六年級數學奧數培訓資料 第10講 假設法解題（一）一、知識要點假設法解體的思考方法是先通過假設來改變題目的條件，然后再和已知條件配合推算。有些題目用假設法思考，能找到巧妙的解答思路。運用假設法時，可以假設數量增加或減少，從而與已知條件產生聯系；也可以假設某個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據乘法分配律求出這個分率對應的和，最后依據它與實際條件的矛盾求解。二、精講精練【例題1】甲、乙兩數之和是185，已知甲數的1/4與乙數的1/5的和是42，求兩數各是多少？【思路導航】假設將題中“甲數的1/4”、“乙數的1/5”與“和為42”同時擴大4倍，則變成了“甲數與乙數的4/5的和為168”，再用185減去168就是乙數的1/5。解： 乙：（185424）（11/54）85答：甲數是100，乙數是85。練習1：1甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數和是35元，求甲、乙兩人各有多少元錢？2甲、乙兩個消防隊共有338人。抽調甲隊人數的1/7，乙隊人數的1/3，共抽調78人，甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3海洋化肥廠計劃第二季度生產一批化肥，已知四月份完成總數的1/3多50噸，五月份完成總數的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原計劃生產多少噸？【例題2】彩色電視機和黑白電視機共250臺。如果彩色電視機賣出1/9，則比黑白電視機多5臺。問：兩種電視機原來各有多少臺？【思路導航】從圖中可以看出：假設黑白電視機增加5臺，就和彩色電視機賣出1/9后剩下的一樣多。黑白電視機增加5臺后，相當于彩色電視機的（11/9） 8/9。（250+5）（1+11/9）135（臺）250125115（臺）答：彩色電視機原有135臺，黑白電視機原有115臺。練習2：1姐妹倆養兔120只，如果姐姐賣掉1/7，還比妹妹多10只，姐姐和妹妹各養了多少只兔？2學校有籃球和足球共21個，籃球借出1/3后，比足球少1個，原來籃球和足球各有多少個？3小明甲養的雞和鴨共有100只，如果將雞賣掉1/20，還比鴨多17只，小明家原來養的雞和鴨各有多少只？【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個，已知師傅加工零件個數的3/8與徒弟加工零件個數的4/7的和為49個，師、徒各加工零件多少個？【思路導航】假設師、徒兩人都完成了4/7，一個能完成（1054/7）60個，和實際相差（6049）11個，這11個就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相差的個數。這樣就可以求出師傅加工了【11（4/73/8）】56個。即：師傅：（1054/749）（4/73/8）56（個）徒弟：1055649（個）答：師傅加工了56個，徒弟加工了49個。練習3：1某商店有彩色電視機和黑白電視機共136臺，賣出彩色電視機的2/5和黑白電視機的3/7，共賣出57臺。問：原來彩色電視機和黑白電視機各有多少臺？2甲、乙兩個消防隊共有336人，抽調甲隊人數的5/7、乙隊人數的3/7，共抽調188人參加滅火。問：甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？3學校買來足球和排球共64個，從中借出排球個數的1/4和足球個數的1/3后，還剩下46個，買來排球和足球各是多少個？【例題4】甲、乙兩數的和是300，甲數的2/5比乙數的1/4多55，甲、乙兩數各是多少？【思路導航】甲數的2/5與乙數的2/5的和就是甲、乙兩數的2/5，是3002/5120，因為甲數的2/5比乙數的1/4多55，所以從120中減去55所得的差就可以看成是乙數的1/4與乙數的2/5的和。乙：（3002/555）（2/5+1/4）100甲：300100200答：甲數是200，乙數是100。練習4：1畜牧場有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，這個畜牧場有山羊、綿羊各多少只？2師傅和徒弟共加工零件840個，師傅加工零件的個數的5/8比徒弟加工零件個數的2/3多60個，師傅和徒弟各加工零件多少個？3某校六年級甲、乙兩個班共種100棵樹，乙班種的1/10比甲班種的1/3少16棵，兩個班各種多少棵？【例題5】育紅小學上學期共有學生750人，本學期男學生增加1/6，女學生減少1/5，共有710人，本學期男、女學生各有多少人？【思路導航】假設本學期女學生不是減少1/5，而是增加1/6，半學期應該有750（1+1/6）875人，比實際多875710165人，這165人是假設女學生也增加1/6多出的人數，而實際女學生減少1/5，所以，這165人對應著女學生的（1/5+1/6）11/30。上學期女生：【750（1+1/6）710】（1/5+1/6）450（人）本學期女生：450（11/5）360（人）本學期男生：710360350（人）答：本學期男學生有350人，女學生有360人。練習5：1金放在水里稱，重量減輕1/19，銀放在水里稱，重量減少1/10，一塊重770克的金銀合金，放在水里稱是720克，這塊合金含金、銀各多少克？2某中學去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48，高中招的新生比去年增加20，今年初、高中各招收新生多少人？ 3袋子里原有紅球和黃球共119個。將紅球增加3/8，黃球減少2/5后，紅球與黃球的總數變為121個。原來袋子里有紅球和黃球各多少個？第11講 假設法解題（二）一、知識要點已知甲是乙的幾分之幾，又知甲與乙各改變一定的數量后兩者之間新的倍數關系，要求甲、乙兩個數是多少，這樣的應用題稱為變倍問題。應用題中的變倍問題，有兩數同增、兩數同減、一增一減等各種情況。雖然其中的數量關系比較復雜，但解答時的關鍵仍是確定哪個量為單位“1”，然后通過假設，找出變化前后的相差數相當于單位“1”的幾分之幾，從而求出單位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。二、精講精練【例題1】兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第一根剩下的長度是第二根剩下的長度的5倍，第二根原來有多少米？【思路導航】假設第一根用去6318米，那么第一根剩下的長度仍是第二根剩下長度的3倍，而事實上第一根比假設的少用去（636）12米，也就多剩下第二根剩下的長度的（53）2倍。（633）（53）+612（米）答：第二根原來有12米。練習1：1丁曉原有書的本數是王陽的5倍，若兩人同時各借出5本給其他同學，則丁曉書的本數是王陽的10倍，兩人原來各有書多少本？2在植樹勞動中，光明中學植樹的棵數是光明小學的3倍，如果中學增加450棵，小學增加400棵，則中學是小學的2倍。求中、小學原來各植樹多少棵？3兩堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8噸，第二堆用去11噸，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原來是多少噸？【例題2】王明平時積蓄下來的零花錢比陳剛的3倍多6.40元，若兩個人各買了一本4.40元的故事書后，王明的錢就是陳剛的8倍，陳剛原來有零花錢多少元？【思路導航】假設仍然保持王明的錢比陳剛的3倍多6.40元，則王明要相應地花去4.403 13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.204.408.80元，那么王明買書后的錢比陳剛買書后的錢的3倍多6.40+8.8015.20元，而題中已告訴：買書后王明的錢是陳剛的8倍，所以，15.20元就對應著陳剛花錢后剩下錢的835倍。【6.40+（4.4034.40】（83）+4.407.44（元）答：陳剛原來有零花錢7.44元。練習2：1甲書架上的書比乙書架上的3倍多50本，若甲、乙兩個書架上各增加150本，則甲書架上的書是乙書架上的2倍，甲、乙兩個書架原來各有多少本書？2上學年，馬村中學的學生比牛莊小學的學生的2倍多54人，本學年馬村中學增加了20人，牛莊小學減少了8人，則馬村中學的學生比牛莊小學的學生的4倍少26人，上學年馬村中學和牛莊小學各有學生多少人？3箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球比白球的3倍多2粒，每次從箱子里取出7粒白球和15粒紅球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒紅球，那么，箱子里白球原有多少粒？【例題3】小紅的彩筆枝數是小剛的1/2，兩人各買5枝后，小紅的彩筆枝數是小剛的2/3，兩人原來各有彩筆多少枝？【思路導航】假設小剛買了5枝后，小紅的彩筆仍為小剛的1/2，則小紅只需買（51/2）2又1/2枝，但實際上小紅買了5枝，多買了52又1/22又1/2 枝。將小剛買了5枝后的枝數看作“1”，小紅多買了2又1/2 ，相當于（2/31/2）1/6。小剛原來：（551/2）（2/31/2）510（枝）小紅原來：101/25（枝）答：小剛原來有彩筆10枝，小紅原來有彩筆5枝。練習3：1小華今年的年齡是爸爸年齡的1/6，四年后小華的年齡是爸爸的1/4，求小華和爸爸今年的年齡各是多少歲？2小紅今年的年齡是媽媽的3/8，10年后小紅的年齡是媽媽的1/2，小紅今年多少歲？3甲書架上的書是乙書架上的5/7，甲、乙兩個書架上各增加90本后，甲書架上的書是乙書架上的4/5，甲、乙兩各書架原來各有多少本書？【例題4】王芳原有的圖書本數是李衛的4/5，兩人各捐給“希望工程”10本后，則王芳的圖書的本數是李衛的7/10，兩人原來各有圖書多少本？【思路導航】假設李衛捐了10本后，王芳的圖書仍是李衛的4/5，則王芳只需捐104/58本，實際王芳捐了10本，多捐了1082本，將李衛捐書后剩下的圖書看作“1”，著2本書相當于4/57/101/10。（10104/5）(4/5710)=30(本)304/524（本）答：李衛原有圖書30本，王芳原有圖書24本。練習4：1甲書架上的書是乙書架上的4/5，從這兩個書架上各借出112本后，甲書架上的書是乙書架上的4/7，原來甲、乙兩個書架上各有多少本書？2小明今年的年齡是爸爸的6/11，10年前小明的年齡是爸爸的4/9，小明和爸爸今年各多少歲？3甲車間的工人是乙車間的1/4，從甲、乙兩個車間各抽出30人后，甲車間的工人只占乙車間的1/6，甲、乙兩個車間原來各有多少名工人？【例題5】某校六年級男生人數是女生的23，后來轉進2名男生，轉走3名女生，這時男生人數是女生的3/4，現在男、女生各有多少人？【思路導航】假設轉走3名女生后，男生人數仍是女生的2/3，則男生應轉走32/32人，實際上男生卻轉進2人，與應轉走2人相差2+24人。將轉走3名女生后的女生人數看作“1”，則相差的4人相當于現在女生的3/42/3。（2+32/3）（3/42/3）48（人）483/436（人）答：現在男生有36人，女生有48人。練習5：1甲車間的工人是乙車間的2/5，后來甲車間增加20人，乙車間減少35人，這樣甲車間的人數是乙車間的7/9，現在甲、乙兩個車間各有多少人？2有一堆棋子，黑子是白子的2/3，現在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的5/12，現在白子、黑子各有多少粒？3愛華小學和曙光小學的同學參加小學數學競賽，去年的比賽中，愛華小學得一等獎的人數是曙光小學的2.5倍。今年的比賽中，愛華小學得一等獎的人數減少了1人，曙光小學增加了6人，這時曙光小學得一等獎的人數是愛華小學的2倍。兩校去年的一等獎的同學各有多少人？第12講 倒推法解題一、知識要點有些應用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程比較繁瑣。所以，解題時，我們可以從最后的結果出發，運用加與減、乘與除之間的互逆關系，從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。二、精講精練【例題1】一本文藝書，小明第一天看了全書的1/3，第二天看了余下的3/5，還剩下48頁，這本書共有多少頁？【思路導航】從“剩下48頁”入手倒著往前推，它占余下的13/52/5。第一天看后還剩下482/5120頁，這120頁占全書的11/32/3，這本書共有1202/3180頁。即48（13/5）（11/3）180（頁）答：這本書共有180頁。練習1：某班少先隊員參加勞動，其中3/7的人打掃禮堂，剩下隊員中的5/8打掃操場，還剩12人打掃教室，這個班共有多少名少先隊員？一輛汽車從甲地出發，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到達乙地。甲、乙兩地間的路程是多少千米？把一堆蘋果分給四個人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走這時所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15個，這堆蘋果共有多少個？【例題2】筑路隊修一段路，第一天修了全長的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，還剩500米，這段公路全長多少米？【思路導航】從“還剩500米”入手倒著往前推，它占余下的12/75/7，第一天修后還剩5005/7700米，如果第一天正好修全長的1/5，還余下700+100800米，這800米占全長的11/54/5，這段路全長8004/51000米。列式為：【500（12/7）+100】（11/5）1000米答：這段公路全長1000米。練習2：一堆煤，上午運走2/7，下午運的比余下的1/3還多6噸，最后剩下14噸還沒有運走，這堆煤原有多少噸？用拖拉機耕一塊地，第一天耕了這塊地的1/3又2公頃，第二天耕的比余下的1/2多3公頃，還剩下35公頃，這塊地共有多少公頃？一批水泥，第一天用去了1/2多1噸，第二天用去了余下1/3少2噸，還剩下16噸，原來這批水泥有多少噸？【例題3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出1/3給乙桶后，又從乙桶中倒出1/5給甲桶，這時兩桶油各有24千克，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？【思路導航】從最后的結果出發倒推，甲、乙兩桶共有（242）48千克，當乙桶沒有倒出1/5給甲桶時，乙桶內有油24（11/5）30千克，這時甲桶內只有483018千克，而甲桶已倒出1/3給了乙桶，可見甲桶原有的油為18（11/3）27千克，乙桶原有的油為482721千克。甲：【24224（11/5）】（11/3）27（千克）乙：2422721（千克）答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。練習3：小華拿出自己的畫片的1/5給小強，小強再從自己現有的畫片中拿出1/4給小華，這時兩人各有畫片12張，原來兩人各有畫片多少張？甲、乙兩人各有人民幣若干元，甲拿出1/5給乙后，乙又拿出1/4給甲，這時他們各有90元，他們原來各有多少元？一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原來瓶中有多少克酒精？【例題4】甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的錢數給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數給丙；第三次丙拿出與這時甲相同的錢數給甲。這樣，甲、乙、丙三人的錢數相等，原來甲比乙多多少元錢？【思路導航】根據題意，由最后甲錢數是168356元可推出：第一次甲拿出與乙同樣的錢數給乙后，甲剩下的錢是56228元，這28元就是原來甲比乙多的錢數。1683228元答：原來甲比乙多28元。練習4：甲、乙、丙三個班共有學生144人，先從甲班調出與乙班相同的人數給乙班，再從乙班調出與丙班相同的人數到丙班。再從丙班調出與這時甲班相同的人數給甲班，這樣，甲、乙、丙三個班人數相等。原來甲班比乙班多多少人？甲、乙、丙三個盒子各有若干個小球，從甲盒拿出4個放入乙盒，再從乙盒拿出8個放入丙盒后，三個盒子內的小球個數相等。原來乙盒比丙盒多幾個球？甲、乙、丙三個倉庫面粉袋數的比是6：9：5，如果從乙倉庫拿出400袋平均分給甲、丙兩倉庫，則甲、乙兩個倉庫的數量相等。這三個倉庫共存面粉多少袋？【例題5】甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運出1/4到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？【思路導航】解題關鍵是把兩個倉庫糧食的和看作“1”，由題意可知，從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，乙倉庫最后占兩倉庫和的1/2。當乙倉庫沒有往甲倉庫運時，乙倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？1/2（11/4）2/3甲倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？12/31/3甲倉庫原來占兩倉庫和的幾分之幾？1/3（11/4）4/9原來甲倉庫時乙倉庫的幾分之幾？4（94）4/5答：原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的4/5。練習5：1甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運出1/3到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/3到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運出1/5到乙倉庫后，又從乙倉庫運出1/4到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運出1/3到乙倉庫后，又從乙倉庫運出2/5到甲倉庫，這時乙倉庫的糧食是甲倉庫的9/10。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？第13講 代數法解題一、知識要點有一些數量關系比較復雜的分數應用題，用算術方法解答比較繁、難，甚至無法列式算式，這時我們可根據題中的等量關系列方程解答。二、精講精練【例題1】某車間生產甲、乙兩種零件，生產的甲種零件比乙種零件多12個，乙種零件全部合格，甲種零件只有4/5合格，兩種零件合格的共有42個，兩種零件個生產了多少個？【思路導航】本體用算術方法解有一定難度，可以根據兩種零件合格的一共有42個，列方程求解。解：設生產乙種零件x個，則生產甲種零件（x+12）個。（x+12）4/5+x424/5x+9+x429/5x429又3/5x1818+1230（個）答：甲種零件生產了30個，乙種零件生產了18個。練習1：1某校參加數學競賽的女生比男生多28人，男生全部得優，女生的3/4得優，男、女生得優的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2有兩盒球，第一盒比第二盒多15個，第二盒中全部是紅球，第一盒中的2/5 是紅球，已知紅球一共有69個，兩盒球共有多少個？3六年級甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人參加課外數學組，兩個班參加課外數學組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？【例題2】閱覽室看書的學生中，男生比女生多10人，后來男生減少1/4，女生減少1/6，剩下的男、女生人數相等，原來一共有多少名學生在閱覽室看書？【思路導航】根據剩下的男、女人數相等的題意來列方程求解。解：設女生有x人，則男生有（x+10）人（11/6）x（x+10）（11/4）x9090+90+10190人答：原來一共有190名學生在閱覽室看書。練習2：1某小學去年參加無線電小組的同學比參加航模小組的同學多5人。今年參加無線電小組的同學減少1/5，參加航模小組的人數減少1/10，這樣，兩個組的同學一樣多。去年兩個小組各有多少人？2原來甲、乙兩個書架上共有圖書900本，將甲書架上的書增加5/8，乙書架上的書增加3/10，這樣，兩個書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個書架各有圖書多少本？3某車間昨天生產的甲種零件比乙種零件多700個。今天生產的甲種零件比昨天少1/10，生產的乙種零件比昨天增加3/20，兩種零件共生產了2065個。昨天兩種零件共生產了多少個？【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數的1/5比乙校參加人數的1/4少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？【思路導航】這題中的等量關系是：甲1/5乙1/41解：設甲校有x人參加，則乙校有（22x）人參加。1/5x（22x）1/41x10221012（人）答：甲校有10人參加，乙校有12人參加。練習3：1學校圖書館買來文藝書和連環畫共126本，文藝書的比連環畫的少7本，圖書館買來的文藝書和連環畫各是多少本？2某小有學生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？3王師傅和李師傅共加工零件62個，王師傅加工零件個數的比李師傅的少2個，兩人各加工了多少個？【例題4】甲書架上的書是乙書架上的5/6，兩個書架上各借出154本后，甲書架上的書是乙書架上的4/7，甲、乙兩書架上原有書各多少本？【思路導航】這道題的等量關系是；甲書架上剩下的書等于乙書架上剩下的4/7。解：設乙書架上原有x本，則甲書架上原有5/6x本。（x154）4/75/6x154x 2522525/6 210（本）答：甲書架上原有210本，乙書架上原有252本。練習4：1兒子今年的年齡是父親的1/6，4年后兒子的年齡是父親的1/4，父親今年多少歲？2某校六年級男生是女生人數的2/3，后來轉進2名男生，轉走3名女生，這時男生人數是女生的3/4。原來男、女生各有多少人？3第一車間人數的3/5等于第二車間人數的9/10，第一車間比第二車間多50人。兩個車間各有多少人？【例題5】一個班女同學比男同學的2/3多4人，如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數正好相等。這個班男、女生各有多少人？【思路導航】抓住“如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數正好相等”這個等量關系列方程。解：設男生有x人，則女生有（2/3x+4）人。x32/3x+4+4x332/333+426（人）答：這個班男生有33人，女生有26人。練習5：1某學校的男教師比女教師的3/8多8人。如果女教師減少4人，男教師增加8人，男、女教師人數正好相等。這個學校男、女教師各有多少人？2某無線電廠有兩個倉庫。第一倉庫儲存的電視機是第二倉庫的3倍。如果從第一倉庫取出30臺，存入第二倉庫，則第二倉庫就是第一倉庫的4/9。兩個倉庫原來各有電視機多少臺？3某工廠第一車間的人數比第二車間的人數的4/5少30人。如果從第二車間調10人到第一車間，則第一車間的人數就是第二車間的3/4。求原來每個車間的人數。 第14講 比的應用（一）一、知識要點我們已經學過比的知識，都知道比和分數、除法其實是一回事，所有比與分數能互相轉化。運用這種方法解決一些實際問題可以化難為易，化繁為簡。二、精講精練【例題1】甲數是乙數的2/3，乙數是丙數的4/5，甲、乙、丙三數的比是（ ）：（ ）：（ ）。【思路導航】甲、乙兩數的比 2：3乙、丙兩數的比 4：5甲、乙、丙三數的比 8：12：15答：甲、乙、丙三數的比是 8：12：15。練習1：1甲數是乙數的4/5，乙數是丙數的5/8，甲、乙、丙三數的比是（ ）：（ ）：（ ）。2甲數是乙數的4/5，甲數是丙數的4/9，甲、乙、丙三數的比是（ ）：（ ）：（ ）。3甲數是丙數的3/7，乙數是丙數的2又1/2，甲、乙、丙三數的比是（ ）：（ ）：（ ）。【例題2】光明小學將五年級的140名學生，分成三個小組進行植樹活動，已知第一小組和第二小組人數的比是2：3，第二小組和第三小組人數的比是4：5。這三個小組各有多少人？【思路導航】先求出三個小組人數的連比，再按求出的連比進行分配。一、二兩組人數的比 2：3 二、三兩組人數的比 4：5一、二、三組人數的比 8：12：15總份數：8+12+1535第一組：1408/3532（人）第二組：14012/3548（人）第三組：14015/3560（人）答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。練習2：1某農場把61600公畝耕地劃歸為糧田與棉田，它們之間的比是7：2，棉田與其他作物面積的比6：1。每種作物各是多少公畝？2黃山小學六年級的同學分三組參加植樹。第一組與第二組的人數的比是5：4，第二組與第三組人數的比是3：2。已知第一組的人數比二、三組人數的總和少15人。六年級參加植樹的共有多少人？3科技組與作文組人數的比是9：10，作文組與數學組人數的比是5：7。已知數學組與科技組共有69人。數學組比作文組多多少人？【例題3】甲、乙兩校原有圖書本數的比是7：5，如果甲校給乙校650本，甲、乙兩校圖書本數的比就是3：4。原來甲校有圖書多少本？【思路導航】由甲、乙兩校原有圖書本數的比是7：5可知，原來甲校圖書的本數是兩校圖書總數的7/（7+5），由于甲校給了乙校650本，這時甲校的圖書占兩校圖書總數的3/（3+4），甲校給乙校的650本圖書，相當于兩校圖書總數的7/（7+5）3/（3+4）13/84。650（7/（7+5）3/（3+4）7/（7+5）2450（本）答：原來甲校有圖書2450本。練習3：1小明讀一本書，已讀的和未讀的頁數比是1：5。如果再讀30頁，則已讀和未讀的頁數之比為3：5。這本書共有多少頁？2甲、乙兩包糖的重量比是4：1。從甲包取出130克放入乙包后，甲、乙兩包糖的重量比為7：5。原來甲包有多少克糖？3五年級三個班舉行數學競賽。一班參加比賽的占全年級參賽總人數的1/3，二班與三班參加比賽人數的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人參加了數學競賽？【例題4】從前有個農民，臨死前留下遺言，要把17頭牛分給三個兒子，其中大兒子分得1/2，二兒子分得1/3，小兒子分得1/9，但不能把牛賣掉或殺掉。三個兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居順利地把17頭牛分完了，你知道這到底是怎么回事嗎？【思路導航】因為1/2+1/3+1/917/18，17/181，就是說三兄弟并未將全部牛分完，所以我們求出三個兒子分牛頭數的連比，最后再按比例分配。 三個兒子分牛頭數的連比：1/2：1/3：1/99：6：2 總份數：9+6+217 三個兒子各分得牛的頭數：179/179（頭）176/176（頭）172/172（頭）答：大兒子分得9頭，二兒子分得6頭，小兒子分得2頭。練習4：1圖書室取出一批書，按照一年級得1/2，二年級得1/3，三年級得1/7，正好是41本，各年級各得多少本？2古羅馬富豪約翰遜再臨終前，對懷孕的妻子寫下這樣一份遺囑：如果生下來是個男孩，就把遺產的三分之二給兒子，母親拿三分之一；如果生下來的是女孩就把遺產的三分之一給女兒，三分之二給母親。結果他的妻子生了雙胞胎，一男一女，這是他沒有預料到的。求出接近于遺囑條件，把遺產分給三個繼承人的比。（1）從兒子、母親、女兒所得的比例來看，他們三人所得的遺產的比是（）：（ ）：（ ）。（2）從母親至少得遺產的1/3來看，兒子、母親、女兒所得遺產的比是（ ）：（ ）：（ ）。3甲、乙、丙三人共做零件900個。甲做總數的30，乙比丙多做1/3。三人各做多少個？【例題5】兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個瓶中酒精與水的體積之比是3：1，另一個瓶中酒精與水的體積之比是4：1。若把兩瓶酒精溶液混合，混合液中酒精與水的體積之比是多少？【思路導航】抓住兩個瓶子相同的關系，分別求出每個瓶中的酒精占瓶子容積的幾分之幾再解答。 一個瓶中酒精占瓶子容積的比 3/（1+3） 3/4 另一個瓶中酒精占瓶子容積的比 4/（1+4） 4/5 兩瓶子里的酒精占一個瓶子容積的比 3/4+4/5 31/20 水占一個瓶子容積的比 231/20 9/20 混合液中酒精與水的比 31/20：9/2031：9答：混合液中酒精與水的比是31：9。練習5：1兩塊一樣重的合金，一塊合金中銅與鋅的比是2：5，另一塊合金中銅與鋅的比是1：3。現將兩塊合金合成一塊，求出鋅合金中銅與鋅的比。2將一條公路平均分給甲、乙兩個工程隊修筑。甲隊已修的與剩下的比是2：1，乙隊已修的與剩下的比是5：2。這條公路已修了全長的幾分之幾？ 第15講 比的應用（二）一、知識要點比是反映數量關系的一種常見形式，也是解數學題的一種重要工具，有了它，我們處理倍數關系、解答分數應用題就方便靈活得多。在這一講，我們講探討稍復雜的比是應用題。二、精講精練【例題1】甲、乙兩個學生放學回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的時間比甲少1/11，求甲、乙兩人速度的比。【思路導航】因為 速度路程時間，所以，甲、乙速度的比甲路程/甲時間：乙路程/乙時間（1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：16：5（2）甲、乙時間的比：1：（11/11）11：10（3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11答：甲、乙速度的比是12：11。練習1：1小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小芳用的時間比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。2甲走的路程比乙多1/3，乙用的時間比甲多1/4。求甲、乙的速度比。3一個人步行每小時走5千米，如果騎自行車每1千米比步行少用8分鐘。這個人騎自行車的速度和步行速度的比是多少？【例題2】制造一個零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘。現在有1590個零件的制造任務分配給他們三個人，要求在相同的時間內完成，每人應該分配到多少個零件？【思路導航】先求出工作效率的比，然后根據同一時間內，工作總量的比等于工作效率的比進行解答。甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.515：18：20總份數：15+18+2053甲 ：159015/53450（個）乙 ：159018/53540（個）丙 ：159020/53600（個）答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個、540個、600個。練習2：1加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘。現在有1825個零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規定用同樣的時間完成任務，那么各應加工多少個？2甲、乙、丙三人在同一時間里共制造940個零件。甲制造一個零件需5分鐘，比乙制造一個零件所用的時間多25，丙制造一個零件所用的時間比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少個零件？3加工某種零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時分別能完成零件48個，32個，28個，現有118名工人，要使每天三道工序完成的零件個數相同，每道工序應安排多少工人？【例題3】兩個服裝廠一個月內生產服裝的數量是6：5，兩廠西服價格的比是11：10。已知兩廠這個月內總產值為6960萬元。兩廠的產值各是多少萬元？【思路導航】因為產值價格產量，所以甲產值：乙產值（甲價格甲產量）：（乙價格乙產量）兩廠的產值比為：（116）：（105）66：50甲廠產值為：696066/（66+50）3960（元）乙廠產值為：696050（66+50）3000（元）答：兩廠的產值分別是3960萬元和3000萬元。練習3：1甲、乙兩個長方形長的比是4：5，寬的比是3：2，面積的和是242平方厘米。求甲、乙兩個長方形的面積分別是多少平方厘米？2蘋果和梨的單價的比是6：5，王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？3大、小兩種蘋果，其單價比是5：4，重量比是2：3。把兩種蘋果混合，成為100千克的混合蘋果，單價為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來每千克各是多少元？【例題4】A、B兩種商品的價格比是7：3。如果它們的價格分別上漲70元，它們的價格比就是7：4，這兩種商品原來的價格各是多少元？【思路導航】解法一：因為A、B兩種商品漲價的數值相同，所以漲價后兩種商品價格差不變。由于價格差不變，所以價格差對應的份數也應該相同。原價格比7：321：9 現價格比7：428：16【這樣前后項的差都是12，價格漲了（2821）7份，是70元】70（2821）10元 A：1021210（元） B：10990（元）解法二：由于兩種商品的價格不變，選兩種商品的價格差做單位“1“進行解答。（1）原來A商品的幾個是價格差的幾倍 7（73）7/4（2）后來A商品的價格是價格差的幾倍 7（74）7/3（3）A、B兩種商品的價格差是 70（7/37/4）120（元）（4）原來A商品的價格是 120（73）7210（元）（5） 原來B商品的價格是 120（73）390（元）答：A、B兩種商品原來的價格分別是210元和90元。練習4：用兩種思路解答下列應用題：1甲、乙兩個建筑隊原有水泥重量的比是4：3。甲隊給乙隊54噸水泥后，甲、乙兩隊水泥重量的比是3：4。原來甲隊有水泥多少噸？2甲書架上的書是乙書架上的4/7，兩書架上各增加154本后，甲書架上的書是乙書架上的，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？3兄弟兩人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。從年初到年底，他們都結余720元。他們每年的收入各是多少元？【例題5】如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程比是1：2。王剛以每小時4千米的速度從甲地步行到丙地，李華同時以每小時10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時到達丙地。甲、乙兩地相距多少千米？【思路導航】解法一：根據路程的比和速度的比求出時間的比，從而求出王剛和李華所用的時間，再求出各自所走的路程。王剛和李華所用時間的比 1/4：2/105：4王剛所用的時間 1（54）55（小時）甲地到丙地的路程 4520（千米）甲、乙兩地的路程 20（1+2）60（千米）解法二：如果李華每小時行428千米，他將與王剛同時到達丙地。現在他每小時多行1082千米。在王剛從甲地到丙地的這段時間內，李華比應行的路程多行了10110千米。據此，可求出王剛從甲地到丙地的時間。王剛從甲地到丙地的時間10 1（1042）5（小時）甲、乙兩地的路程45（1+2）60（千米）解法三：如果王剛每小時行1035千米，就能和李華同時到達。由此可見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時4千米的速度和每小時5千米的速度相比，所用的時間相差1小時。再根據1千米的路程，兩種速度所用的時間相差 1/41/5 1/20小時。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程1（1/41/（102）20（千米）甲、乙兩地的路程20（1+2）60（千米）答：甲、乙兩地相距60千米。練習5：1一輛汽車在甲、乙兩站間行駛，往返一次共用去4小時（停車時間不算在內）。汽車去時每小時行45千米，返回時每小時行30千米。甲、乙兩地相距多少千米？2甲做3000個零件比乙做2400個零件多用1小時，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小時各做多少個？3下圖是甲、乙、丙三地的路線圖。已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程的比是2：3。一輛貨車以每小時40千米的速度從甲地開往丙地，一輛客車同時以每小時50千米的速度從乙地開往丙地，客車比火車遲1小時到達丙地。求甲、乙兩地的路程？第16講 用“組合法”解工程問題一、知識要點在解答工程問題時，如果對題目提供的條件孤立、分散、靜止地看，則難以找到明確的解題途徑，若用“組合法”把具有相依關系的數學信息進行恰當組合，使之成為一個新的基本單位，便會使隱蔽的數量關系立刻明朗化，從而順利找到解題途徑。二、精講精練【例題1】一項工程，甲、乙兩隊合作15天完成，若甲隊做5天，乙隊做3天，只能完成工程的7/30，乙隊單獨完成全部工程需要幾天？【思路導航】此題已知甲、乙兩隊的工作效率和是1/15，只要求出甲隊貨乙隊的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用“組合法”將甲隊獨做5天，乙隊獨做3天，組合成甲、乙兩隊合作了3天后，甲隊獨做2天來考慮，就可以求出甲隊2天的工作量7/301/1531/30，從而求出甲隊的工作效率。所以1【1/15（7/301/153）（53）】20（天）答：乙隊單獨完成全部工程需要20天。練習1：1師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了3天，因事外出，由徒弟接著做1天，共完成任務的3/20。如果這批零件由師傅單獨做，多少天可以完成？2某項工程，甲、乙合做1天完成全部工程的5/24。如果這項工程由甲隊獨做2天，再由乙隊獨做3天，能完成全部工程的13/124。甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？3甲、乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊獨做8天，再由乙隊獨做12天，還剩這項工程的8/15。甲、乙兩隊獨做各需幾天完成？【例題2】一項工程，甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了3天，再由乙隊做2天，則能完成這項工程的1/2。現在甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發現兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？【思路導航】此題很容易先求乙隊的工作效率是：（1/21/123）21/8；再由條件“做完后發現兩段所用時間相等”的題意，可組合成由兩個乙隊和一個甲隊合做需若干天完成，即可求出相等的時間。（1）乙隊每天完成這項工程的（1/21/123）21/8（2）兩段時間一共是1（1/82+1/12）26（天）答：兩段時間一共是6天。練習2：1一項工程，甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天，乙隊再做4天能完成這項工程的8/15。現由甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發現，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？2一項工程，甲、乙合做8天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成任務時發現乙比甲多了3天。乙獨做這項工程要幾天完成？3某工作，甲單獨做要12天，乙單獨做要18天，丙單獨做要24天。這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數是甲3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙的2倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天？【例題3】移栽西紅柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小時完成，先由哥哥栽了3小時后，又由弟弟栽了1小時，還剩總棵數的11/16沒有栽，已知哥哥每小時比弟弟每小時多栽7棵。共要移栽西紅柿苗多少棵？【思路導航】把“哥哥先栽了3小時，弟弟又栽了1小時”組合成“哥、的合栽了1小時后，哥哥又獨做了2小時”，就可以求出哥哥每小時栽總數的幾分之幾。哥哥每小時栽總數的幾分之幾（111/161/81）（31）3/32一共要移栽的西紅柿苗多少棵7【3/32（1/83/32）】112（棵）答：共要移栽西紅柿苗112棵。練習3：1加工一批機器零件，師、徒合做12小時可以完成。先由師傅加工8小時，接著再由徒弟加工6小時，共加工了這批零件的3/5。已知師傅每小時比徒弟多做10個零件。這批零件共有多少個？2修一條公路，甲、乙兩隊合做6天可以完成。先由甲隊修5天，再由乙隊修3天，還剩這條公路的3/10沒有修。已知甲隊每天比乙隊多修20米。這條公路全長多少米？3修一段公路，甲隊獨修要40天，乙隊獨修要用24天。兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750米處相遇。這段公路全長多少米？【例題4】一項工作，甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的2/3；如果甲、乙合做3小時后，丙做6小時，也可以完成這項工作的2/3。如果由甲、丙合做，需幾小時完成？【思路導航】將條件“甲工作6小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的2/3”組合成“甲工作4小時，甲、乙、丙合做2小時可以完成這項工作的2/3”，則求出甲的工作效率。同理，運用“組合法”再求出丙的工作效率。甲每小時完成這項工程的幾分之幾（2/31/62）（62）1/12丙每小時完成這項工程的幾分之幾（2/31/63）（63）1/18甲、丙合做需完成的時間為：1（1/12+1/18）7由1/5（小時）答：甲、丙合做完成需要7有1/5小時。練習4：1一項工作，甲、乙、丙三人合做，4小時可以完成。如果甲做4小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的13/18；如果甲、乙合做2小時后，丙再做4小時，可以完成這項工作的11/18。這項工作如果由甲、丙合做需幾小時完成？2一項工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。現在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙獨做這項工程要幾天就可以完成？3一項工程，甲、乙兩隊合做10天完成，乙、丙兩隊合做8天完成。現在甲、乙、丙三隊合做4天后，余下的工程由乙隊獨做5又1/2天完成。乙隊單獨做這項工程需多少天可以完成？4一件工作，甲、乙合做4小時完成，乙、丙合做5小時完成。現在由甲、丙合做2小時后，余下的由乙6小時完成。乙獨做這件工作需幾小時才能完成？【例題5】一條公路，甲隊獨修24天可以完成，乙隊獨修30天可以完成。先由甲、乙兩隊合修4天，再由丙隊參加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三隊同時開工修這條公路，幾天可以完成？【思路導航】將條件“先由甲、乙兩隊合修4天，再由丙隊參加一起修7天后全部完成”組合成“甲、乙兩隊各修（4+7）11天后，再由丙隊單獨修了7天才全部完成。”就可以求出丙隊的工作效率。丙隊每天修這條公路的【1（1/24+1/30）】（4+7）1/40