幾何概率 早在概率論發展初期 人們就認識到 只考慮有限個等可能樣本點的古典概型是不夠的 早期研究樣本空間有無限個樣本點的概率模型是幾何概率模型 1 1 樣本空間S是數軸上某個區間 它的長度為 S 隨機事件A是S的一個子區間 其長度為 A 現任意投一點到S中 且該點落入S內任何子區間內的可能性只與該子區間的長度成正比 而與子區間的位置和形狀無關 則隨機事件A的概率為 2 2 樣本空間S是平面上某個區域 它的面積為 S 隨機事件A是S的一個子區域 其面積為 A 現任意投一點到S中 且該點落入S內任何子區域內的可能性只與該子區域的面積成正比 而與子區域的位置和形狀無關 則隨機事件A的概率為 3 3 樣本空間S是空間某區域 它的體積為 S 隨機事件A是S的一個子區域 其體積為 A 現任意投一點到S中 且該點落入S內任何子區域內的可能性只與該子區域的體積成正比 而與子區域的位置和形狀無關 則隨機事件A的概率為 4 例1 設k等可能地在區間 0 5 中取值 試求方程有實根的概率 解 k等可能地在區間 0 5 中取值 所以樣本空間所對應的區域是區間 0 5 方程有實根的充要條件是其判斷式大于等于零 于是有 得 或 即 5 由于k只在區間 0 5 中取值 所以方程有實根當且僅當k在以下區間中 所以 6 例2 在半徑為R的圓的一條直徑MN上隨機地取一點P 求過P且與MN垂直的弦的長度大于R的概率 解 以圓心為原點 過直徑MN作數軸ox 如下圖 設隨機點P的坐標為x 則x在區間 R R 上隨機地取值 過P且與MN垂直的弦的長度大于R 即 于是得 且過P點垂直于MN的弦的長度為 7 所以過P且與MN垂直的弦的長度大于R的概率為 8 例3 設一碼頭不能同時停靠兩艘船 現有甲 乙兩艘船將停靠該碼頭 它們在一晝夜內到達的時刻是等可能的 如果甲船停靠時間為6小時 乙船停靠時間為4小時 求這兩艘船中至少有一艘在停靠碼頭時必須等待的概率 自當天零時起計 設甲 乙兩船到達碼頭的時刻分別為x和y 則 解 于是樣本空間可看作是平面區域 9 設事件A表示 這兩艘船中至少有一艘在停靠碼頭時必須等待 若甲船先到 而乙船在隨后的6小時內趕到 則乙船須等待停靠 即 若乙船先到 而甲船在隨后的4小時內趕到 則甲船須等待停靠 即 由此可知 10 從而得 11 例4 把一根長度為a的木棒任意地折成三段 求這三段能構成一個三角形的概率 解 設木棒折成三段后 這三段的長度分別為x y a x y 顯然 于是樣本空間可看作是平面區域 即 12 又這三段能構成一個三角形 即任意兩邊之和大于第三邊 由此可知 設事件A表示 這三段能構成一個三角形 則 13 從而得 14 解答 不 概率等于1的事件不一定是必然事件 它完全可能不發生 同樣概率等于零的事件也不一定是不可能事件 他完全可能發生 讓我們看下一個例子吧 問題 必然事件的概率等于1 那概率等于1的事件也一定是必然事件吧 同樣概率等于零的事件也一定是不可能事件嗎 15 例5 如圖 設試驗E為 隨機地向邊長為1的正方形內投點 事件A為 點投在黃 紅兩個三角形內 求事件A的概率 由于點可能投