第二章基本定理 2 1概率的加法定理 若事件A B互不相容 則P A B P A P B 定理1對于任意兩事件A與B 有 P A B P A P B P AB 由概率的可加性可以得到P A AB P A P AB 證 事件A B可以表示成三個互不相容事件 推論1對任一事件A 有 逆事件法則 P A 1 P A 2 2乘法定理 2 2 1條件概率 一般地 定義1A B是兩個隨機事件 如果P A 0 則定義 是事件A發生的條件下事件B發生的條件概率 P B A P AB P A 兩種途徑計算條件概率 1 在縮減的樣本空間中計算條件概率 2 利用上述公式 1 非負性 對任意的隨機事件B 有P 0 3 可列可加 對于任意一列兩兩不相容的隨機事件B1 B2 則有 定理2條件概率具有如同 無條件 概率一樣的性質 2 規范性 例6設已知某種動物自出生能活過20歲的概率是0 8 能活過25歲的概率是0 4 問現齡是20歲的該種動物能活過25歲的概率是多少 條件概率可解釋為當存在部分先驗信息可資利用時 而對概率作出重新估計 2 2 2乘法定理 計算隨機事件交事件概率的公式 乘法公式如果P A 0 則有P AB P A P B A 一般的乘法公式設A1 A2 An是任意的n個隨機事件 并且P A1A2 An 0 則有 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An 1 A1A2 An 2 P An A1A2 An 1 對稱地 如果P B 0 則有P AB P B P A B 例8 一批零件共100個 已知內有10個次品 現從中任意逐次取出一個零件 取后不放回 問第三次才取到正品的概率是多少 2 2 3獨立事件 定義2對事件A B 若P AB P A P B 則稱事件A與事件B是相互獨立的 簡稱獨立的 定理4若P A 0 則事件A與B獨立的充分必要條件是 P B A P B 或P A B P A 定理5若事件A與B獨立 則下面三對事件均獨立 例10某商店經銷的某種商品100件 經理聲稱其中只有5件帶有不影響使用效果的小缺陷 工商部門對這批商品進行抽檢時 采用有放回每次抽一件檢查的重復抽樣檢查法 試問接連抽檢兩件這種商品時 第一件查出帶缺陷 與 第二件查出帶缺陷 這兩個事件是否獨立 被抽檢的這兩件產品皆是有缺陷的商品的概率是多少 這是個小概率事件 若恰好遇到 則有理由懷疑經理的謊報 可以采取更進一步的行動了 例 概率與伴侶 下面是一位男士所列的他的女友應該滿足的條件 22 27歲受過良好教育漂亮聰明性格溫柔 體貼中等身高體重身體健康有共同愛好未婚喜歡我 1 41 51 51 41 61 21 21 81 21 5 假定這些條件彼此相互獨立 所有概率的乘積為 1 4 1 5 1 768 000 如果要全部滿足這些條件 假定每天認識3位女性 他平均需要等待700年時間 2 3Bayes 貝葉斯 公式 1 樣本空間 的劃分 或完備事件組 定義1 5 2如果隨機事件B1 B2 Bn 滿足 1 Bi Bj 對所有的i j 2 B1 B2 Bn 則稱B1 B2 Bn 是樣本空間 的一個劃分 2 3 1全概率公式 假定隨機事件組B1 Bn 是樣本空間 的一個劃分 P Bk 0 A是任意的一個隨機事件 則 P A P Bk P A Bk 全概率公式 2 3 2Bayes 貝葉斯 公式 P Bk A P Bk P A Bk P Bj P A Bj 假定隨機事件組B1 Bn 是樣本空間 的一個劃分 P Bk 0 A是任一具有正概率的隨機事件 則 證明 P Bk A P ABk P A 例產品使用的元件由三個工廠提供 數據如下 廠家次品率所占份額甲廠0 020 15乙廠0 010 80丙廠0 030 05 1 隨機從倉庫取一件 求取到次品的概率 2 如果取到次品 最可能是來自哪個工廠的產品 最不可能的又是哪個工廠的 解 以A B C分別表示取到的這個元件來自工廠甲 乙 丙 D表示這個元件是次品 因此已知 P A 0 15 P B 0 8 P C 0 05 P D A 0 02 P D B 0 01 P D C 0 03 2 根據Bayes公式 P A D 0 24 同理 P B D 0 64 P C D 0 12 這個次品最有可能是乙廠 最不可能是丙廠的 1 根據全概率公式 P D P A P D A P B P D B P C P D C 0 15 0 02 0 8 0 01 0 05 0 03 0 0125 需要求出P D 以及比較三個條件概率 P A D P B D P C D 的大小 P A P D A 0 15 0 02P D 0 0125 先驗概率 與 后驗概率 先驗概率 過去經驗或知識 后驗概率 有新的信息以后對過去認識的修正 廠家次品率所占份額條件概率甲廠0 020 150 24乙廠0 010 800 64丙廠0 03