1 2 4幾種重要的離散型分布 二項分布超幾何分布泊松分布在這一節里 我們將集中討論幾種常用的離散型分布 前面提到的兩點分布 0 1分布是最簡單的離散型分布 它們描述的是只有兩種對立結果的隨機試驗 下面我們將介紹另幾種常用離散型分布 它們之間有密切而深刻的內在聯系 2 n重伯努利試驗 我們前面提到的0 1分布所對應的隨機試驗稱伯努利試驗或伯努利概型 即隨機試驗可能出現的結果只有對立的兩種狀態 一種記為x 1 其概率為p 另一種記為x 0 其概率為1 p 其概率分布表為 現在我們考慮將上述伯努利試驗獨立地重復n次 觀測其中一種狀態出現的次數X 這n次作為一個整體的試驗叫做n重伯努利試驗 3 n重伯努利試驗 例 設某射手每次射擊的中靶率為p 0 p 1 該射手射擊n次 現在考察這n次射擊中中靶次數X的分布 則這是一個n重伯努利試驗 定義 設將試驗獨立重復進行n次 每次試驗中 事件A發生的概率均為p 0 p 1 則稱這n次試驗為n重伯努利試驗 更一般化的定義 4 引例 例 某射手在相同條件下獨立地進行5次射擊 每次擊中目標的概率是0 6 求擊中目標次數X的概率分布 解 X的可能取值為0 1 2 3 4 5 設事件Ai表示第i i 1 2 5 次射中 則Ai相互獨立 P X 0 1 0 6 5 0 45 P X 1 5 0 6 1 0 6 4 類推可得 i 0 1 2 3 4 5 5 二項分布 定義 如果隨機變量X的分布律為 其中0 p 1 q 1 p 則稱X服從參數為n p的二項分布 簡記作X B n p 注 在這里P X k 的值恰好是二項式 p q n展開式中第k 1項 這就是二項分布名稱的由來 顯然 n重伯努利試驗中 發生概率為p的事件A出現的次數X就是服從二項分布的 反之 服從二項分布的隨機變量X也可看成一個n重伯努利試驗中某事件出現的次數 6 二項分布的期望與方差 可以證明 二項分布的期望與方差為 1 EX np 2 DX npq EX2 DX EX 2 npq n2p2例 設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數 每次射中目標的概率為0 4 則X2的數學期望E X2 DX EX 2 npq n2p2 2 4 16 18 4 7 二項分布數學期望的推導 8 二項分布數學方差的推導 計算二項分布的方差X 考慮E X X 1 EX2 EX 9 續上頁 令i k 2 即EX2 EX n2p2 np2 因此EX2 n2p2 np2 npDX EX2 EX 2 np np2 np 1 p npq 10 二項分布的最可能值 設X B n p X取值為0 1 n 使得概率P X k 最大的k 記為k0 稱為二項分布的最可能值 其中 n 1 p 表示不超過 n 1 p的最大整數 例如 若X B 4 0 8 n 1 p 5 0 8 4 所以 P X 4 和P X 3 的概率值最大 若X B 10 0 8 n 1 p 11 0 8 8 8 所以 P X 8 的概率值最大 8 8 8 演示二項分布概率分布圖驗證以上結論 11 結論的證明 證 其中 考慮比值 由此可知 12 例題與解答 例1 一批產品的廢品率p 0 03 進行20次重復抽樣 每次抽一個 觀察后放回去再抽下一個 求出現廢品的頻率為0 1的概率 解令X表示20次重復抽取中廢品出現的次數 X B 20 0 03 13 例題與解答 例2 從某大學到火車站途中有6個交通崗 假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數 求X的分布律 2 求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 于是 X的分布律為 14 二項分布的查表計算 對較小的n p 一般n 40 p 0 4 查分布函數表P X a F a P X a 1 F a P X a P X a 1 F a 1 P X a F a F a 1 15 查表計算示例 例3 設某人射擊的命中率為0 4 連續射擊10次 求 1 平均射中次數 2 最多射中2次的概率 3 至少射中2次的概率 4 射中4次的概率值 解 設射中次數為隨機變量X 則X B 10 0 4 1 EX np 4 即平均射中次數為4次 4 P X 4 P X 4 P X 3 F 4 F 3 0 6331 0 3823 0 2508 2 P X 2 F 2 查分布函數表得 P X 2 0 1673 3 P X 2 1 P X 2 1 P X 1 1 F 1 1 0 0464 0 9536 16 二項分布的變換 若n較小 p較大 應用以下定理 定理若X B n p 且Y n X 則Y B n q 其中q 1 p 證明 P Y m P n X m P X n m 所以 Y B n q 一般地 若n 40 p 0 6 由定理可得 P X m P n Y m P Y n m P X m P n Y m P Y n m P X m P X m 1 P n Y m 1 P Y n m 1 對隨機變量Y可查分布函數表取得 17 例題與解答 例4 設某人射擊的命中率為0 8 連續射擊10次 求 1 最多射中2次的概率 2 至少射中2次的概率 3 射中4次的概率值 解 設射中次數為隨機變量X 則X B 10 0 8 令Y 10 X 則Y B 10 0 2 1 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 1 F 7 1 0 9999 0 00001 2 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 F 8 1 3 P X 4 P Y 6 0 0112若n較大 p接近于0 可轉換為Possion分布 后面介紹 18 例題與解答 例5 某班有學生20名 其中有5名女同學 今從班上任選4名學生去參觀展覽 被選到的女同學數X是一個隨機變量 求X的分布 解 X可取0 1 2 3 4這5個值 相應概率為 19 超幾何分布 定義 設N個元素分為兩類 有N1個元素屬于第一類 N2個元素屬于第二類 N1 N2 N 從中按不重復抽樣取n個 令X表示這n個中第一 或二 類元素的個數 則X的分布稱為超幾何分布 分布參數為n N1 N2 其概率函數為 20 超幾何分布vs二項分布 二項分布是放回抽樣 而超幾何分布是不放回抽樣 當在不放回抽樣時 超幾何分布中的N1 N相當于二項分布中的參數p N2 N相當于二項分布中的q 1 p 超幾何分布也可以和二項分布一樣看作是n個0 1分布的隨機變量Xi的和 i 1 2 n Xi表示第i次抽樣抽到第一類元素的事件的次數 根據抽簽原理P Xi 1 N1 N 但如果i j Xi與Xj相互之間是不獨立的 21 超幾何分布的數學期望EX EX n N1 N 可以認為與二項分布期望一樣 證明 22 超幾何分布的方差DX DX n N1 N N2 N N n N 1 證明 先算出E X X 1 n n 1 N1 N N1 1 N 1 23 超幾何分布中E X X 1 的計算 24 例題與解答 例6 一批產品20件 其中3件優質品 從中一次取4件 取到優質品數記為X 求X的概率分布及期望方差 解 據題意 X服從超幾何分布 N1 3 N2 17 n 4 則 EX 3 5 DX 0 4295 25 超幾何分布的實際應用情況 元素的個數N是相當大的 例如 從中國人中任抽幾千個人觀察 從一個工廠的幾十萬件產品中任抽幾千件觀察 等等 而在N非常大的情況下 放回抽樣和不放回抽樣的結果幾乎是相同的 因此有 當N很大 n相對較小 一般 n N 5 的時候 超幾何分布可用二項分布來近似 換句話說 當N趨于無窮時 超幾何分布的極限是二項分布 26 超幾何分布與二項分布關系 對固定的n 當N N1 N p時 有P X m 27 例題與解答 例7一大批種子的發芽率為90 今從中任取10粒 求播種后 1 恰有8粒發芽的概率 2 不少于8粒發芽的概率 解設10粒種子中發芽的數目為X 因10粒種子是由一大批種子中抽取的 這是一個N很大 n相對于N很小的情況下的超幾何分布問題 可用二項分布近似計算 其中n 10 p 90 q 10 k 8 28 泊松 Poisson 分布 定義 如果隨機變量X的概率函數是 則稱X服從參數為 的泊松分布 29 泊松分布的應用背景 泊松分布常見于所謂稠密性的問題中 如一段時間內 電話用戶對電話臺的呼喚次數 候車的旅客數 原子放射粒子數 織機上斷頭的次數 以及零件鑄造表面上一定大小的面積內砂眼的個數等等 另外 對成功率為p的n重Bernoulli實驗 只要n比較大 p較小 n 100 p 0 1 時 可以通過隨后將介紹的 泊松定理 轉化為近似服從泊松分布的問題而得到解決 所以泊松分布的應用非常廣泛 30 泊松定理 Poisson定理 在n重Bernoulli實驗中 成功次數X服從二項分布 設每次實驗成功的概率為pn 0 pn 1 且 則有 泊松定理表明 泊松分布是二項分布的極限分布 當n很大 p很小時 二項分布就可近似地看成是參數 np 的泊松分布 n 100 p 0 1 31 泊松分布的數學期望 32 泊松分布的方差 泊松分布的期望 方差都等于分布的參數 33 例題與解答 例8設隨機變量X服從參數為 0 的Poisson分布 當k為何值時 P X k 取最大值 解 考慮比值 由此可知 所以有 34 例題與解答 例9 隨機變量X服從泊松分布 EX 5 查表求P X 2 P X 5 P X 20 解因泊松分布的參數 就是它的期望值 故 5 查書后附表 有P5 2 0 084224 P5 5 0 175467 P5 20 0 35 例題與解答 例10 槍擊飛機 每次命中目標的概率為0 001 連續射擊5000次 求擊中2彈或2彈以上的概率 解 設命中次數為X X B 5000 0 001 n較大 p較小 應用Possion定理 np 5 所求為P X 2 1 P X 2 1 P X 0 P X 1 由Excel可得 P X 0 0 0067 P X 1 0 0337所以 P X 2 1 0 0067 0 0337 0 9596 36 例題與解答 例11 一大批產品的廢品率為p 0 015 求任取一箱 有100個產品 箱中恰有一個廢品的概率 解所取一箱中的廢品個數X服