3 2 3直線與平面的夾角 3 2 4二面角及其度量 學習目標1 理解斜線和平面所成的角的定義 體會夾角定義的唯一性 合理性 2 會求直線與平面的夾角 3 掌握二面角的概念 二面角的平面角的定義 會找一些簡單圖形中的二面角的平面角 4 掌握求二面角的基本方法 步驟 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 知識點一直線與平面所成的角 思考 斜線和平面所成的角具有什么性質 答案 斜線和它在平面內的射影所成的角 是斜線和這個平面內所有直線所成角中最小的角 且cos cos 1cos 2 如圖 梳理 1 直線與平面所成的角 90 O 0 O 射影 2 最小角定理 cos cos 1cos 2 射影 最小的角 知識點二二面角及理解 思考 如何找二面角的平面角 答案 定義法由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點可根據具體題目選擇棱上一個特殊點 求解用到的是解三角形的有關知識 2 垂面法作 找 一個與棱垂直的平面 與兩面的交線就構成了平面角 3 三垂線定理 或逆定理 作平面角 這種方法最為重要 其作法與三垂線定理 或逆定理 的應用步驟一致 梳理 1 二面角的概念 二面角的定義 平面內的一條直線把平面分成兩部分 其中的每一部分都叫做半平面 從一條直線出發的所組成的圖形叫做二面角 如圖所示 其中 直線l叫做二面角的 每個半平面叫做二面角的 如圖中的 兩個半平面 棱 面 二面角的記法 棱為l 兩個面分別為 的二面角 記作 l 如圖 A B 二面角也可以記作A l B 也可記作2 l 二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一點O 在兩半平面內分別作射線OA l OB l 則 AOB叫做二面角 l 的平面角 如圖所示 由等角定理知 這個平面角與點O在l上的位置無關 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 二面角的范圍是 0 180 2 用向量夾角來確定二面角性質及其度量的方法 如圖 分別在二面角 l 的面 內 并沿 延伸的方向 作向量n1 l n2 l 則 n1 n2 等于該二面角的平面角 如圖 設m1 m2 則角 m1 m2 與該二面角大小相等或互補 題型探究 類型一求直線與平面的夾角 解答 建立如圖所示的空間直角坐標系 則A 0 0 0 B 0 a 0 方法一取A1B1的中點M 則MC1 AB MC1 AA1 又AB AA1 A MC1 平面ABB1A1 C1AM是AC1與側面ABB1A1所成的角 又直線與平面所成的角在 0 90 范圍內 AC1與側面ABB1A1所成的角為30 設側面ABB1A1的法向量為n y z y z 0 故n 0 0 又直線與平面所成的角在 0 90 范圍內 AC1與側面ABB1A1所成的角為30 用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當的空間直角坐標系 再用向量的有關知識求解線面角 方法二給出了用向量法求線面角的常用方法 即先求平面法向量與斜線夾角 再進行換算 反思與感悟 跟蹤訓練1如圖所示 已知直角梯形ABCD 其中AB BC 2AD AS 平面ABCD AD BC AB BC 且AS AB 求直線SC與底面ABCD的夾角 的余弦值 解答 由題設條件知 以點A為坐標原點 分別以AD AB AS所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 如圖所示 0 90 類型二求二面角 例2在底面為平行四邊形的四棱錐P ABCD中 AB AC PA 平面ABCD 且PA AB E是PD的中點 求平面EAC與平面ABCD的夾角 解答 方法一如圖 以A為原點 分別以AC AB AP所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 設PA AB a AC b 連接BD與AC交于點O 取AD中點F 連接EF EO FO 則C b 0 0 B 0 a 0 EOF等于平面EAC與平面ABCD的夾角 或補角 平面EAC與平面ABCD的夾角為45 方法二建系如方法一 PA 平面ABCD 設平面AEC的法向量為m x y z x 0 y z 取m 0 1 1 平面EAC與平面ABCD的夾角為45 反思與感悟 1 當空間直角坐標系容易建立 有特殊的位置關系 時 用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 經過簡單的運算即可求出 有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小 相等或互補 但我們可以根據圖形觀察得到結論 因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的 2 注意法向量的方向 一進一出 二面角等于法向量夾角 同進同出 二面角等于法向量夾角的補角 解答 如圖所示建立空間直角坐標系 設平面PAB的法向量為m x y z 設平面PBC的法向量為n x y z 令y 1 則z 1 故n 0 1 1 當堂訓練 1 在三棱柱ABC A1B1C1中 底面是棱長為1的正三角形 側棱AA1 底面ABC 點D在棱BB1上 且BD 1 若AD與平面AA1C1C所成的角為 則sin 的值是 答案 解析 2 3 4 1 如圖所示 建立坐標系 平面AA1C1C的一個法向量是n 1 0 0 2 3 4 1 2 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為 答案 解析 45 或135 設二面角的平面角為 2 3 4 1 3 正四面體ABCD中棱AB與底面BCD所成角的余弦值為 答案 解析 作AO 底面BCD 垂足為O O為 BCD的中心 2 3 4 1 4 已知點A 1 0 0 B 0 2 0 C 0 0 3 則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為 答案 解析 2