廣州市2013屆高三考前訓練數學（文科） 說明： 本訓練題由廣州市中學數學教學研究會高三中心組與廣州市高考數學研究組共同編寫，共24題 本訓練題僅供本市高三學生考前沖刺訓練用，希望在5月31日之前完成3本訓練題與市高三質量抽測、一模、二模等數學試題在內容上相互配套，互為補充四套試題覆蓋了高中數學的主要知識和方法因此，希望同學們在5月31日至6月6日之間，安排一段時間，對這四套試題進行一次全面的回顧總結，同時，將高中數學課本中的基本知識（如概念、定理、公式等）再復習一遍xK b1.Co m希望同學們保持良好的心態，在高考中穩定發揮，考取理想的成績！1.已知函數，的最大值是1，其圖像經過點（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值2. 設函數.（1）若是函數的一個零點，求的值；（2）若是函數的一個極值點，求的值.3. 在中，內角所對的邊長分別是, 已知，.（1）求的值；（2）若為的中點，求的長.4. 一緝私艇發現在方位角（從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角）45方向，距離15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小時的速度沿方位角為105的方向逃竄若緝私艇的速度為35 海里/小時，緝私艇沿方位角為45+的方向追去，若要在最短時間內追上該走私船（1）求角的正弦值；（2）求緝私艇追上走私船所需的時間w W w .x K b 1 .c o M5. 某學校餐廳新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下.為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調查，然后用分層抽樣的方法從調查問卷中抽取20份進行統計，統計結果如下面表格所示：滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（1）若同學甲選擇的是A款套餐，求甲的調查問卷被選中的概率；（2）若想從調查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人 進行面談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率.6.汽車是碳排放量比較大的行業之一歐盟規定，從2012年開始，將對排放量超過 的型新車進行懲罰某檢測單位對甲、乙兩類型品牌車各抽取輛進行 排放量檢測，記錄如下(單位：).甲80110120140150乙100120160經測算發現，乙品牌車排放量的平均值為（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛不符合排放量的概率是多少？（2）若，試比較甲、乙兩類品牌車排放量的穩定性7某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.（1） 求x的值；（2） 現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？（3） 已知y245,z245,求初三年級中女生比男生多的概率.8斜三棱柱中，側面底面ABC，側面是菱形，E、F分別是，AB的中點（1）求證：EF平面； （2）求證：CE面ABC（3）求四棱錐的體積.9. 如圖，在等腰梯形PDCB中，PCD ，PB3，DC1，PDBC，A為PB邊上一點，且PA1，將PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD.（1）求證：平面PAD平面PCD. X k B 1 . c o m（2）在線段PB上是否存在一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為VPDCMA:VMACB2:1, 若存在，確定點M的位置；若不存在, 說明理由.（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD.ABCDPPCDMBA10. 如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為, AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于，且（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求四棱錐體積的最大值.11.已知等比數列的公比，且、成等差數列. （1）求數列的通項公式； （2）設，求數列的前項和.12.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度 （單位：輛/千米）的函數當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0 ；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(1)當時，求函數的表達式；(2)當車流密度為多大時，車流量可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）. (車流量為單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）13某地區有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？（精確到立方米, ） 14. 已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點 是曲線在第一象限的交點，且（1）求雙曲線的方程；（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓： 過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為是否為定值？請說明理由15. 如圖，長為m1（m0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且（1）求點M的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；（2）設過點Q(，0)且斜率不為0的直線交軌跡于C、D兩點試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分CPD？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由X| k |B| 1 . c|O |m16.已知數列的前項和的平均數為（1）求的通項公式；（2）設，試判斷并說明的符號；（3）設函數，是否存在最大的實數? 當時，對于一切非零自然數，都有17. 數列滿足，且時，（1） 求數列的通項公式；（2） 設數列的前項和為，求證對任意的正整數都有 18. 設，函數， ，（1）當時，求函數的值域；（2）試討論函數的單調性19.已知函數的圖像在點處的切線方程為.（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）證明：.20.如圖,已知直線及曲線上的點的橫坐標為().從曲線上的點作直線平行于軸，交直線作直線平行于軸，交曲線的橫坐標構成數列.(1)試求的關系;(2)若曲線的平行于直線的切線的切點恰好介于點之間(不與重合),求的取值范圍;(3)若,求數列的通項公式. 21. 已知函數的導函數是, 對任意兩個不相等的正數, 證明: (1)當時, ; (2)當時, .22. 對于函數，若存在R，使成立，則稱為的不動點 如果函數有且僅有兩個不動點0和2（1）試求b、c滿足的關系式；（2）若c2時，各項不為零的數列an滿足4Sn1，求證：；新- 課-標-第-一 -網 （3）在(2)的條件下, 設bn，為數列bn的前n項和， 求證： 23.已知定義在上的單調函數，存在實數，使得對于任意實數，總有恒成立（1）求的值；（2）若，且對任意正整數，有，記，比較與的大小關系，并給出證明24. 已知函數，設在點N*）處的切線在軸上的截距為，數列滿足：N*）（1）求數列的通項公式；（2）在數列中，僅當時，取最小值，求的取值范圍；（3）令函數，數列滿足：，N*），求證：對于一切的正整數，都滿足：參考答案1.解：（1）依題意有，則，將點代入得， 而，故.（2）依題意有，而， ， .2. 解：（1）是函數的一個零點, , 從而. （2）, 是函數的一個極值點 , 從而. .3. 解：（1）且， （2）由（1）可得 由正弦定理得，即，解得在中， ，4. 解：（1）設緝私艇追上走私船所需的時間為t小時，則有|BC|25t，|AB|35t， 且CAB，ACB120，根據正弦定理得： ，即， sin（2）在ABC中由余弦定理得：|AB|2|AC|2|BC|22|AC|BC|cosACB，即 （35t）2152（25t）221525tcos120，即24t215t90，解之得：t=1或t=（舍）故緝私艇追上走私船需要1個小時的時間5. 解：（1）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學生 共有200人，其中選A款套餐的學生為40人， 由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取了 份. 設 “甲的調查問卷被選中” 為事件，則 . 答：若甲選擇的是A款套餐，甲被選中調查的概率是. (2) 由圖表可知，選A，B，C，D四款套餐的學生分別接受調查的人數為4，5，6，5. 其中不滿意的人數分別為1，1，0，2個 . 記對A款套餐不滿意的學生是a；對B款套餐不滿意的學生是b；對D款套餐不滿意的學生是c，d. 設“從填寫不滿意的學生中選出2人，這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐” 為事件,從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個基本事件，而事件有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件， 則. 6. 解：（1）從被檢測的輛甲類品牌車中任取輛，共有種不同的排放量結果： ()；()；()；()；()；()；()；()；()；(). 設“至少有一輛不符合排放量”為事件，則事件包含以下種不同的結果： ()；()；()；()；()；()；(). 所以，. 答：至少有一輛不符合排放量的概率為 （2）由題可知，. ，令， ，乙類品牌車碳排放量的穩定性好. 7解（1） （2）初三年級人數為yz2000（373377380370）500， 現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在初三年級抽取的人數為： 名 （3）設初三年級女生比男生多的事件為A ，初三年級女生男生數記為（y，z）； 由（2）知 ，且 ,基本事件空間包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11個事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5個, .8.（1）證明：取BC中點M，連結FM，在ABC中， F，M分別為BA，BC的中點， FM ACE為的中點，AC FM 四邊形為平行四邊形 平面，平面， EF平面 （2）證明： 連接，四邊形是菱形，為等邊三角形E是的中點 CE 四邊形是菱形 , . CE. 側面底面ABC, 且交線為AC，面 CE面ABC（3）連接，四邊形是平行四邊形，所以四棱錐 由第(2)小問的證明過程可知 面ABC 斜三棱柱中， 面ABC 面. 面在直角中， 四棱錐 =9（1）證明：連接A，PACD四邊形PACD為平行四邊形PDA PD ADCPA1CDAD， 平面PAD平面ABCD，且交線為ADDC平面PAD.DC平面PCD，平面PAD平面PCD.（2） 在線段PB上是存在這樣的點M，當M為PB中點時，使截面AMC把幾何體分成的兩部分VPDCMA:VMACB2:1理由如下:DCPA，CDAD，PAAD，平面PAD平面ABCD，且交線為ADPA 平面ABCDM為PB中點點到面ACB的距離等于PA.,. ，故M為PB中點.（3）AM與平面PCD不平行ABCD，AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD若AM平面PCD，ABAM=A，平面ABM平面PCD這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾AM與平面PCD不平行10.（1）證明：AE、DF是圓柱的兩條母線 AEDF. 平面，平面, AE平面在圓柱中： 上底面/下底面，且上底面截面ABCD，下底面截面ABCD X k B 1 . c o m / 四邊形ABCD為平行四邊形 ABCD.平面,平面, AB平面. 平面平面（2）證明：AE、DF是圓柱的兩條母線，四邊形平行四邊形， 且=四邊形ABCD為平行四邊形 且=且=在圓柱底面上因為且= 為直徑 （3）解法1：作 圓柱的母線 垂直于底面 平面 平面設 在Rt中， 在Rt中，由（2）的證明過程可知平面 四邊形ABCD為平行四邊形 四邊形ABCD為矩形 在Rt中， 當時，即時，四棱錐的體積最大，最大值為解法2： 設（或設） 在Rt中， （，） 垂直于底面，設， 當時，即時，四棱錐的體積最大，最大值為 解法3： w W w .x K b 1 .c o M 設，在Rt中， ， 垂直于底面， =當，即時，四棱錐的體積最大，最大值為.11.解：（1）因為、成等差數列，所以，即.因為，所以，即.因為，所以.所以.所以數列的通項公式為.（2）因為，所以.所以當時，；當時，.綜上所述，12. 解:(1)由題意，當時，當時，設由已知得解得.(2)依題意得當時，為增函數，故.當時，時，取最大值.答：車流密度為100時，車流量達到最大值3333.13.解：（1）設植樹年后可將荒山全部綠化，記第年初植樹量為，依題意知數列是首項，公差的等差數列，則, 即 到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化 X| k |B| 1 . c|O |m（2）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.則到2009年底木材總量-得2答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060214. 解：（1）拋物線的焦點為，雙曲線的焦點為、，設在拋物線上，且，由拋物線的定義得，又點在雙曲線上，由雙曲線定義得， 雙曲線的方程為：（2）為定值下面給出說明設圓的方程為：， 5u圓與直線相切，圓的半徑為， 故圓：. 顯然當直線的斜率不存在時不符合題意，設的方程為，即，設的方程為，即，點到直線的距離為，點到直線的距離為，直線被圓截得的弦長，直線被圓截得的弦長， ， 故為定值 15. 解：（1）設A、B、M的坐標分別為(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，則xy(m1)2， 由m，得(xx0，y)m(x，y0y)， 將代入，得(m1)2x2()2y2(m1)2，化簡即得點M的軌跡的方程為x21（m0）當0m1時，軌跡是焦點在x軸上的橢圓；當m1時，軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓；當m1時，軌跡是焦點在y軸上的橢圓 （2）依題意，設直線CD的方程為xty，由消去x并化簡整理，得(m2t21)y2m2tym20，m4t23m2(m2t21)0，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1y2，y1y2 假設在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分CPD，則直線PC、PD的傾斜角互補，kPCkPD0，即0，x1ty1，x2ty2，0，化簡，得4ty1y2(12a)( y1y2)0 將代入，得0，即2m2t(2a)0，m0，t(2a)0，上式對tR都成立，a2故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分CPD 16.解：（1）由題意，兩式相減得，而，（2），(3)由（2）知是數列的最小項.當時，對于一切非零自然數，都有,即，即，解得或，取.17. 解：（1），則 則（2） 由于，因此，又所以從第二項開始放縮： 因此 18.解:（1），當時，即時，最小值為2當時，在上單調遞增，所以 所以時，的值域為（2）依題意得若，當時，遞減，當時，遞增若，當時，令，解得， 當時，遞減，當時，遞增 當時，遞增若，當時，遞減 當時，解得， 當時，遞增， 當時，遞減，對任意，在上遞減綜上所述，當時，在或上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在，上單調遞減；當時，在上單調遞減19. 解：（1）則有. （2）由（1）得 令, 當時，.若，是減函數， ，即故在不恒成立.當時，.若，是增函數， 即故時.綜上所述，的取值范圍是.（3）由（2）知，當時