12.3 互逆命題一選擇題（共8小題）1對于命題“在同一平面內，若，則”，用反證法證明，應假設ABC與相交D與相交2已知：中，求證：，下面寫出可運用反證法證明這個命題的四個步驟：，這與三角形內角和為矛盾因此假設不成立假設在中，由，得，即這四個步驟正確的順序應是ABCD3用反證法證明，“在中，、對邊是、，若，則”第一步應假設ABCD4用反證法證明“”，應當先假設ABCD5用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，首先應假設這個直角三角形中A兩個銳角都大于B兩個銳角都小于45C兩個銳角都不大于D兩個銳角都等于6用反證法證明命題“在三角形中，至多有一個內角是直角”時，應先假設A至少有一個內角是直角B至少有兩個內角是直角C至多有一個內角是直角D至多有兩個內角是直角7對于命題“已知：，求證：”如果用反證法，應先假設A不平行B不平行CD不平行8用反證法證明命題：“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，我們應假設A沒有一個角是鈍角或直角B最多有一個角是鈍角或直角C有2個角是鈍角或直角D4個角都是鈍角或直角二填空題（共2小題）9用反證法證明“兩直線平行，同位角相等”時，可假設 10已知五個正數的和等于1用反證法證明：這五個數中至少有一個大于或等于應先假設三解答題（共5小題）11證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度12利用反證法求證：一個三角形中不能有兩個角是鈍角13如圖，在中，是內的一點，且，求證：（反證法）14證明：在中，中至少有一個角大于或等于15用反證法證明：等腰三角形的底角相等參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1對于命題“在同一平面內，若，則”，用反證法證明，應假設ABC與相交D與相交【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據此進行判斷【解答】解：與的位置關系有和與相交兩種，因此用反證法證明“”時，應先假設與相交故選：【點評】本題結合直線的位置關系考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定2已知：中，求證：，下面寫出可運用反證法證明這個命題的四個步驟：，這與三角形內角和為矛盾因此假設不成立假設在中，由，得，即這四個步驟正確的順序應是ABCD【分析】通過反證法的證明步驟：假設；合情推理；導出矛盾；結論；理順證明過程即可【解答】解：由反證法的證明步驟：假設；合情推理；導出矛盾；結論；所以題目中“已知：中，求證：”用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟：應該為：假設；那么，由，得，即所以，這與三角形內角和定理相矛盾，；所以因此假設不成立；原題正確順序為：故選：【點評】本題考查反證法證明步驟，考查基本知識的應用，邏輯推理能力3用反證法證明，“在中，、對邊是、，若，則”第一步應假設ABCD【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可【解答】解：根據反證法的步驟，得第一步應假設不成立，即故選：【點評】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定4用反證法證明“”，應當先假設ABCD【分析】根據命題：“”的反面是：“”，可得假設內容【解答】解：由于命題：“”的反面是：“”，故用反證法證明：“”，應假設“”，故選：【點評】此題主要考查了反證法的步驟，熟記反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立5用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，首先應假設這個直角三角形中A兩個銳角都大于B兩個銳角都小于45C兩個銳角都不大于D兩個銳角都等于【分析】用反證法證明命題的真假，應先按符合題設的條件，假設題設成立，再判斷得出的結論是否成立即可【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，應先假設兩個銳角都大于故選：【點評】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定6用反證法證明命題“在三角形中，至多有一個內角是直角”時，應先假設A至少有一個內角是直角B至少有兩個內角是直角C至多有一個內角是直角D至多有兩個內角是直角【分析】反證法即假設結論的反面成立，“最多有一個”的反面為“至少有兩個”【解答】解： “最多有一個”的反面是“至少有兩個”，反證即假設原命題的逆命題正確應假設：至少有兩個內角是直角故選：【點評】此題主要考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，不需要一一否定，只需否定其一即可7對于命題“已知：，求證：”如果用反證法，應先假設A不平行B不平行CD不平行【分析】根據命題：“已知：，求證：”的反面是：“不平行”，可得假設內容【解答】解：由于命題：“已知：，求證：”的反面是：“不平行”，故用反證法證明：“已知：，求證：”，應假設“不平行”，故選：【點評】此題主要考查了反證法的步驟，熟記反證法的步驟：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立8用反證法證明命題：“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，我們應假設A沒有一個角是鈍角或直角B最多有一個角是鈍角或直角C有2個角是鈍角或直角D4個角都是鈍角或直角【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據此進行判斷；需注意的是的反面有多種情況，應一一否定【解答】解：用反證法證明命題：“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，應假設沒四邊形中沒有一個角是鈍角或直角，故選：【點評】本題考查的是反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定二填空題（共2小題）9用反證法證明“兩直線平行，同位角相等”時，可假設兩直線平行，同位角不相等【分析】首先確定命題的結論，進而從反面假設得出答案【解答】解：用反證法證明“兩直線平行，同位角相等”時，可假設：兩直線平行，同位角不相等故答案為：兩直線平行，同位角不相等【點評】此題主要考查了反證法，反證法的一般步驟是：假設命題的結論不成立；從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確10已知五個正數的和等于1用反證法證明：這五個數中至少有一個大于或等于應先假設這五個數都小于【分析】熟記反證法的步驟，直接從結論的反面出發得出即可【解答】解：知五個正數的和等于1用反證法證明：這五個數中至少有一個大于或等于應先假設這五個數都小于，故答案為：這五個數都小于【點評】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定三解答題（共5小題）11證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度【分析】當條件較少，無法直接證明時，可用反證法證明；先假設結論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結論成立【解答】證明：假設在一個三角形中沒有一個角小于或等于，即都大于；那么，這個三角形的三個內角之和就會大于；這與定理“三角形的三個內角之和等于”相矛盾，原命題正確【點評】本題結合三角形內角和定理考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定12利用反證法求證：一個三角形中不能有兩個角是鈍角【分析】根據反證法的證明方法假設出命題，進而證明即可【解答】證明：假設、中有兩個角是鈍角，不妨設、為鈍角，這與三角形內角和定理相矛盾，故假設不成立原命題正確【點評】此題主要考查了反證法，需熟練掌握反證法的一般步驟：假設命題的結論不成立；從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確13如圖，在中，是內的一點，且，求證：（反證法）【分析】運用反證法進行求解：（1）假設結論不成立，即成立（2）從假設出發推出與已知相矛盾（3）得到假設不成立，則結論成立【解答】證明：假設把繞點逆時針旋轉，使與重合，又，即，又，與矛盾，不成立，綜上所述，得：【點評】此題主要考查了反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟14證明：在中，中至少有一個角大于或等于【分析】利用反證法的步驟，首先假設原命題錯誤，進而得出與三角形內角和定理矛盾，從而證明原命題正確【解答】證明：假設中每個內角都小于，則，這與三角形內角和定理矛盾，故假設錯誤，即原結論成立，在中，中至少有一個角大于或等于【點評】此題