高中數學專題四橢圓、雙曲線、拋物線圓錐曲線知識點小結一、橢圓：（1）橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡。其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：表示橢圓；表示線段；沒有軌跡；（2）橢圓的標準方程、圖象及幾何性質：中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標準方程圖 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1頂 點對稱軸軸，軸；短軸為，長軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，橢圓越扁）通 徑（過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內的線段）3常用結論：（1）橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于兩點，則的周長= （2）設橢圓左、右兩個焦點為，過且垂直于對稱軸的直線交橢圓于兩點，則的坐標分別是 二、雙曲線：（1）雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡。其中：兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：與（）表示雙曲線的一支。表示兩條射線；沒有軌跡；（2）雙曲線的標準方程、圖象及幾何性質：中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標準方程圖 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2頂 點對稱軸軸，軸；虛軸為，實軸為焦 點焦 距 離心率（離心率越大，開口越大）漸近線通 徑（3）雙曲線的漸近線：求雙曲線的漸近線，可令其右邊的1為0，即得，因式分解得到。與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；（4）等軸雙曲線為，其離心率為（4）常用結論：（1）雙曲線的兩個焦點為，過的直線交雙曲線的同一支于兩點，則的周長= （2）設雙曲線左、右兩個焦點為，過且垂直于對稱軸的直線交雙曲線于兩點，則的坐標分別是 三、拋物線：（1）拋物線的定義：平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離相等的點的軌跡。其中：定點為拋物線的焦點，定直線叫做準線。（2）拋物線的標準方程、圖象及幾何性質：焦點在軸上，焦點在軸上，焦點在軸上，焦點在軸上，開口向右開口向左開口向上開口向下標準方程圖 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx頂 點對稱軸軸軸焦 點離心率準 線通 徑焦半徑焦點弦焦準距四、弦長公式： 其中,分別是聯立直線方程和圓錐曲線方程,消去 y后所得關于x的一元二次方程的判別式和的系數五、弦的中點坐標的求法法（一）：（1）求出或設出直線與圓錐曲線方程；（2）聯立兩方程，消去y,得關于x的一元二次方程設，由韋達定理求出；（3）設中點，由中點坐標公式得；再把代入直線方程求出。法（二）：用點差法，設，中點，由點在曲線上，線段的中點坐標公式，過A、B兩點斜率公式，列出5個方程，通過相減，代入等變形，求出。六、求離心率的常用方法：法一，分別求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c滿足的關系，消去b,再化為關于e的方程，最后解方程求e (求e時，要注意橢圓離心率取值范圍是0e1，而雙曲線離心率取值范圍是e1)高考專題訓練橢圓、雙曲線、拋物線一、選擇題： 1(2011遼寧)已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點M到y軸的距離為()A.B1C.D.答案：C2(2011湖北)將兩個頂點在拋物線y22px(p0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為n，則()An0 Bn1Cn2 Dn3答案：C3(2011全國)已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線y2x4與C交于A，B兩點，則cosAFB()A. B.C D答案：D4(2011浙江)已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點若C1恰好將線段AB三等分，則()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案：C5(2011福建)設圓錐曲線的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|4：3：2，則曲線的離心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或答案：A6(2011鄒城一中5月模擬)設F1，F2是雙曲線1(a0，b0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使()0(O為坐標原點)，且|PF1|PF2|，則雙曲線的離心率為()A. B.1C. D.1答案：D二、填空題： 7(2011江西)若橢圓1的焦點在x軸上，過點作圓x2y21的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是_答案：18(2011課標)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為，過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_答案：19(2011浙江)設F1，F2分別為橢圓y21的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若5，則點A的坐標是_答案：(0，1)10(2011全國)已知F1、F2分別為雙曲線C：1的左、右焦點，點AC，點M的坐標為(2,0)，AM為F1AF2的角平分線，則|AF2|_.答案：6三、解答題： 11(12分)(2011江西)P(x0，y0)(x0a)是雙曲線E：1(a0，b0)上一點，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值解：(1) e.(2)0或4.12(13分)(2011遼寧)如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e.直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.(1)設e，求|BC|與|AD|的比值；(2)當e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：(1) |BC|:|AD|.(2)t0時的l不符合題意，t0時，BOAN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等時成立基礎鞏固題目 橢圓、雙曲線、拋物線（2） 雙曲線的實軸長是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】選C.(5) 在極坐標系中，點 到圓 的圓心的距離為來源:學#科#網（A）2 (B) (C) （D) 【解析】選D.（21）（本小題滿分13分）設，點的坐標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程。解：點P的軌跡方程為(3) 雙曲線的實軸長是（A）2 (B) (C) 4 (D) 4【解析】選C.(4) 若直線過圓的圓心,則a的值為（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3【解析】.（17）（本小題滿分13分）設直線（I）證明與相交；（II）證明與的交點在橢圓證明：（I）反證法3.在極坐標系中，圓的圓心的極坐標是A. B. C. D. 【解析】： ，選B。19.已知橢圓G：，過點（m，0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點。（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（2）將表示為m的函數，并求的最大值。解：（） （）當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.8已知點A（0,2），B（2,0）若點C在函數y = x的圖像上，則使得ABC的面積為2的點C的個數為 A A4 B3 C2 D119（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，右焦點為（,0），斜率為I的直線與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3,2）.（I）求橢圓G的方程；（II）求的面積.解：（）橢圓G的方程為（）PAB的面積S=7設圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線r上存在點P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于 AA B或2 C2 D17（本小題滿分13分）已知直線l：y=x+m，mR。（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線l關于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。（I）圓的方程為（II）當m=1時，直線與拋物線C相切；當時，直線與拋物線C不相切。21.（2）（本小題滿分7分）坐標系與參數方程在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關系；（II）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值解：（I）點P在直線上（II）最小值為11設圓錐曲線的兩個焦點分別為F1、F2，若曲線上存在點P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|4：3：2，則曲線的離心率等于 A A. 或 B或2 C或2 D或18.（本小題滿分12分）如圖，直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點A。（）求實數b的值；（）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。解：（I）b=-1（II）圓A的方程為14.（坐標系與參數方程選做