35 向量的概念教材分析向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體這節通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等難點是向量的概念教學目標1. 通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維2. 理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量任務分析在這之前，學生接觸較多的是只有大小的量（數量）其實生活中還有一種不同于數量的量向量剛一開始，學生很不習慣，但可適時地結合實例，逐步讓學生理解向量的兩個基本要素大小和方向，再讓學生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數量這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學生比較容易地理解緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量（向量可以平移）這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便教學設計一、問題情景數學是研究數量關系和空間形式的科學思考以下問題：1. 在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？試描述這些量的本質區別2. 既有大小又有方向的量應如何表示？二、建立模型1. 學生分析討論學生回答：人的身高，年齡，體重；圖形的面積，體積；物體的密度，質量；物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念2. 教師明晰人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區別這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如，向量的大小就是向量的長度（模），記作.長度為零的向量叫零向量，記作0或.長度等于1的向量叫作單位向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作ab，規定0a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作ab任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量因為向量完全由它的方向和模決定任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”3. 提出問題，組織學生討論（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？（5）方向為南偏西60的向量與北偏東60的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同三、解釋應用例題如圖，邊長為1的正六邊形abcdef的中心為o，試分別寫出與相等、平行和共線的向量，以及單位向量解：都是單位向量練習1. 如圖，d，e，f分別是abc各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量2. 如果四邊形abcd滿足，那么四邊形abcd的形狀如何？3. 設e，f，p，q分別是任意四邊形abcd的邊ab，bc，cd，da的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？4. 在平面上任意確定一點o，點p在點o“東偏北60，3cm”處，點q在點o“南偏西30，3cm”處，試畫出點p和q相對于點o的向量5. 選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量（1）在與水平成120角的方向上，一個大小為50n的拉力（2）方向東南，8kmh的風的速度（3）向量四、拓展延伸1. 如圖，在abcd中，e，f分別是cd，ad的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？2. 數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？案例點評這篇案例設計完整，思路清晰該案例首先通過實例闡述了向量產生的背景，然后歸納、抽象