3用系數判別二次曲線類型,3.1二次曲線的不變量、半不變量,3.2用不變量法判別二次曲線的類型,轉軸和移軸的方法只能在右手直角坐標系中判斷二次方程表示的曲線類型.對于在一般仿射坐標系中的方程F(x,y)=0表示的二次曲線,必須先確定它在某個右手直角坐標系中的方程F(x,y)=0,然后按轉軸和移軸進行判別.,而F(x,y)=0是由F(x,y)=0經過從原仿射坐標系到新右手直角坐標系的仿射坐標變換得到的.如果不了解原來仿射坐標系的度量參數,就不能確定仿射坐標變換公式,也就得不到F(x,y)=0.,3用系數判別二次曲線類型,本節介紹一種直接用方程的系數(坐標系不限)來判別二次曲線類型的方法.它用到的方程系數確定的函數I1,I2,I3等,稱為不變量.這種方法也稱為不變量法.,3用系數判別二次曲線類型,定義:曲線方程系數的一個確定的函數,如果在任意一個直角坐標變換下它的函數值不變,就稱這個函數是這條曲線的一個正交不變量,簡稱不變量.,不變量既然與直角坐標系的選擇無關,于是它就反映了曲線本身的幾何性質.因此找出曲線的不變量是解析幾何研究中的一個重要課題.,3.1二次曲線的(半)不變量,設在平面仿射坐標系中二次曲線的方程是,a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c=0,(3.5),其中a11,a22,a12不全為零.,記F(x,y)是方程(3.5)的左端的二次多項式,即,F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2b1x+2b2y+c,設(x,y)是F(x,y)的二次項部分,即,(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2,二次曲線的矩陣表示,3.1二次曲線的(半)不變量,利用矩陣的乘法,將F(x,y),(x,y)分別寫成,其中,3.1二次曲線的(半)不變量,設二次曲線F(x,y)=0,作坐標變換,(3.14),得到二次曲線在新坐標系下的方程:,F(x,y)=0,其中F(x,y)=F(c11x+c12y+d1,c21x+c22y+d2).,坐標變換(3.14)也稱為可逆線性變量替換.,3.1二次曲線的(半)不變量,可逆線性變量替換(3.14)也可用矩陣表示為,其中,或,3.1二次曲線的(半)不變量,根據上面的記號,可得,F(x,y)的二次項部分為,顯然,CTAC和C0TA0C0都是對稱矩陣,因此分別是F(x,y)和(x,y)的矩陣.,3.1二次曲線的(半)不變量,設二次曲線F(x,y)=0及其二次項(x,y)的矩陣分別為,定義I1,I2,I3如下:,I1=a11+a22,I2=|A0|=a11a22a122,I3=|A|.,分別稱為二次曲線F(x,y)=0的第一、第二、第三不變量.,二次曲線的不變量及其性質,3.1二次曲線的(半)不變量,命題3.3設F(x,y)經過可逆線性變量替換(3.14)變為F(x,y),以I1,I2,I3記F(x,y)=0的不變量,則,(1)I2和I2同號,I3和I3同號;,(2)如果C0是正交矩陣,則Ii=Ii,i=1,2,3.,證明:,(1)根據矩陣乘積的性質,有,|I2|=|C0TA0C0|,=|C0|2I2,因為C0可逆,所以|C0|0,從而|C0|20,同理可證I3和I3同號.,=|C0|2|A0|,于是I2和I2同號.,=|C0T|A0|C0|,3.1二次曲線的(半)不變量,(2),當C0是正交矩陣時,|C|=|C0|=1,根據(1)的證明,可得I2=I2,I3=I3.,a120時,如果,對于I1,a12=0時只需作移軸,顯然有I1=I1;,C0TA0C0=,3.1二次曲線的(半)不變量,因此,如果,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,因此,I1=a11+a22,=a11+a22=I1.,C0TA0C0=,3.1二次曲線的(半)不變量,注:(1)命題3.2(2)說明經過直角坐標變換,I1,I2,I3保持不變,因此它們的確是不變量.,(2)在仿射坐標變換下,I1,I2,I3并不是不變的.命題3.2(1)說明I2,I3保持正負性不變,而I1的正負性不一定保持不變.,例如:設F(x,y)=2x2y2,此時I1=1,作仿射坐標變換得,F(x,y)=2x24y2,此時I1=2.,3.1二次曲線的(半)不變量,引理若F(x,y)=0的I20,則對任何實數s,t,有,I1(s,t)0,其中(x,y)是F(x,y)的二次項.,證明:,設(x,y)的矩陣為,則a11a22a122=I20,于是,3.1二次曲線的(半)不變量,=a112s2+2a11a12st+a11a22t2,+a11a22s2+2a12a22st+a222t2,a112s2+2a11a12st+a122t2,+a122s2+2a12a22st+a222t2,=(a11s+a12t)2+(a12s+a22t)2,0.,I1(s,t)=(a11+a22)(a11s2+2a12st+a222t2),3.1二次曲線的(半)不變量,命題3.4如果二次曲線F(x,y)=0的I20,則I10,且作可逆線性變量替換(3.14)后所得的F(x,y)的I1與I1同號.,證明:,因為I20,所以a11a22a1220,說明a11,a22同號且不全為零,再根據A0=C0TA0C0與矩陣乘法的定義,有,于是I1=a11+a220.,另外,根據命題3.3,I20,同理說明I10.,3.1二次曲線的(半)不變量,I1I1=I1(c11,c21)+I1(c12,c22)0.,又因為I1,I1都不為零,所以I1I10,即I1,I1同號.,于是由引理,3.1二次曲線的(半)不變量,注:命題3.4說明,二次曲線的不變量I1在I20的情況下,其正負性在作可逆線性變量替換時也不會變.,I1,I2,I3在作可逆線性變量替換時的變化規律:,(1)I1,I2,I3的值在任一直角坐標變換下不變;,(2)I2,I3的符號在任一仿射坐標變換下不變;,(3)當I20時,I1的符號在任一仿射坐標變換下不變.,3.1二次曲線的(半)不變量,下面再看乘非零常數時的變化規律:,當0時,I1,I2,I3的符號不變;,當1時,I20,曲線為橢圓型:,如果t1,則I1I30,圖像是空集;,如果t1,則I1I30,圖像是橢圓.,(2)當|t|1時,I20,圖像是空集;,3.2用不變量判斷曲線類型,用(半)不變量求二次曲線的最簡方程,1.二次曲線為橢圓型或雙曲型,則最簡方程為:,設二次曲線的方程(3.5)經過直角坐標變換,化成了最簡形式.,由于I1,I2都是不變量,所以有,3.2用不變量判斷曲線類型,這表明a11,a22是下面一元二次方程的根:,2I1+I2=0,(),稱方程()為二次曲線(3.5)的特征方程,它的兩個實根稱為二次曲線(3.5)的特征根,記為1,2.,由于方程()的判別式,I124I2,0,所以方程()一定有兩個實根.,3.2用不變量判斷曲線類型,又因為I3是不變量,所以,從而得,這樣橢圓型或雙曲型二次曲線的最簡方程可寫成:,3.2用不變量判斷曲線類型,2.二次曲線為拋物線,則最簡方程為:,由于I1,I2,I3都是不變量,所以有,3.2用不變量判斷曲線類型,由此得,這樣拋物線的最簡方程可寫成:,3.二次曲線為拋物型,且I3=0,則最簡方程為:,于是I1=a11,I2=I3=0,且,3.2用不變量判斷曲線類型,因此,這樣退化的拋物型曲線的最簡方程可寫成:,3.2用不變量判斷曲線類型,例2設在直角坐標系下二次曲線有下列方程,判斷其類型,并求其標準方程:,(1)x23xy+y2+10 x10y+21=0;,(2)x2+4xy+4y220 x+10y50=0.,解:,(1)I1=1+1=2,3.2用不變量判斷曲線類型,因為I20,所以這是雙曲型曲線.,因為I30,所以這是雙曲線.,3.2用不變量判斷曲線類型,解特征方程225/4=0得,又于是方程可化簡成:,故它的標準方程為,3.2