七、差分數值解的耗散(Dissipation)和頻散(Dispersion)性質1、 微分方程解的耗散或頻散特性；考查方程： 的解的性質，（271）設初值條件為：設解的一般形式為： （272） 其中 為復數，并且 若寫成 其中為實數則： 將（27-2）式的解代入（271）方程，得： 即 將 代入: （273）討論幾種特例； 所有 即 行波方程解為: 這表示分解的振幅將終是 ，所以解是無耗散的；不論k是多少， 波速均為所以波形不發生任何變化，所以也是無頻（色）散的解。 ，其余的偏導數項系數均為0。方程為： 解為： 此解表示 僅當時解的振幅才是衰減的，即為（正）耗散解 而 當 時 振幅隨時間呈指數增長，解將是無界的，有時也稱為負耗散解。 但不論 ，波速與波數k無關，波速恒為，所以是一種無頻散的解。 ，其余的偏導數項系數均為0。方程為： 方程（弧立波方程）解為： 解是無耗散的，但不同的分立波（波數不同），傳播速度不一樣，其傳播速度為 即 時k越大，則波速越大，換言之，波數較大的子波會逐步趕上波數較小的子波，在滿足一定的條件下，將形成孤立波。類似地討論iv).時 : 結論:（1）偶階導數項影響解的耗散，并且對于能被4的整除的偶階項， 當其系數為負時，是正耗散，為正時是負耗散（解趨于無窮）；而其余的偶階項（即不能被4整除的偶階項，例如2階、6階、10階等）當系數為正時是正耗散，系數為負時是負耗散（解）；（2）奇階導數項只影響解的頻散（色散）特性，不影響解的耗散特性；（3）方程（271）的解既有耗散，也有頻散，其耗散及頻散特性與這兩個無窮級數的和有密切的關系。2、 解的耗散，頻散特性的定量討論方法。例1； 解為 當時，解可以寫成：對于的每一個分量（即分立波）；引入放大因子G；G是復數對于復數G，可以考察，以及G的復角G ： 的含義；是相鄰時間間隔內解的振幅的改變；G的含義是相鄰時間間隔內解的相位差的改變。例2； 解為； 放大因子 當時 l 由于只要求G，所以并不一定需要將的仔細形式寫出，而重點放在這兩個瞬時的解表達式例3；對于差分方程 例； 的格式，該差分格式的修正方程為（通式）：回閱（273）式，其解為： 初值 若，解可寫成：l 注意此時 都是復數，其含義不僅僅是據幅了（與的含義不同！）從 的改變包含振幅和相位的改變：因此，若固定空間位置，考慮時間間隔前后的解之比： 另一方面（273）式的解，當空間位置變化時，即：當時 ，或時相應的解的形式改變是： 綜合以上： 對于線性差分格式（274）式： 將此假設代入差分格式（274），并考慮對于線性差分格式，可以分別討論每一個Fourier 分量的關系，有：所有項均有并同除以 有時習慣將寫成，所以放大因子： 顯而易見，Lax差分格式的解與源方程的解的特性存在差異。與相比 討論：對于任意，要求則充分和必要的條件是：或 就是Lax格式的穩定條件。從另一角度看， 即使，保證了解差分數值解的有界，（穩定了！）但數值解與真解的差別，仍存在著耗散和頻散這兩個方面的誤差。可通過下列圖示表示：八、差分格式的守恒性質； 如果對一個差分方程在定義域的任意有限空間內作求和運算，（即相當于在連續問題中對微分方程在空間域中作積分運算）所得的表達式仍能滿足該區域上物理量的守恒關系，則稱該差分格式具有守恒性，或守恒格式。例；對于連續方程； 有限體積域內的質量守恒律為簡單起見，討論一維問題；守恒型 非守恒型對守恒方程用FTCS格式；若從N至M累加 可見，該格式在離散的概念下，所描述的守恒關系與微分的源方程描述的守恒律是一致的，所以是守恒格式。例2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出發）：格式2（由非守恒形式出發）： 請分別討論上述兩個格式的守恒性質。例3、杭州河口海洋研究所的實例。九、差分格式的保單調性質； 保單調格式的性質是指差分格式的計算，能保持原有函數的單調性。保單調格式對于防止數值解在連續區出現偽振蕩是非常重要的； 保單調性質是指；若所給初值函數值是的單調函數（也可以是分段單調函數），那么由保單調格式計算得到的也一定是的單調函數且與具有相同的單調性。差分格式的保單調性質將在構造TVD格式時進一步闡述。*單調格式；對于守恒格式。如果恒有 (其中為自變量的元函數)，則稱為單調格式。l 單調格式具有保單調性質 證明；設是單調的（不失