動力學（MADE BY水水）13解：運動方程：，其中。將運動方程對時間求導并將代入得 16證明：質點做曲線運動，xyo所以質點的加速度為：,設質點的速度為，由圖可知:，所以: 將，代入上式可得 證畢yzox17證明：因為，所以：證畢110y解：設初始時,繩索AB的長度為,時刻時的長度為,則有關系式：，并且 將上面兩式對時間求導得：，由此解得： （a）(a)式可寫成：，將該式對時間求導得： (b)將(a)式代入(b)式可得：（負號說明滑塊A的加速度向上）取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據質點矢量形式的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：其中：將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得：AOAOBR111解：設B點是繩子AB與圓盤的切點，由于繩子相對圓盤無滑動，所以，由于繩子始終處于拉直狀態，因此繩子上A、B兩點的速度在 A、B兩點連線上的投影相等，即： （a）因為 （b）將上式代入（a）式得到A點速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對時間求導可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據質點矢量形式的運動微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：其中：, 將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得113解：動點：套筒A；動系：OC桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：直線運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理有：，因為AB桿平動，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以 當時，OC桿上C點速度的大小為： x115解：動點：銷子M動系1：圓盤動系2：OA桿定系：機座；運動分析：絕對運動：曲線運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉動根據速度合成定理有， 由于動點M的絕對速度與動系的選取無關，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：117解：動點：圓盤上的C點；動系：O1A桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動； 相對運動：直線運動（平行于O1A桿）； 牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理有 （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：，根據加速度合成定理有 （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM彎桿平移，所以有 取：動點：滑塊M；動系：OC搖桿；定系：機座；運動分析：絕對運動：圓周運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉動。根據速度合成定理 可求得：，根據加速度合成定理 將上式沿方向投影可得：由于，根據上式可得：， 1-20 MOAB解：取小環M為動點，OAB桿為動系運動分析絕對運動：直線運動；相對運動：直線運動；牽連運動：定軸轉動。由運動分析可知點的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示，其中：根據速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其中：，根據加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。取：動點：汽車B；動系：汽車A（Oxy）；定系：路面。運動分析絕對運動：圓周運動；相對運動：圓周運動；牽連運動：定軸轉動（汽車A繞O做定軸轉動）求相對速度，根據速度合成定理 將上式沿絕對速度方向投影可得： y因此 其中：，由此可得：xO求相對加速度，由于相對運動為圓周運動，相對速度的大小為常值，因此有：1-23 質量為銷釘M由水平槽帶動，使其在半徑為的固定圓槽內運動。設水平槽以勻速向上運動，不計摩擦。求圖示瞬時，圓槽作用在銷釘M上的約束力。MOMO 解：銷釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷釘M的運動是給定的，所以先求銷釘的加速度，在利用質點運動微分方程求約束力。取銷釘為動點，水平槽為動系。由運動分析可知銷釘的速度圖如圖所示。MOMO根據速度合成定理有 由此可求出： 。再根據加速度合成定理有：由于絕對運動是圓周運動，牽連運動是勻速直線平移，所以，并且上式可寫成：因為 ，所以根據上式可求出: 。根據矢量形式的質點運動微分方程有：將該式分別在水平軸上投影： 由此求出：1-24 圖示所示吊車下掛一重物M，繩索長為，初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角的關系式。M解：由于要求重物相對吊車的速度，所以取吊車為動系，重物M為動點。根據質點相對運動微分方程有將上式在切向量方向投影有因為，所以上式可寫成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數（由初始條件確定），因為相對速度，上式可寫成初始時，系統靜止，根據速度合成定理可知，由此確定。重物相對速度與擺角的關系式為：RRoFORRoO1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉動，小球M可在板內一光滑槽中運動（如圖7-8），初始時小球相對靜止且到轉軸O的距離為，求小球到轉軸的距離為時的相對速度。解：取小球為動點，板為動系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）。根據質點相對運動微分方程有：將上式在上投影有 因為，所以上式可寫成整理該式可得： 將該式積分有： 初始時,由此確定積分常數，因此得到相對速度為1-27 重為P的小環M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉動，如圖所示。試求小環M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環上的約束力。MM解：取小環為動點，金屬絲為動系，根據題意，相對平衡位置為，因為金屬絲為曲線，所以，因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環的重力。根據質點相對運動微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1 解：當摩擦系數足夠大時，平臺AB相對地面無滑動，此時摩擦力取整體為研究對象，受力如圖，系統的動量：將其在軸上投影可得：根據動量定理有： 即：當摩擦系數時，平臺AB的加速度為零。當摩擦系數時，平臺AB將向左滑動，此時系統的動量為：將上式在軸投影有：根據動量定理有：由此解得平臺的加速度為：（方向向左）x2-2 取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標原點，取整體為研究對象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統的動量為：將上式在x軸投影：根據動量定理有：系統的運動微分方程為：24 取提起部分為研究對象，受力如圖(a)所示，提起部分的質量為，提起部分的速度為，根據點的復合運動可知質點并入的相對速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y (a) (b)根據變質量質點動力學方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運動，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x25 將船視為變質量質點，取其為研究對象，受力如圖。根據變質量質點動力學方程有：船的質量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數：，并代入上式可得：2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉動，板對轉軸的轉動慣量為，質量為的質點沿半徑為的圓周運動，其相對方板的速度大小為（常量）。圓盤中心到轉軸的距離為。質點在方板上的位置由確定。初始時，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質點為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉軸z的力矩為零，因此系統對z軸的動量矩守恒。下面分別計算方板和質點對轉軸的動量矩。設方板對轉軸的動量矩為，其角速度為，于是有設質點M對轉軸的動量矩為，取方板為動系，質點M為動點，其牽連速度和相對速度分別為。相對速度沿相對軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質點M相對慣性參考系的絕對速度。它對轉軸的動量矩為其中：系統對z軸的動量矩為。初始時，此時系統對z軸的動量矩為當系統運動到圖8-12位置時，系統對z軸的動量矩為由于系統對轉軸的動量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可計算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖（鏈條重力未畫），設圓盤的角速度為，則系統對O軸的動量矩為：根據動量矩定理有：P整理上式可得： 由運動學關系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據初始條件：可以確定積分常數，于是方程的解為：系統的動量在x軸上的投影為：系統的動量在y軸上的投影為：根據動量定理：由上式解得：，214 取整體為研究對象，系統的動能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點相對楔塊C的速度，則根據復合運動速度合成定理可知：，因此系統的動能可表示為：，系統在運動過程中，AB桿的重力作功。根據動能定理的微分形式有：，系統的動力學方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 質量為的均質物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質量為光滑小球可在槽內運動，初始時，系統靜止，小球在A處。求小球運動到B處時相對物塊的速度、物塊的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束力。 圖A 圖B解：取小球和物塊為研究對象，受力如圖B所示，由于作用在系統上的主動力均為有勢力，水平方向無外力，因此系統的機械能守恒，水平動量守恒。設小球為動點，物塊為動系，設小球相對物塊的速度為，物塊的速度為，則系統的動能為設為勢能零點，則系統的勢能為根據機械能守恒定理和初始條件有，即 (1)系統水平方向的動量為： (2)根據系統水平動量守恒和初始條件由(2)式有由此求出，將這個結果代入上面的機械能守恒式(1)中,且最后求得：下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象，受力如圖C，D所示。設小球的相對物塊的加速度為，物塊的加速度為，對于小球有動力學方程 （a）ABAB 圖C 圖 D對于物塊，由于它是平移，根據質心運動動力學方程有 （b）將方程（a）在小球相對運動軌跡的法線方向投影，可得其中相對加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得令，聯立求解三個投影方程可求出218 取小球為研究對象，兩個小球對稱下滑，設圓環的半徑為R。每個小球應用動能定理有： （a）將上式對時間求導并簡化可得： (b )每個小球的加速度為取圓環與兩個小球為研究對象，應用質心運動定理將上式在y軸上投影可得： 將(a),(b)兩式代入上式化簡后得時對應的值就是圓環跳起的臨界值，此時上式可表示成上述方程的解為：圓環脫離地面時的值為而也是方程的解，但是時圓環已脫離地面，因此不是圓環脫離地面時的值。219 取圓柱、細管和小球為研究對象。作用于系統上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過鉛垂軸。根據受力分析可知：系統對鉛垂軸的動量矩守恒。設小球相對圓柱的速度為，牽連速度為，由系統對z軸的動量矩守恒，有：z其中：，則上式可表示成：由此解得：其中：，根據動能定理積分式，有：其中：，將其代入動能定理的積分式，可得：將代入上式，可求得：則： 由可求得：220 取鏈條為研究對象，設鏈條單位長度的質量為應用動量矩定理，鏈條對O軸的動量矩為：外力對O軸的矩為：因為：，所以上式可表示成：積分上式可得：由初始條件確定積分常數，最后得：33 取套筒B為動點，OA桿為動系根據點的復合運動速度合成定理可得：，研究AD桿，應用速度投影定理有：，再取套筒D為動點，BC桿為動系，根據點的復合運動速度合成定理將上式在x軸上投影有：，34 AB構件（灰色物體）作平面運動，已知A點的速度CAB的速度瞬心位于C，應用速度瞬心法有：，設OB桿的角速度為，則有設P點是AB構件上與齒輪I的接觸點，該點的速度：齒輪I的角速度為： 36 AB桿作平面運動，取A為基點根據基點法公式有：將上式在AB連線上投影，可得因此，因為B點作圓周運動，此時速度為零，因此只有切向加速度（方向如圖）。根據加速度基點法公式將上式在AB連線上投影，可得，（瞬時針）37 齒輪II作平面運動，取A為基點有 xy將上式在x 投影有：由此求得：再將基點法公式在y軸上投影有：，由此求得再研究齒輪II上的圓心，取A為基點將上式在y軸上投影有，由此解得：再將基點法公式在x軸上投影有：由此解得：，又因為由此可得：39 卷筒作平面運動，C為速度瞬心，其上D點的速度為，卷筒的角速度為：角加速度為：卷筒O點的速度為：O點作直線運動，其加速度為： OCB研究卷筒，取O為基點，求B點的加速度。將其分別在x,y軸上投影同理，取O為基點，求C點的加速度。將其分別在x,y軸上投影P310 圖示瞬時，AB桿瞬時平移，因此有：AB桿的角速度：圓盤作平面運動，速度瞬心在P點，圓盤的的角速度為：圓盤上C點的速度為：AB桿上的A、B兩點均作圓周運動，取A為基點根據基點法公式有將上式在x軸上投影可得：因此：由于任意瞬時，圓盤的角速度均為：將其對時間求導有：，由于，所以圓盤的角加速度。 BC圓盤作平面運動，取B為基點，根據基點法公式有：P313 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度和加速度。AB桿作平面運動，其速度瞬心為P，AB桿的角速度為：桿上C點的速度為：取AB桿為動系，套筒C為動點，根據點的復合運動速度合成定理有：其中：，根據幾何關系可求得：AB桿作平面運動，其A點加速度為零，B點加速度鉛垂，由加速度基點法公式可知由該式可求得由于A點的加速度為零，AB桿上各點加速度的分布如同定軸轉動的加速度分布，AB桿中點的加速度為：再取AB桿為動系，套筒C為動點，根據復合運動加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點的加速度，即：將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，動點的絕對運動為直線運動；相對運動為圓周運動；牽連運動為直線平移。由速度合成定理有： OAB圖 A速度圖如圖A所示。由于動系平移，所以，根據速度合成定理可求出：由于圓盤O1 在半圓盤上純滾動，圓盤O1相對半圓盤的角速度為： 由于半圓盤是平移，所以圓盤的角速度就是其相對半圓盤的角速度。再研究圓盤，取為基點根據基點法公式有：OAB圖 B為求B點的加速度，先求點的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心為動點，半圓盤為動系，根據加速度合成定理有 圖 C （a）其加速度圖如圖C所示，O將公式（a）在和軸上投影可得：由此求出：，圓盤的角加速度為：下面求圓盤上B點的加速度。取圓盤為研究對象，為基點，應用基點法公式有： （b）OB圖 D將（b）式分別在軸上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC桿為動系（瞬時平移），套筒A為動點（勻速圓周運動）。根據速度合成定理有：由上式可解得：因為BC桿瞬時平移，所以有：Pyx315（d） 取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。BC桿作平面運動，其速度瞬心為P，設其角速度為根據速度合成定理有：根據幾何關系可求出：將速度合成定理公式在x,y軸上投影:由此解得:DC桿的速度3-16(b) BC桿作平面運動,根據基點法有:由于BC桿瞬時平移,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC桿為動系（平面運動），套筒A為動點（勻速圓周運動）。 (a)y其中:為科氏加速度,因為,所以動點的牽連加速度為: 由于動系瞬時平移,所以,牽連加速度為, 則(a)式可以表示成將上式在y軸上投影:由此求得: yx316(d) 取BC桿為動系，套筒A為動點，動點A的牽連加速度為動點的絕對加速度為其中為動點A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫成 (a)其中：（見315d）為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點為動點，套筒為動系，由加速度合成定理有yx其中，上式可表示為將上式在y軸投影有：該式可表示成： （b）聯立求解(a),(b)可得POR317 AB桿作平面運動，其速度瞬心位于P，可以證明：任意瞬時，速度瞬心P均在以O為圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時刻的角速度均為 桿上B點的速度為：ORxyAB桿的角加速度為：取A為基點，根據基點法有將上式分別在x,y軸上投影有xy318 取DC桿上的C點為動點，構件AB為動系根據幾何關系可求得：再取DC桿上的D點為動點，構件AB為動系由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影可得xy求加速度：研究C點有將上式在y軸投影有由此求得再研究D點由于BD桿相對動系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影有321 由于圓盤純滾動，所以有根據質心運動定理有：根據相對質心的動量矩定理有求解上式可得：，若圓盤無滑動，摩擦力應滿足，由此可得：當：時，322 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示，由于水平方向沒有力的作用，根據質心運動定理可知AB桿質心C的加速度鉛垂。由質心運動定理有：根據相對質心的動量矩定理有：剛體AB作平面運動，運動初始時，角速度為零。PA點的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點。有運動關系式求解以上三式可求得：325 設板和圓盤中心O的加速度分別為AR，圓盤的角加速度為，圓盤上與板的接觸點為A，則A點的加速度為將上式在水平方向投影有 （a）取圓盤為研究對象，受力如圖，應用質心運動定理有 (b)應用相對質心動量矩定理有 (c)再取板為研究對象，受力如圖，應用質心運動定理有 (d ) 作用在板上的滑動摩擦力為： (e)由(a) (b) (c) (d) (e)聯立可解得：329 解：由于系統在運動過程中，只有AB桿的重力作功，因此應用動能定理，可求出有關的速度和加速度。系統運動到一般位置時，其動能為AB桿的動能與圓盤A的動能之和： P其中：因此系統的動能可以表示成：系統從位置運動到任意角位置， AB桿的重力所作的功為： 根據動能定理的積分形式 初始時系統靜止，所以，因此有將上式對時間求導可得：將上式中消去可得：根據初始條件，可求得初始瞬時AB桿的角加速度 ：因為，所以AB桿的角加速度為順時針。初始瞬時AB桿的角速度為零，此時AB桿的加速度瞬心在點，由此可求出AB桿上A點的加速度：C333 設碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示根據沖量矩定理有： (a)其中：為AB桿質心的速度，根據平面運動關系有 (b)再根據對固定點的沖量矩定理：系統對固定點A（與鉸鏈A重合且相對地面不動的點）的動量矩為滑塊對A點的動量矩和AB桿對A點的動量矩，由于滑塊的動量過A點，因此滑塊對A點無動量矩，AB桿對A點的動量矩（也是系統對A點的動量矩）為：將其代入沖量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得： (滑塊的真實方向與圖示相反)334 研究整體，系統對A軸的動量矩為：其中：AC桿對A軸的動量矩為 設為BC桿的質心，BC 桿對A軸的動量矩為根據沖量矩定理 可得： BCI （a） 再研究BC桿，其對與C點重合的固定點的動量矩為根據沖量矩定理有： （b）聯立求解（a）,(b) 可得335 碰撞前，彈簧有靜變形第一階段：與通過完全塑性碰撞后一起向下運動，不計常規力，碰撞前后動量守恒，因此有：碰撞結束時兩物體向下運動的速度為第二階段：與一起向下運動后再回到碰撞結束時的初始位置，根據機械能守恒可知：此時的速度向上，大小仍然為第三階段：與一起上升到最高位置，此時彈簧被拉長。根據動能定理有：上式可表示成：若使脫離地面，彈簧的拉力必須大于其重力，因此有，將代入上式求得：。若，則注：上述結果是在假設與始終粘連在一起的條件下得到的，若與之間沒有粘著力，答案應為，如何求解，請思考。336 取AB桿為研究對象，初始時，桿上的A點與水平桿上的O點重合，當時系統靜止，AB桿上A點的速度為，角速度為，初始時受到沖擊力的作用，應用對固定點O的沖量矩定理可得BA其中：由此解得：當時，滑塊A以加速度向右運動，取AB桿為研究對象，應用相對動點A的動量矩定理有：將上式積分并簡化可得：其中C是積分常數由初始條件確定出。上式可表示成若AB桿可轉動整圈，則