概率論與數理統計第八講 第三章隨機向量 有些隨機現象只用一個隨機變量來描述是不夠的 需要用幾個隨機變量來同時描述 3 導彈在空中位置 坐標 X Y Z 1 某人體檢數據 血壓X和心律Y 例如 2 鋼的基本指標 含碳量X 含硫量Y和硬度Z 一般地 將隨機試驗涉及到的n個隨機量X1 X2 Xn放在一起 記成 X1 X2 Xn 稱n維隨機向量 或變量 由于從二維隨機向量推廣到多維隨機向量并無實質性困難 所以 我們著重討論二維隨機向量 3 1二維隨機向量及其分布函數 設試驗E的樣本空間為 X X 與Y Y 是定義在 上的兩個隨機變量 由它們構成的向量 X Y 稱為二維隨機向量 二維隨機向量 X Y 的性質不僅與X和Y的性質有關 而且還依賴于X和Y之間的相互關系 因此 必須把 X Y 作為一個整體來看待 加以研究 為此 首先引入二維隨機向量 X Y 的分布函數的概念 定義二維隨機向量 X Y 的聯合分布函數為 取定x0 y0 R F x0 y0 就是點 X Y 落在平面上 以 x0 y0 為頂點 且位于該點左下方無限矩形區域上的概率 如果將 X Y 看成平面上隨機點的坐標 由上面的幾何解釋 易見 隨機點 X Y 落在矩形區域 x1 x x2 y1 y y2內的概率為 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 說明 二維分布函數F x y 的三條基本性質 1 F x y 是變量x y的非減函數 即 y R給定 當x1 x2時 F x1 y F x2 y 同樣 x R給定 當y1 y2時 F x y1 F x y2 2 x y R 有0 F x y 1 3 y R F y 0 x R F x 0 F 0 F 1 其中 3 2二維離散型隨機向量 如果隨機向量 X Y 的每個分量都是離散型隨機變量 則稱 X Y 是二維離散型隨機向量 二維離散型隨機向量 X Y 所有可能取的值也是有限個 或可列無窮個 離散型隨機變量X的概率分布 離散型隨機向量 X Y 的聯合概率分布 聯合概率分布也可以用表格表示 表3 2 1 二維離散型隨機向量的聯合概率分布與聯合分布函數 設二維離散型隨機向量 X Y 的聯合概率分布為pij i 1 2 j 1 2 于是 X Y 的聯合分布函數為 例1 設有10件產品 其中7件正品 3件次品 現從中任取兩次 每次取一件 取后不放回 令 X 1 若第一次取到的產品是次品 X 0 若第一次取到的產品是正品 Y 1 若第二次取到的產品是次品 Y 0 若第二次取到的產品是正品 求 二維隨機向量 X Y 的概率分布 解 X Y 所有可能取的值是 0 0 0 1 1 0 1 1 P X 0 Y 0 P 第一次取正品 第二次取正品 利用古典概型 得 P X 0 Y 0 7 6 10 9 7 15 同理 得P X 0 Y 1 7 3 10 9 7 30 P X 1 Y 0 3 7 10 9 7 30 P X 1 Y 1 3 2 10 9 1 15 例2 為了進行吸煙與肺癌關系的研究 隨機調查了23000個40歲以上的人 其結果列在下表之中 X 1 若被調查者不吸煙 X 0 若被調查者吸煙 Y 1 若被調查者未患肺癌 Y 0 若被調查者患肺癌 從表中各種情況出現的次數 計算各種情況出現的頻率 就產生了二維隨機向量 X Y 的概率分布 P X 0 Y 0 3 23000 0 00013 P X 1 Y 0 1 23000 0 00004 P X 0 Y 1 4597 23000 0 19987 P X 1 Y 1 18399 23000 0 79996 3 3 1概率密度 設二維隨機向量 X Y 的聯合分布函數為F x y 如果存在一個非負函數f x y 使得對任意實數x y 有 則稱 X Y 為連續型隨機向量 f x y 為 X Y 的概率密度函數 簡稱概率密度 3 3二維連續型隨機向量 連續型隨機變量X的概率密度 連續型隨機向量 X Y 的聯合概率密度 對連續型隨機向量 X Y 聯合概率密度與分布函數關系如下 在f x y 的連續點 解 1 由 例1 設 X Y 的聯合概率密度為 其中A是常數 1 求常數A 2 求 X Y 的分布函數 3 計算P 0 X 4 0 Y 5 3 P 0 X 4 0 Y 5 3 3 2均勻分布 定義 設D是平面上的有界區域 其面積為d 若二維隨機向量 X Y 的聯合概率密度為 則稱 X Y 為服從D上的均勻分布 X Y 落在D中某一區域A內的概率P X Y A 與A的面積成正比 而與A的位置和形狀無關 P X Y A A的面積 d 解 例2 設 X Y 服從圓域x2 y2 4上的均勻分布 計算P X Y A 這里A是中陰影部分的區域 圓域x2 y2 4面積d 4 區域A是x 0 y 0和x y 1三條直線所圍成的三角區域 并且包含在圓域x2 y2 4之內 面積 0 5 故 P X Y A 0 5 4 1 8 若二維隨機向量 X Y 有聯合概率密度 3 3 3二維正態分布 正態分布 X Y 的概率