最新下載(NewD) 中國最大、最專業的學習資料下載站 轉載請保留本信息第三章 一元函數積分學31 不定積分甲 內容要點一基本概念與性質 1原函數與不定積分的概念 設函數和在區間上有定義，若在區間上成立，則稱為在區間上的原函數，在區間中的全體原函數稱為在區間的不定積分，記以。其中稱為積分號，稱為積分變量，稱為被積函數，稱為被積表達式。 2不定積分的性質 設，其中為的一個原函數，為任意常數。 則（1） 或 （2） 或 （3） （4） 3原函數的存在性 設在區間上連續，則在區間上原函數一定存在，但初等函數的原函數不一定是初等函數。例如，等。被積函數有原函數，但不能用初等函數表示，故這些不定積分均稱為積不出來。二基本積分公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三換元積分法和分部積分法 1第一換元積分法（湊微分法） 設，又可導，則 這里要求讀者對常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟練地湊出微分。 常用的幾種湊微分形式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） 2第二換元積分法 設可導，且，若， 則 其中為的反函數。 第二換元積分法絕大多數用于根式的被積函數，通過換元把根式去掉，其常見的變量替換分為兩大類： 第一類：被積函數是與或與或由構成的代數式的根式，例如等。 只要令根式，解出已經不再有根式，那么就作這種變量替換即可。 第二類：被積函數含有，如果仍令解出仍是根號，那么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將時先化為，時，先化為然后再作下列三種三角替換之一：根式的形式所作替換三角形示意圖（求反函數用） 值得注意：如果既能用上述第二換元積分法，又可以用第一換元積分法，那么一般用第一換元積分法比較簡單。 例1 例2 例3 3分部積分法 設，均有連續的導數，則 或 使用分部積分法時被積函數中誰看作誰看作有一定規律。 （1），情形，為次多項式，為常數，要進行次分部積分法，每次均取，為；多項式部分為。 （2），情形，為次多項式取為，而，為，用分部積分法一次，被積函數的形式發生變化，再考慮其它方法。 （3），情形，進行二次分部積分法后要移項，合并。 （4）比較復雜的被積函數使用分部積分法，要用湊微分法，使盡量多的因子和湊成。乙 典型例題一直接積分法 所謂直接積分法就是用代數或三角恒等式，并用積分的性質和基本積分公式能直接求出不定積分，它要求初等數學有關公式很熟練。 例1求 解：原式 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 例3求 例4求下列不定積分 （1） （2） 例5求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 分析：三角函數中的倍角公式 ， 在不定積分的計算中常可起到簡化計算的作用。上述四個題都是用倍角公式進行化簡，再用基本積分公式積分。二第一換元積分法 例1求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 令，； 令，； 令，。 因此，原式 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例3求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） 分析：這四個題中均含有，而，因而可以用湊微分的方法積分。 例4求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例5求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （6）解一： 解二： 例6求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 例7求下列不定積分 （1） （2） 三第二換元積分法 例1求 解： 例2求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（5）解一： （這里已設） 解二：倒代換 原式 例3求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）解一：令，則 解二： （注：；） 四分部積分法（有時還用了換元積分法） 例1求下列不定積分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2求下列不定積分 （1） （） （2） （3） （4） 解：（1） （） （2）解一： 解二：令，則 （3） （4） 例4求下列不定積分 （1） （2） （3） 32 定積分和廣義積分的概念與計算方法甲 內容要點一定積分的概念與性質 1定積分的定義 在上的定積分為 （如果極限存在） 其中為上任一點；任意劃分為個小區間 ； 如果在上有定積分，則稱在上可積。 上的連續函數或只有有限個第一類間斷點的函數都是可積函數。 2定積分的幾何意義 設函數在上連續，定積分在幾何上表示曲線和直線以及軸圍成各部分面積的代數和，在軸上方取正號，在軸下方取負號。 3定積分的性質 （1） （2） （3） （4）（也可以在之外） （5）設，則 （6）設，則 （7）設，則 （8）定積分中值定理 設在上連續，則存在，使 定義：我們稱為在上的積分平均值 （9）奇偶函數的積分性質 （奇函數） （偶函數） （10）周期函數的積分性質 設以為周期，為常數，則 二基本定理 1變上限積分的函數 定義：設在上可積，則，稱為變上限積分的函數 定理：（1）若在上可積，則在上連續 （2）若在上連續，則在上可導，且 推廣形式：設，可導，連續， 則 2牛頓一萊布尼茲公式 設在上可積，為在上任意一個原函數， 則有 （注：若在上連續，可以很容易地用上面變上限積分的方法來證明；若在上可積，牛頓一萊布尼茲公式仍成立，但證明方法就很復雜）三定積分的換元積分法和分部積分法 1定積分的換元積分法 設在上連續，若變量替換滿足 （1）在（或）上連續； （2），且當時，則 2定積分的分部積分法 設在上連續，則或四廣義積分 定積分的積分區間是有限區間，又在上是有界的，如果積分區間推廣到無窮區間或推廣到無界函數，就是兩種不同類型的廣義積分。 1無窮區間上的廣義積分 （1）概念 定義： 若極限存在，則稱廣義積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分。是發散的，而發散的廣義積分沒有值的概念。 同樣有收斂和發散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。 同樣有收斂和發散的概念，收斂的廣義積分有值的概念，值得注意：判斷的收斂性不能用的極限存在性，必須要求和兩個廣義積分都收斂，才能知道是收斂的。但是如果已經知道是收斂的，而求它的值，那么計算是可以的。 （2）常用公式 2無界函數的廣義積分（瑕積分） （1）概念： 設在內連續，且，則稱為的瑕點。 定義 若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分發散，發散的廣義積分沒有值的概念。 設在內連續，且，則稱為的瑕點。 定義 若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值。 若極限不存在，則稱廣義積分發散，它沒有值。 設在和皆連續，且，則稱為的瑕點。 定義 （值得注意：這里判別收斂性時，和要獨立地取極限，不能都用來代替） 若上面兩個極限都存在時才稱廣義積分是收斂的，否則廣義積分發散。 （2）常用公式： 類似地考慮和 最后指出：由于廣義積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算法則就可以得到廣義積分運算法則。乙 典型例題用常規方法計算定積分 例1計算下列定積分 （1） （2） （3） （4）（收斂的廣義積分） （5） （6）（收斂的廣義積分） 解：（1） （2） （3）令，時；時， 于是 （4）令， 于是 （5） （6）令，則 例2計算下列定積分（分段函數） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 33 定積分的應用甲 內容要點一平面圖形的面積 1直角坐標系 模型I 其中， 模型II 其中， 注：復雜圖形分割為若干個小圖形，使其中每一個符合模型I或模型II加以計算，然后再相加。 2構坐標系 模型I 模型II 3參數形式表出的曲線所圍成的面積 設曲線的參數方程，在（或）上有連續導數，且不變號，且連續，則曲邊梯形面積（曲線與直線和軸所圍成） 二平面曲線的弧長（數學一和數學二） 1直角坐標系 設光滑曲線，也即有連續的導數 弧長 而也稱為弧微分 2構坐標系 設光滑曲線，在上有連續導數 弧長 3參數方程所表曲線的弧長 設光滑曲線，在上有連續的導數 曲線的弧長三特殊的空間圖形的體積（一般體積要用二重積分） 1已知平行截面面積的立體體積 設空間一個立體由一個曲面和垂直于軸兩平面和所圍成，軸每一點且垂直于軸的立體截面的面積為已知的連續函數，則立體體積 2繞坐標軸旋轉的旋轉體的體積 （1）平面圖形由曲線與直線，和軸圍成 繞軸旋轉一周的體積 繞軸旋轉一周的體積 （2）平面圖