.,第三章平均數、標準差與變異系數,第一節平均數,下一張,主頁,退出,上一張,.,平均數是統計學中最常用的統計量，用來表明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數主要包括有：算術平均數（arithmeticmean）中位數（median）眾數（mode）幾何平均數（geometricmean）調和平均數（harmonicmean）,下一張,主頁,退出,上一張,.,一、算術平均數算術平均數是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數所得的商，簡稱平均數或均數，記為。算術平均數可根據樣本大小及分組情況而采用直接法或加權法計算。(一)直接法主要用于樣本含量n30以下、未經分組資料平均數的計算。,下一張,主頁,退出,上一張,.,設某一資料包含n個觀測值：x1、x2、xn，則樣本平均數可通過下式計算：（3-1）其中，為總和符號；表示從第一個觀測值x1累加到第n個觀測值xn。當在意義上已明確時，可簡寫為x，（3-1）式可改寫為：,下一張,主頁,退出,上一張,.,【例3.1】某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數。由于x=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10,下一張,主頁,退出,上一張,.,得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。（二）加權法對于樣本含量n30以上且已分組的資料，可以在次數分布表的基礎上采用加權法計算平均數，計算公式為：（3-2）,下一張,主頁,退出,上一張,.,式中：第i組的組中值；第i組的次數；分組數第i組的次數fi是權衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數量，因此將fi稱為是xi的“權”，加權法也由此而得名。【例3.2】將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數分布表如下，求其加權數平均數。,下一張,主頁,退出,上一張,.,表31100頭長白母豬仔豬一月窩重次數分布表,下一張,主頁,退出,上一張,.,利用（32）式得：即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計算若干個來自同一總體的樣本平均數的平均數時，如果樣本含量不等，也應采用加權法計算。,下一張,主頁,退出,上一張,.,【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725kg，如果將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個牛群所包含的牛的頭數不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應以兩個牛群牛的頭數為權，求兩個牛群平均體重的加權平均數，即,下一張,主頁,退出,上一張,.,即兩個牛群混合后平均體重為738.89kg。（三）平均數的基本性質1、樣本各觀測值與平均數之差的和為零，即離均差之和等于零。或簡寫成,下一張,主頁,退出,上一張,.,2、樣本各觀測值與平均數之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。(xi-)2調和平均數上述五種平均數，最常用的是算術平均數。,.,第二節標準差,一、標準差的意義用平均數作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數對一個資料的特征作統計描述是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統計量。,下一張,主頁,退出,上一張,.,全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出判斷時，可以利用全距這個統計量。,下一張,主頁,退出,上一張,.,為了準確地表示樣本內各個觀測值的變異程度，人們首先會考慮到以平均數為標準，求出各個觀測值與平均數的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數的性質和程度，但因為離均差有正、有負，離均差之和為零，即（）=0，因而不能用離均差之和（）來表示資料中所有觀測值的總偏離程度。,下一張,主頁,退出,上一張,.,為了解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對值并將各離均差絕對值之和除以觀測值個數n求得平均絕對離差，即|/n。雖然平均絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度，但由于平均絕對離差包含絕對值符號，使用很不方便，在統計學中未被采用。,.,我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題。先將各個離均差平方，即()2，再求離均差平方和，即，簡稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數；,下一張,主頁,退出,上一張,.,為了使所得的統計量是相應總體參數的無偏估計量，統計學證明，在求離均差平方和的平均數時，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統計量表示資料的變異程度。統計量稱為均方（meansquare縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即S2=（39）,下一張,主頁,退出,上一張,.,相應的總體參數叫總體方差，記為2。對于有限總體而言，2的計算公式為：（310）,.,由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時，常需要與平均數配合使用，這時應將平方單位還原，即應求出樣本方差的平方根。統計學上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標準差，記為S，即：（3-11）,下一張,主頁,退出,上一張,.,由于所以（3-11）式可改寫為：（3-12）,下一張,主頁,退出,上一張,.,相應的總體參數叫總體標準差，記為。對于有限總體而言，的計算公式為：（3-13）在統計學中，常用樣本標準差S估計總體標準差。,下一張,主頁,退出,上一張,.,二、標準差的計算方法（一）直接法對于未分組或小樣本資料，可直接利用（311）或（3-12）式來計算標準差。,.,【例3.9】計算10只遼寧絨山羊產絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標準差。此例n=10，經計算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得：(g)即10只遼寧絨山羊產絨量的標準差為65.828g。,下一張,主頁,退出,上一張,.,（二）加權法對于已制成次數分布表的大樣本資料，可利用次數分布表，采用加權法計算標準差。計算公式為：（314）式中，f為各組次數；x為各組的組中值；f=n為總次數。,下一張,主頁,退出,上一張,.,【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數分布表（見表3-4）計算標準差。將表3-4中的f、fx、代入（314）式得：(g)即某純系蛋雞200枚蛋重的標準差為3.5524g。,下一張,主頁,退出,上一張,.,表34某純系蛋雞200枚蛋重資料次數分布及標準差計算表,下一張,主頁,退出,上一張,.,三、標準差的特性（一）標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。（二）在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數，其數值不變。（三）當每個觀測值乘以或除以一個常數a，則所得的標準差是原來標準差的a倍或1/a倍。,下一張,主頁,退出,上一張,.,（四）在資料服從正態分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數左右一倍標準差（S）范圍內；約有95.43%的觀測值在平均數左右兩倍標準差（2S）范圍內；約有99.73%的觀測值在平均數左右三倍標準差（3S）范圍內。也就是說全距近似地等于6倍標準差，可用（全距/6）來粗略估計標準差。,下一張,主頁,退出,上一張,.,第三節變異系數,變異系數是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統計量。標準差與平均數的比值稱為變異系數，記為CV。變異系數可以消除單位和（或）平均數不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。,下一張,主頁,退出,上一張,.,變異系數的計算公式為：（315）【例3.11】已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為190kg，標準差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標準差為8.5kg，試問兩個品種的成年母豬，那一個體重