立。若f(x)為偶函數,則f(-x)=f(x)成立。,（3）如果一個函數f(x)是奇函數或偶函數,那么我們就說函數f(x)具有奇偶性。,練習1.說出下列函數的奇偶性:,偶函數,奇函數,奇函數,奇函數,f(x)=x4_f(x)=x-1_,f(x)=x_,奇函數,f(x)=x-2_,偶函數,f(x)=x5_,f(x)=x-3_,說明：對于形如f(x)=xn的函數，若n為偶數，則它為偶函數。若n為奇數，則它為奇函數。,例1.判斷下列函數的奇偶性,(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),=-x3-2x,=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)為偶函數,定義域為R,解:,定義域為R,即f(-x)=f(x),先求定義域，看是否關于原點對稱;再判斷f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,用定義判斷函數奇偶性的步驟:,練習2.判斷下列函數的奇偶性,(2)f(x)=-x2+1,f(x)為奇函數,f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1,f(x)為偶函數,解：定義域為x|x0,解：定義域為R,即f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),(3).f(x)=5(4)f(x)=0,解:(3)f(x)的定義域為Rf(-x)=f(x)=5f(x)為偶函數,解:(4)定義域為Rf(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0f(x)為既奇又偶函數,說明:函數f(x)=0(定義域關于原點對稱），為既奇又偶函數。,(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x-1,3,解:(5)f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1f(-x)f(x)且f(-x)f(x)f(x)為非奇非偶函數,解:（6）定義域不關于原點對稱f(x)為非奇非偶函數,奇函數說明：根據奇偶性,偶函數函數可劃分為四類:既奇又偶函數非奇非偶函數,偶函數的圖象關于y軸對稱，反過來，如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數.,奇函數的圖象關于原點對稱，反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數.,o,y,x,例3已知函數y=f(x)是偶函數，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出y=f(x)在y軸左邊的圖象。,例2.根據下列函數圖象,判斷函數奇偶性.,y,x,y,x,y,x,用定義法判斷函數奇偶性解題步驟:,(1)先確定函數定義域,并判斷定義域是否關于原點對稱;,(2)求f(-x)，找f(x)與f(-x)的關系;若f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數.,(3)作出結論.f(x)是偶函數或奇函數或非奇非偶函數或即是奇函數又是偶函數。,2.奇偶函數圖象的性質:,奇函數的圖象關于原點對稱.反過來,如果一個函數的圖象關于原點對稱,那么這個函數為奇函數.,偶函數的圖象關于y軸對稱.,反過來,如果一個函數的圖象關于y軸對稱,那么這個函數為偶函數.,注：奇、偶函數圖象的性質可用于：.簡化函數圖象的畫法。.判斷函數的奇偶性。,課堂小結,1奇偶性定義:對于函數f(x),在它的定義域內，若有f(-x)=-f(x),則f(x)叫做奇函數；若有f(-x)=f(x),則f(x)叫做偶函數。2圖象性質:奇函數的