東城區2018-2019學年度第一學期期末教學統一檢測高三數學（理科） 本試卷共4頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合，則(A) (B) (C) (D)(2)下列復數為純虛數的是(A) (B) (C) (D)(3)下列函數中，是奇函數且存在零點的是(A) (B) (C) (D)(4)執行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的值為(A) (B) (C) (D)(5)“”是“函數的圖象關于直線對稱”的 (A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件 (C) 充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(6) 某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的 長度為(A) 2 (B)(C) (D) 3(7)在極坐標系中，下列方程為圓的切線方程的是(A) (B) (C) （D） (8)地震里氏震級是地震強度大小的一種度量.地震釋放的能量(單位：焦耳)與地震里氏震級之間的關系為.已知兩次地震的里氏震級分別為級和級，若它們釋放的能量分別為和，則的值所在的區間為(A) (B) (C) (D)第二部分（非選擇題 共110分）2、 填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）若滿足 則的最小值為 .(11)若等差數列和等比數列滿足，試寫出一組滿足條件的數列和的通項公式： ， .(12)在菱形中，若，則的值為 .(13)函數在區間上的最大值為 .(14)已知函數定義域為，設 若，則；若，且對任意，則實數的取值范圍為_ .三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)（本小題13分）在ABC中，（）求的大小；(16)（本小題13分）某中學有學生500人，學校為了解學生的課外閱讀時間，從中隨機抽取了50名學生，獲得了他們某一個月課外閱讀時間的數據（單位：小時），將數據分為5組：，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（）求頻率分布直方圖中的的值；（）試估計該校所有學生中，課外閱讀時間不小于16小時的學生人數；（）已知課外閱讀時間在的樣本學生中有3名女生，現從閱讀時間在的樣本學生中隨機抽取3人，記為抽到女生的人數，求的分布列與數學期望.(17)（本小題14分）如圖1，在四邊形中，,分別為的中點，.將四邊形沿折起，使平面平面(如圖2)，是的中點.()證明：；()在線段上是否存在一點，使得面？若存在，求的值；若不存在，說明理由；()求二面角的大小. (18)（本小題13分）已知函數() 當時，求曲線在點處的切線方程；() 當時，若曲線在直線的上方，求實數的取值范圍(19)（本小題13分）已知橢圓過點.（）求橢圓的方程，并求其離心率；（）過點作軸的垂線，設點為第四象限內一點且在橢圓上（點不在直線上），點關于的對稱點為，直線與交于另一點.設為原點，判斷直線與直線的位置關系，并說明理由.(20)（本小題14分）對給定的記由數列構成的集合.（）若數列，寫出的所有可能取值；（）對于集合，若. 求證：存在整數，使得對中的任意數列，整數不是數列中的項；（）已知數列，記的前項和分別為.若求證：.東城區2018-2019學年度第一學期期末教學統一檢測 高三數學（理科）參考答案及評分標準 2019.1一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）B 二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10）（11） （答案不唯一） （12）（13） （14） 三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解: .5分 .13分（16）（共13分）解：（）由，可得. .3分 （）， 即課外閱讀時間不小于16個小時的學生樣本的頻率為. ， 所以可估計該校所有學生中，課外閱讀時間不小于16個小時的學生人數為150. .6分 （）課外閱讀時間在的學生樣本的頻率為， ,即閱讀時間在的學生樣本人數為8， 8名學生為3名女生，5名男生，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，； . 所以的分布列為：0123 故的期望. .13分 （17）（共14分）解：()在圖1中， 可得為等腰直角三角形，.因為所以因為平面平面，所以.又，故；由為中點，可知四邊形為正方形，；又， .4分（II）由()知：，兩兩垂直，設，則 .9分 （III）由(I)可得, 設平面的法向量為，由 所以二面角 .14分（18）（共13分）解：() 當時，所以，.又因為，所以曲線在點處的切線方程為 .4分()當 時，“曲線在直線的上方”等價于“恒成立”，即時恒成立，由于，所以等價于當時，恒成立.令，則.當時，有所以g(x)在區間單調遞減.綜上，實數的取值范圍為. .13分（19）（共13分）解：（）由橢圓方程，可得.所以橢圓的方程為，離心率. .4分（）直線與直線平行.證明如下：設直線，由得同理，所以，因為在第四象限，所以，且不在直線上.所以直線與直線平行. .13分（20）（共14分）解：（）由于數列，即，由已知有，所以，將代入得的所有可能取值為 .4分（）先應用數學歸納法證明數列:當時，因此時結論成立.假設當時結論成立，即