第十章排列 組合 二項式定理和概率 排列 組合應用題 第講 2 第三課時 題型7直接法解排列 組合綜合應用題 1 已知10件不同產品中共有4件次品 現對它們進行一一測試 直至找到所有次品為止 1 若恰在第5次測試 才測試到第一件次品 第10次才找到最后一件次品的不同測試方法數是多少 2 若恰在第5次測試后 就找出了所有次品 則這樣的不同測試方法數是多少 解 1 先排前4次測試 只能取正品 有種不同測試方法 再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試 有種測法 再排余下4件的測試位置 有種測法 所以共有不同的測試方法 103680種 2 第5次測試恰找到最后一件次品 另3件在前4次中出現 從而前4次有1件正品出現 所以共有不同測試方法 576種 點評 解決排列組合綜合問題 應遵循三大原則 掌握基本類型 突出轉化思想 三大原則是 先特殊后一般 先取后排 先分類后分步的原則 基本類型主要包括 排列中的 在與不在 組合中的 有與沒有 還有 相鄰與不相鄰 至少與至多 分配與分組 等 轉化思想就是把一些排列組合問題與基本類型相聯系 從而把問題轉化為基本類型 然后加以解決 從6名短跑運動員中選4人參加4 100m接力 如果其中甲不能跑第一棒 乙不能跑第四棒 問共有多少種參賽方法 解 問題分成三類 1 甲 乙兩人均不參加 有種 2 甲 乙兩人有且僅有一人參加 有種 3 甲 乙兩人均參加 其中甲跑第四棒有種 甲跑第二棒或第三棒有種 由分類計數原理 共 252種 3 6項不同的工程 分別給甲 乙 丙三個公司 1 如果甲承包一項 乙承包二項 丙承包三項 有多少種承包方式 2 如果一個公司承包一項 另一個公司承包兩項 剩下的一個公司承包三項 有多少種承包方式 3 如果每個公司均承包兩項 有多少種承包方式 題型8排列 組合中的分組問題 解 1 從6項工程中選一項給甲有種 從余下的5項中選兩項給乙有種 最后的3項給丙有種 由分步計數原理共有 60種 2 將6項工程依條件分為三組共有種 而將三組分給甲 乙 丙三公司有種 故有 360種 3 解法1 90種 解法2 90種 點評 對分組或分配問題 先分清是 有序 還是 無序 然后分清是 均勻 還是 不均勻 分組 如本題中第 1 問就是 有序不均勻 分組問題 第 2 問是 無序不均勻 分組 第 3 問是 無序均勻 分組 注意它們的區別與聯系 掌握正確的處理方法 6名運動員分到4所學校去做教練 每校至少1人 有多少種不同的分配方法 解法1 先取人 后取學校 1 1 1 3 6人中先取3人有種取法 與剩余3人分到4所學校去有種不同分法 所以共有種分法 1 1 2 2 6人中取2人 2人 1人 1人的取法有種 然后分到4所學校去 有種不同的分法 共種分法 所以符合條件的分配方法有 1560種 解法2 先取學校 后取人 1 1 1 3 取一個位子放3個人 有 種取法 6人中分別取3人 1人 1人 1人的取法有種 所以共有種 1 1 2 2 先取2個位子放2人 其余2個位子放1人 有種取法 6人中分別取2人 2人 1人 1人的取法有種 共有種 所以符合條件的分配方法有 1560種 1 1 編號為1 2 3 4 5的五個人分別坐在編號為1 2 3 4 5的五個座位上 求至多有兩個人的編號與座位號一致的坐法種數 2 設集合a 3 4 5 6 7 b 4 5 6 7 8 從a b中各取一個數作為點的坐標 求一共可得到多少個不同的坐標 題型間接法解排列 組合綜合應用題 解 1 有且只有三個人的編號與座位號一致的坐法有種 有且只有五個人的編號與座位號一致的坐法有1種 因為五個人任意坐在五個位置上的坐法有種 所以符合要求的坐法共有 109 種 2 從a b中各取一個數作為點的坐標 有個 其中a b中所取元素相同時 重復4個 從a b中所取元素是4 5 6 7中的兩個數時 重復個 所以共有 34 個 2 四個不同的小球放入四個不同的盒子里 求在下列條件下各有多少種不同的放法 1 恰有一個盒子里放2個球 2 恰有兩個盒子不放球 解 1 分兩步 首先將四個小球按2 1 1的個數分成三組 有種分法 再將三組球放入四個盒子中的三個 有放法 由分步計數原理 共有 144 種 2 分兩類 將四個小球按3 1的個數分成兩組 再將這兩組球放入四個盒子中的兩個 有種放法 將四個小球平均分成兩組 再將這兩組球放入四個盒子中的兩個 有種放法 由分類計數原理 共有 84 種 1 求解排列 組合應用題的一般步驟是 弄清事件的特性 把具體問題化歸為排列問題或組合問題 其中 有序 是排列問題 無序 是組合問題 通過分析 對事件進行合理的分類 分步 或考慮問題的反面情況 分析上述解法中有沒有重復和遺漏現象 若有 則計算出重復數和遺漏數 列出算式并計算作答 2 解排列 組合應用題的基本方法是 直接法 直接列出符合條件的所有排列或組合 再求出排列數或組合數 間接法 不考慮限制條件計算出排列數或組合數 再減去不符合條件的排列數或組合數 余下的就是滿足條件的方法數 分類法 選定一個適當的標準 將事件分成n個類型 分別計算出各類型的方法數 再由分類計數原理得出結論 分步法 選定一個適當的標準 將事件分成n個步驟來完成 分別計算出各步驟的方法數 再由分步計數原理得出結論 3 解排列 組合應用題時要注意以下幾方面的技巧和策略 受限元素優先 受限位置優先 相鄰元素用 捆綁 并為一個元素 不相鄰元素用 插空 對 含有 或 不含