1 5 1曲邊梯形的面積 第1章1 5定積分 選學 學習目標1 了解 以直代曲 以不變代變 的思想方法 2 會求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1 知識點曲邊梯形的面積 如何計算下列兩圖形的面積 答案 答案 直接利用梯形面積公式求解 轉化為三角形和梯形求解 思考2 如圖 為求由拋物線y x2與直線x 1 y 0所圍成的平面圖形的面積s 圖形與我們熟悉的 直邊圖形 有什么區別 答案 答案已知圖形是由直線x 1 y 0及y x2所圍成的 可稱為曲邊梯形 曲邊梯形的一條邊為曲線段 而 直邊圖形 的所有邊都是直線段 1 曲邊梯形 由直線x a x b a b y 0和曲線y f x 所圍成的圖形稱為曲邊梯形 如圖 所示 梳理 2 求曲邊梯形面積的方法將已知區間 a b 等分成n個小區間 當分點非常多 n很大 時 可以認為f x 在小區間上幾乎沒有變化 或變化非常小 從而可以取小區間內對應的函數值作為小矩形一邊的長 于是 可用來近似表示小曲邊梯形的面積 這樣 和式表示了曲邊梯形面積的近似值 如圖 所示 3 求曲邊梯形面積的步驟 分割 以直代曲 作和 逼近 任意一點xi f xi f xi x f x1 x f x2 x f xn x 題型探究 例1求由直線x 0 x 1 y 0和曲線y x x 1 圍成的圖形面積 解答 類型一求曲邊梯形的面積 解 1 分割 從而得到n個小曲邊梯形 它們的面積分別記作 s1 s2 si sn 2 以直代曲 3 作和 4 逼近 求曲邊梯形的面積 1 思想 以直代曲 2 步驟 分割 以直代曲 作和 逼近 3 關鍵 以直代曲 4 結果 分割越細 面積越精確 反思與感悟 5 求和時可用到一些常見的求和公式 如 跟蹤訓練1求由拋物線y x2與直線y 4所圍成的曲邊梯形的面積 解答 解 y x2為偶函數 圖象關于y軸對稱 所求曲邊梯形的面積應為拋物線y x2 x 0 與直線x 0 y 4所圍圖形面積s陰影的2倍 下面求s陰影 如圖所示 先求由直線x 0 x 2 y 0和曲線y x2圍成的曲邊梯形的面積 1 分割將區間 0 2 n等分 2 以直代曲 作和 3 逼近當n 時 例2當汽車以速度v做勻速直線運動時 經過時間t所行駛的路程s vt 如果汽車做變速直線運動 在時刻t的速度為v t t2 2 單位 km h 那么它在1 t 2 單位 h 這段時間行駛的路程是多少 類型二求變速運動的路程 解答 解將區間 1 2 等分成n個小區間 當n 時 引申探究本例中求小曲邊梯形面積時若用另一端點值作為高 試求出行駛路程 比較兩次求出的結果是否一樣 解答 當n 時 所以分別用小區間的兩個端點求出的行駛路程是相同的 求變速直線運動路程的問題 方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積 用 以直代曲 逼近 的思想求解 求解過程為 分割 以直代曲 作和 逼近 應特別注意變速直線運動的時間區間 反思與感悟 跟蹤訓練2一輛汽車在筆直的公路上變速行駛 設汽車在時刻t的速度為v t t2 5 t的單位 h v的單位 km h 試計算這輛汽車在0 t 2這段時間內汽車行駛的路程s 單位 km 解答 解 分割在時間區間 0 2 上等間隔地插入 n 1 個分點 以直代曲 作和 逼近 當堂訓練 1 把區間 1 3 n等分 所得n個小區間的長度均為 答案 2 3 4 5 1 解析區間 1 3 的長度為2 故n等分后 每個小區間的長度均為 解析 2 若1n的力能使彈簧伸長2cm 則使彈簧伸長12cm時 克服彈力所做的功為 答案 2 3 4 5 1 0 36j 3 一物體沿直線運動 其速度v t t 這個物體在t 0到t 1這段時間內所走的路程為 2 3 4 5 1 答案 4 直線y 0 x 1 x 2 曲線y x2圍成的曲邊梯形的面積為 2 3 4 5 1 答案 5 求由直線x 0 x 1 y 0及曲線f x x2所圍成的圖形的面積 2 3 4 5 1 解答 解 1 分割 2 3 4 5 1 過各區間端點作x軸的垂線 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形 它們的面積分別記作 s1 s2 sn 2 以直代曲 2 3 4 5 1 3 作和曲邊梯形的面積為 2 3 4 5 1 4 逼近當n 時 2 3 4 5 1 規律與方法 1 求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟 1 分割 n等分區間 a b 2 以直代曲 取點 i