橢圓標準方程及其性質(zhì)知識點大全(一)橢圓的定義及橢圓的標準方程： 橢圓第一定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) , 這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距. 注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形(二)橢圓的簡單幾何性： 標準方程是指中心在原點，坐標軸為對稱軸的標準位置的橢圓方程。焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）第二定義與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即范圍且且頂點、軸長長軸的長 短軸的長 對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、焦距離心率 準線方程焦半徑左焦半徑：右焦半徑：下焦半徑：上焦半徑：焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：（焦點）弦長公式，【說明】：方程中的兩個參數(shù)a與b，確定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定型條件，焦點F，的位置(焦點跟著分母大的走)，是橢圓的定位條件，它決定橢圓標準方程的類型，常數(shù)a，b，c都大于零，其中a最大且a=b+c (即a,b,c為直角三角形的三邊，a為斜邊)1. 方程表示橢圓的充要條件是：ABC0，且A，B，C同號，AB。 當AB時，焦點在y軸上，當AB時，焦點在x軸上。（根據(jù)焦點跟著系數(shù)小的走）(3) 焦點三角形 1.面積公式：如圖：（三）和（四）的圖 橢圓標準方程為: ，橢圓焦點三角形：設(shè)P為橢圓上任意一點，為焦點且，則為焦點三角形， 則由第一定義和余弦定理有（重點使用）其面積為（重點使用）且焦點三角形面積最大值 2.焦點三角形中的恒等式若，。 則 3.焦點三角形的離心率問題由第一定義和正弦定理有 由第一定義和余弦弦定理及均值不等式有 可得 （ 利用張角大小變化易得有）（重點使用）（4） 焦半徑問題：由第二定義：橢圓上的點到焦點的距離閉上到對應準線的距離等于離心率 因此可得 負“+”正“-”所以 （1）焦半徑的最大值， （2）焦點在x軸上時：兩焦半徑乘積 1.顯然當時有最大值 2.顯然當時有最小值 同理，焦點在y軸上時：兩焦半徑乘積 1.顯然當時有最大值MNFxy 2.顯然當時有最小值(5) 通徑 ：（過焦點垂直于長軸的弦） 如圖：通徑長 橢圓標準方程: ，(六)點與橢圓的位置關(guān)系：(可用于解決過定點的動直線與橢圓位置關(guān)系)（1） 點在橢圓外；（過該定點的直線與橢圓“相離或相交或相切”）（2） 點在橢圓上1；（過該定點的直線與橢圓“相交或相切”）（3） 點在橢圓內(nèi)（過該定點的直線與橢圓“相交”）(七)直線與橢圓的位置關(guān)系： 設(shè)直線l的方程為：Ax+By+C=0，橢圓（ab0），聯(lián)立組成方程組， 消去y(或x)利用判別式的符號來確定：（1） 相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離； 備注： 若直線為過定點的動直線則可以用知識點（六）來解決“位置關(guān)系”(八)弦長公式： 若直線AB:與橢圓標準方程: 相交于兩點、，把AB所在直線方程y=kx+b，代入橢圓方程整理得：Ax2+Bx+C=0。 弦長公式： （含x的方程） =（含y的方程） （應用于能解出具體坐標 ） （應用于帶有參數(shù)的大題 ） （是一元二次方程中的，此公式用于計算）（九）圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。設(shè)是橢圓 上不重合的兩點，直線的斜率，點是線段（弦）的中點坐標，則由（1）-（2）化簡可得又由所以即（焦點在x軸）同理焦點在y軸上時有（十）橢圓、雙曲線、圓同型系數(shù)設(shè)法（此類設(shè)法用于過曲線兩點求方程） 1.橢圓： 2.雙曲線： 3.圓：（十一）焦點弦三角形1過橢圓的左焦點作直線交橢圓于兩點，是橢圓右焦點，則的周長為（ ） A、 B、 C、 D、2已知橢圓的左、右焦點為，離心率為，過的直線交橢圓于兩點若的周長為，則橢圓的方程為( ) A B C D3 已知F1、F2為橢圓1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點若|F2A|F2B|12，則|AB|_.焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程第一定義到兩定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)，即（）第二定義與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即范圍或，或，頂點、軸長實軸的長 虛軸的長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱焦點、焦距離心率準線方程漸近線方程焦半徑焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：常用的一些結(jié)論：1、 焦點跟著系數(shù)正的走。2、 若雙曲線為等軸雙曲線，則其離心率，且漸進線的夾角為3、 焦點在軸上時中點弦直線斜率 焦點在軸上時中點弦直線斜率4. 已知雙曲線的方程為，和它共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為5. 已知雙曲線的漸進線為,則可設(shè)雙曲線方程為6. 已知雙曲線的漸進線為,則可設(shè)雙曲線方程為或7. 若知道雙曲線過兩點，則設(shè)雙曲線方程為：、8. 點與雙曲線的位置關(guān)系（1）若，點在雙曲線“內(nèi)”（2）若，點在雙曲線“上”（3）若，點在雙曲線“外”備注：“注意它和圓、橢圓、拋物線的區(qū)別”內(nèi)外相反圖形標準方程定義與一定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線上)頂點離心率對稱軸軸軸范圍焦點準線方程焦半徑通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：焦點弦長公式參數(shù)的幾何意義參數(shù)表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：設(shè)為過拋物線焦點的弦，直線的傾斜角為，則 以為直徑的圓與準線相切； 焦點對在準線上射影的張角為 實用小結(jié)論：1. 焦點非0坐標為一次項系數(shù)的2. 準線方程的值為焦點非0坐標的相反數(shù)(即拋物線一次項系數(shù)的相反數(shù))3. 焦半徑長度：一次項系數(shù)的絕對值+對應橫（縱）坐標的絕對值。4.拋物線方程為則其中點弦直線斜率5.拋物線方程為則其中點弦直線斜率6.求最值問題的注意“兩個距離之和，將之中的拋物線上動點到準線距離換成