第二章空間向量與立體幾何 4用向量討論垂直與平行 二 學習目標1 能用向量法判斷一些簡單線線 線面 面面垂直關系 2 能用向量語言表述直線與直線 直線與平面 平面與平面的垂直關系 3 能用向量方法證明空間線面垂直關系的有關定理 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 知識點一向量法判斷線線垂直 思考 若直線l1的方向向量為 1 1 3 2 直線l2的方向向量為 2 1 1 1 那么兩直線是否垂直 用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么 答案 l1與l2垂直 因為 1 2 1 3 2 0 所以 1 2 又 1 2是兩直線的方向向量 所以l1與l2垂直 2 判斷兩直線的方向向量的數量積是否為零 若數量積為零 則兩直線垂直 否則不垂直 梳理 設直線l的方向向量為a a1 a2 a3 直線m的方向向量為b b1 b2 b3 則l m a1b1 a2b2 a3b3 0 a b 0 知識點二向量法判斷線面垂直 思考 答案 垂直 因為 1 2 所以 1 2 即直線的方向向量與平面的法向量平行 所以直線l與平面 垂直 判斷直線與平面的位置關系的方法 1 直線l的方向向量與平面 的法向量共線 l 2 直線的方向向量與平面的法向量垂直 直線與平面平行或直線在平面內 3 直線l的方向向量與平面 內的兩相交直線的方向向量垂直 l 梳理 設直線l的方向向量為a a1 b1 c1 平面 的法向量為 a2 b2 c2 則l a a k k R 知識點三向量法判斷面面垂直 思考 平面 的法向量分別為 1 x1 y1 z1 2 x2 y2 z2 用向量坐標法表示兩平面 垂直的關系式是什么 x1x2 y1y2 z1z2 0 答案 梳理 若平面 的法向量為 a1 b1 c1 平面 的法向量為 a2 b2 c2 則 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 題型探究 類型一證明線線垂直 例1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱長都為1 M是底面BC邊的中點 N是側棱CC1上的點 且CN CC1 求證 AB1 MN 證明 設AB中點為O 作OO1 AA1 以O為坐標原點 OB為x軸 OC為y軸 OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 證明兩直線垂直的基本步驟 建立空間直角坐標系 寫出點的坐標 求直線的方向向量 證明向量垂直 得到兩直線垂直 反思與感悟 直三棱柱ABC A1B1C1底面三邊長AC 3 BC 4 AB 5 AC BC C1C兩兩垂直 如圖 以C為坐標原點 CA CB CC1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 則C 0 0 0 A 3 0 0 C1 0 0 4 B 0 4 0 跟蹤訓練1如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AB 5 AA1 4 求證 AC BC1 證明 類型二證明線面垂直 例2如圖所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長都為2 D為CC1的中點 求證 AB1 平面A1BD 證明 如圖所示 取BC的中點O 連接AO 因為 ABC為正三角形 所以AO BC 因為在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 所以AO 平面BCC1B1 又因為BA1 BD B 所以AB1 平面A1BD 反思與感悟 用坐標法證明線面垂直的方法及步驟方法一 1 建立空間直角坐標系 2 將直線的方向向量用坐標表示 3 找出平面內兩條相交直線 并用坐標表示它們的方向向量 4 分別計算兩組向量的數量積 得到數量積為0 方法二 1 建立空間直角坐標系 2 將直線的方向向量用坐標表示 3 求出平面的法向量 4 判斷直線的方向向量與平面的法向量平行 跟蹤訓練2如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 點P為DD1的中點 求證 直線PB1 平面PAC 證明 又PA PC P 所以PB1 平面PAC 類型三證明面面垂直 例3在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC AB BC AB BC 2 AA1 1 E為BB1的中點 求證 平面AEC1 平面AA1C1C 證明 由題意知直線AB BC B1B兩兩垂直 以點B為原點 分別以BA BC BB1所在直線為x y z軸 建立如圖所示的空間直角坐標系 設平面AA1C1C的法向量為n1 x y z 設平面AEC1的法向量為n2 a b c 令c 4 得a 1 b 1 故n2 1 1 4 因為n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 所以n1 n2 所以平面AEC1 平面AA1C1C 令x 1 得y 1 故n1 1 1 0 反思與感悟 證明面面垂直的兩種方法 1 常規法 利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直 線線垂直去證明 2 向量法 證明兩個平面的法向量互相垂直 跟蹤訓練3在四面體ABCD中 AB 平面BCD BC CD BCD 90 ADB 30 E F分別是AC AD的中點 求證 平面BEF 平面ABC 證明 以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系 設平面ABC的一個法向量為n1 x1 y1 z1 n1 1 1 0 為平面ABC的一個法向量 設n2 x2 y2 z2 為平面BEF的一個法向量 平面BEF 平面ABC 當堂訓練 1 下列命題中 真命題的個數為 若n1 n2分別是平面 的法向量 則n1 n2 若n1 n2分別是平面 的法向量 則 n1 n2 0 若n是平面 的法向量 a與平面 平行 則n a 0 若兩個平面的法向量不垂直 則這兩個平面不垂直 A 1B 2C 3D 4 中平面 可能平行 也可能重合 結合平面法向量的概念 易知 正確 答案 解析 2 3 4 5 1 2 已知兩直線的方向向量為a b 則下列選項中能使兩直線垂直的為A a 1 0 0 b 3 0 0 B a 0 1 0 b 1 0 1 C a 0 1 1 b 0 1 1 D a 1 0 0 b 1 0 0 因為a 0 1 0 b 1 0 1 所以a b 0 1 1 0 0 1 0 所以a b 故選B 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若直線l的方向向量為a 1 0 2 平面 的法向量為 2 0 4 則A l B l C l D l與 斜交 a l 答案 解析 2 3 4 5 1 4 平面 的一個法向量為m 1 2 0 平面 的一個法向量為n 2 1 0 則平面 與平面 的位置關系是A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 不能確定 1 2 0 2 1 0 0 兩法向量垂直 從而兩平面垂直 答案 解析 2 3