第五章 二次根式5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性質 教學目標： 理解二次根式的概念，并利用（a0）的意義解答具體題目 提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題 教學重難點關鍵： 1重點：形如（a0）的式子叫做二次根式的概念； 2難點與關鍵：利用“（a0）”解決具體問題 教學過程 一、復習引入X Kb1 .C om （學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：問題1：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，甲這次射擊的方差是S2，那么S=_ 老師點評： 由方差的概念得S= . 二、探索新知很明顯、，都是一些正數的算術平方根像這樣一些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式因此，一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號 （學生活動）議一議： 1-1有算術平方根嗎？ 20的算術平方根是多少？ 3當a0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數是正數或0 解：二次根式有：、（x0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、 例2當x是多少時，在實數范圍內有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意義解：由3x-10，得：x 當x時，在實數范圍內有意義 三、鞏固練習 P157 練習1、 四、應用拓展 例3當x是多少時，+在實數范圍內有意義？ 分析：要使+在實數范圍內有意義，必須同時滿足中的0和中的x+10解：依題意，得 由得：x- 由得：x-1 當x-且x-1時，+在實數范圍內有意義例4(1)已知y=+5，求的值(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值(答案:) 五、歸納小結（學生活動，老師點評） 本節課要掌握： 1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號 2要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數 六、布置作業 1P159 習題5.1 A組1 2選用課時作業設計作業設計 一、選擇題 1下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C Dx2 2下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D3已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（）A5 B C D以上皆不對 二、填空題 1形如_的式子叫做二次根式 2面積為a的正方形的邊長為_ 3負數_平方根 三、綜合提高題 1某工廠要制作一批體積為1m3的產品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？ 2當x是多少時，+x2在實數范圍內有意義？ 3若+有意義，則=_4.使式子有意義的未知數x有（ ）個 A0 B1 C2 D無數5.已知a、b為實數，且+2=b+4，求a、b的值 作業設計答案: 一、1A 2D 3B 二、1（a0） 2 3沒有 三、1設底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x=2依題意得：， 當x-且x0時，x2在實數范圍內沒有意義 3. 4 B 5 a=5，b=-45.1.2二次根式的化簡（1）教學目標 理解（a0）是一個非負數和（）2=a（a0），并利用它們進行計算和化簡 通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a0）是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（）2=a（a0）；最后運用結論嚴謹解題教學重難點關鍵 1重點：（a0）是一個非負數；（）2=a（a0）及其運用 2難點、關鍵：用分類思想的方法導出（a0）是一個非負數；用探究的方法導出（）2=a（a0）教學過程 一、復習引入 （學生活動）口答 1什么叫二次根式？ 2當a0時，叫什么？當a0； （2）a20； （3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4題都可以運用（）2=a（a0）的重要結論解題 解：（1）因為x0，所以x+10 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9例3在實數范圍內分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、歸納小結 本節課應掌握： 1（a0）是一個非負數； 2（）2=a（a0）;反之:a=（）2（a0） 六、布置作業 1P 159 習題5.1 A組 2、 2選用課時作業設計 作業設計 一、選擇題 1下列各式中、，二次根式的個數是（ ） A4 B3 C2 D1 2數a沒有算術平方根，則a的取值范圍是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da=0 二、填空題 1（-）2=_ 2已知有意義，那么是一個_數 三、綜合提高題 1計算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2把下列非負數寫成一個數的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）3已知+=0，求xy的值 4在實數范圍內分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5作業設計答案: 一、1B 2C 二、13 2非負數三、1（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=6= （4）（-3）2=9=6 (5)-62（1）5=（）2 （2）3.4=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x0） 3 xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+）（x-） （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-） (3)略課后反思：5.1.2二次根式的化簡（2）教學目標： 理解=a（a0）并利用它進行計算和化簡 通過具體數據的解答，探究=a（a0），并利用這個結論解決具體問題教學重難點關鍵 1重點：a（a0） 2難點：探究結論 3關鍵：講清a0時，a才成立教學過程 一、復習引入： 老師口述并板書上兩節課的重要內容； 1形如（a0）的式子叫做二次根式； 2（a0）是一個非負數； 3()2a（a0） 那么，我們猜想當a0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題 二、探究新知 （學生活動）填空：http:/w ww.xkb1. com =_；=_；=_； =_；=_；=_ （老師點評）：根據算術平方根的意義，我們可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；= 因此，一般地：=a（a0） 例1 化簡 （1） （2） （3） （4）分析：因為（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可運用=a（a0）去化簡解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3 三、鞏固練習 P157 練習 3 四、應用拓展例2 填空：當a0時，=_；當aa，則a可以是什么數？ 分析：=a（a0），要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（ ）2”中的數是正數，因為，當a0時，=，那么-a0 （1）根據結論求條件；（2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么時候才能保證呢？aa，即使aa所以a不存在；當aa，即使-aa，a0綜上，a2，化簡-五、歸納小結 本節課應掌握：=a（a0）及其運用，同時理解當a- C= 二、填空題 1-=_ 2若是一個正整數，則正整數m的最小值是_ 三、綜合提高題 1先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯誤的，錯誤的原因是_2若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判斷1995-a的值是正數還是負數，去掉絕對值）3. 若-3x2時，試化簡x-2+。答案: 一、1C 2A 二、1-002 25 三、1甲 甲沒有先判定1-a是正數還是負數 2由已知得a-20000，a2000 所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000 3. 10-x5.1.2二次根式的化簡（3）教學目標1 進一步加深對積的算式平方根的性質的理解，進一步掌握二次根式的化簡。重點、難點重難點：積的算式平方根的性質進行二次根式的化簡。教學過程一 、創設情景，導入新課1 復習：（1） 二次根式有哪些性質？ ，若a0,b0,計算： (1 ) , (2) 解：（1）（2）變式：上題改為：，且要求結果中的被開方數是整式。例3如圖，E、F、H、M分別是菱形ABCD的四邊中點，連結EF，FH，HM，ME，則四邊形EFHM是矩形。 設菱形ABCD的面積為cm,對角線AC的長為cm。試問：菱形ABCD的對角線BD的長是多少？矩形EFHM的面積是多少？獨立思考交流做法寫成解題過程解：ACDB= ,DB= E、F、H、M分別是菱形ABCD的四邊中點MH= AC= 2 = ,ME=DB=2=三 課堂練習，鞏固提高 P 164 練習 1、2、3 1 計算：（1）， （2）2求下列各式當a=3,b=4時的值：（1）， （2）補充：1 上面第1題中的（1）小題改為：，再改為：，再改為再改為：四 反思小結，拓展提高 這節課你有什么收獲？我們用類比的方法根據猜想得到并帶著懷疑的眼光對它的正確性進行了探究，我們感受到類比使我們產生靈感，類比得到的結論的正確性需要我們去探究。五 作業 P 165 習題A組 2、3六.課后反思：5.2.2 二次根式的乘除 教學內容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算 教學目標 理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式 通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求 重難點關鍵 1重點：最簡二次根式的運用 2難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書） 1計算（1），（2），（3） 老師點評：=，=，= 2現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_ 它們的比是 二、探索新知 觀察上面計算題1的最后結果，發現這些式子中的二次根式有如下兩個特點： 1被開方數不含分母； 2被開方數中不含能開得盡方的因數或因式 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式 學生分組討論，推薦34個人到黑板上板書老師點評：不是=. 例1(1) ; (2) ; (3) 三、鞏固練習 教材P14 練習2、3 四、應用拓展例3觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算 （+）（+1）的值 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的 解：原式=（-1+-+-+-）（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 五、歸納小結 本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用 六、布置作業 1教材P15 習題212 3、7、102選用課時作業設計 作業設計 一、選擇題 1如果（y0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不對 2把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化簡正確的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x4化簡的結果是（ ） A- B- C- D- 二、填空題 1化簡=_（x0） 2a化簡二次根式號后的結果是_ 三、綜合提高題 1已知a為實數，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a=（a-1） 2若x、y為實數，且y=，求的值 答案: 一、1C 2D 3.C 4.C 二、1x 2-三、1不正確，正確解答：因為，所以a0，原式-a=-a=-a+=(1-a) 2 x-4=0，x=2，但x+20，x=2，y= 新|課 | 標|第 |一| 網 .課后反思：5.3 二次根式的加法和減法5.3.1 二次根式的加減運算（1）教學目標： 理解和掌握二次根式加減的方法 先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加方法的理解再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡重難點關鍵： 1重點：二次根式化簡為最簡根式 2難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式教學過程 一、復習引入 學生活動：計算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并同類項合并就是字母不變，系數相加減 二、探索新知 學生活動：計算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 老師點評： （1）如果我們把當成x，不就轉化為上面的問題嗎？ 2+3=（2+3）=5 （2）把當成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把當成z； +2+=2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看為x，看為y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的（板書）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并 例1計算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2計算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、鞏固練習 P169 練習1、2 四、應用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當x=，y=3時， 原式=+6=+3五、歸納小結 本節課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并布置作業 1P172 習題5.3 A組 1、2、 2選作課時作業設計 作業設計 一、選擇題 1以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯誤的有（ ） A3個 B2個 C1個 D0個 二、填空題 1在、3、-2中，與是同類二次根式的有_ 2計算二次根式5-3-7+9的最后結果是_ 三、綜合提高題 1已知2.236，求（-）-（+）的值（結果精確到0.01） 2先化簡，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27答案: 一、1C 2A 二、1 26-2 三、1原式=4-=2.2360.452原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-，當x=，y=27時，原式=-=-5.3.1 二次根式的加減運算（2）教學目標 運用二次根式、化簡解應用題 通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題重難點關鍵 講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點教學過程 一、復習引入 上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固二、探索新知P169 動腦筋P170例3 計算 （1） （-） （2） （2+）（1-）P170例4 計算 （1） （+1）（-1） （2） （-）2 P171例5 計算 （1） （+） （2） + 三、鞏固練習 P171 練習 1、2、3 四、應用拓展 例6若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值（同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同；事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化為最簡二次根式： =|b| 由題意得 a=1，b=1五、歸納小結 本節課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題六、布置作業 1P172 習題5.3 A組 3、4 新- 課-標-第- 一-網2選用課時作業設計綜合提高題 1若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值 2同學們，我們以前學過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數（包括0）都可以看作是一個數的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）23-2=（-1）2 =-1求：（1） （2）；（3）你會算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關系是什么？并說明理由答案: 1依題意，得 ， ， 所以或 或 或2（1）=+1 （2）=+1 （3）=-1 （4） 理由：兩邊平方得a2=m+n2 所以課后反思：5.3.2 二次根式的混合運算 教學目標 含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用 復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算 重難點關鍵 重點： 二次根式的乘除、乘方等運算規律； 難點：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題: 1計算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2計算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現它主要有（1）單項式單項式；（2）單項式多項式；（3）多項式單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？仍成立 整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根式新- 課-標-第- 一-網 例1計算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律解：（1）（+）=+=+=3+2（2）解：（4-3）2=42-32 =2- 例2計算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-）分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2=10-7=3 三、應用拓展例3已知=2-，其中a、b是實數，且a+b0，化簡+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此對代數式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2- b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 五、歸納小結 本節課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算六、布置作業 1P172 習題5.3 B組 5、6 2選用課時作業設計作業設計一、選擇題 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2計算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1二、填空題 1（-+）2的計算結果（用最簡根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的計算結果（用最簡二次根式表示）是_3若x=-1，則x2+2x+1=_4已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_X k B 1 . c o m三、綜合提高題 1化簡 2當x=時，求+的值（結果用最簡二次根式表示） 課外知識 1同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數相同的二次根式 練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）A與 B與 C與 D與 2互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時它們的積是有理數，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式 練習：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中的根號的目的 練習：把下列各式的分母有理化 （1）； （2）； （3）； （4） 4其它材料：如果n是任意正整數，那么=n 理由：=n 練習：填空=_；=_；=_答案: 一、1A 2D 二、11- 24-24 32 44三、1原式 =-（-）=- w W w . x K b 1.c o M2原式= 2（2x+1） x=+1 原式2（2+3）=4+6. 課后反思：二次根式小結與復習有關二次根式的化簡與運算