第六章 不等式 6 1比較代數式的大小 一 比較兩數 式 大小的基本方法1 差值比較法 a b a b a b 2 商值比較法 a 0 b 0 a b a b a b 二 不等式的基本性質1 a b 2 a b b c a b 0 a b 0 a b 0 b a a c 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c 0 11 a b c 0 12 6 a b 0 c d 0 13 7 a b 0 n 1 n n 14 15 8 a b ab 0 16 a c b d ac bc ac bc ac bd an bn a c b d 盤點指南 a b 0 a b 0 a b 0 b a a c a c b d a c b d 11ac bc 12ac bc 13ac bd 14an bn 15 16 若a b 0 則下列不等式不能成立的是 解 由a b 0知ab 0 因此即成立 由a b 0得 a b 0 因此 a b 0成立 又y x是減函數 所以 a b成立 故不成立的是b b 已知三個不等式 ab 0 bc ad 0 其中a b c d均為實數 用其中兩個不等式作為條件 余下的一個不等式作為結論組成一個命題 可組成的正確命題的個數是 a 0b 1c 2d 3解 由ab 0 bc ad 0可得同理由 ab 0可得bc ad 0 故選d d 設 0 0 那么2 的范圍是 解 由題設得所以所以 6 2 3 故選d d 1 對于實數a b c 判斷下列命題的真假 1 若a b 則ac2 bc2 2 若a b 0 則a2 ab b2 3 若a b 0 則 4 若a b 0 則 題型1判斷有關不等式命題的真假 第一課時 解 1 因為c2 0 所以只有c 0時才正確 c 0時 ac2 bc2 所以是假命題 變式 若ac2 bc2 則a b 是真命題 2 由a b a 0 a2 ab 由a b b 0 ab b2 所以a2 ab b2是真命題 3 由性質定理 知由a b 0 是假命題 4 即 故命題為假 點評 判斷不等式是命題的真假 其主要依據是不等式的性質 判斷一個命題是真命題 就是經過條件式及性質推導出結論式 而判斷一個命題是假命題 只要舉一反例即可 如參數取負 零等情況 對于實數a b c 判斷下列命題的真假 1 若a b 則ac bc 2 若ac2 bc2 則a b 3 若c a b 0 則 4 若a b 則a 0 b 0 解 1 令c 0 則有ac bc 故該命題是假命題 2 由ac2 bc2知c 0 所以c2 0 故該命題為真命題 3 a b 0 a b c a b 0 0 c a c b 故該命題為真命題 4 a b a b 0 又因為a b 所以a 0 b 0 故該命題為真命題 2 比較1 logx3與2logx2 x 0且x 1 的大小 解 1 logx3 2logx2 logx 當或即0 x 1或x 時 有logx 0 所以1 logx3 2logx2 當 或 時 logx 0 解 得無解 解 得1 x 題型2差值比較法比較代數式的大小 即當1 x 時 有logx 0 1 logx3 2logx2 當x 1 即x 時 有logx 0 所以1 logx3 2logx2 綜上所述 當0 x 1或x 時 1 logx3 2logx2 當1 x 時 1 logx3 2logx2 當x 時 1 logx3 2logx2 點評 利用差值比較法比較代數式的大小 其一般步驟為 作差 變形 常用的變形有因式分解 配方 通分等 定號 有時需根據參數的取值情況進行分類討論 下結論 作差看符號是比較兩數大小的常用方法 在分類討論時 要做到不重復 不遺漏 已知a是實數 試比較與1 a的大小 解 因為 1 當a 0時 所以 2 當a 1時 所以 3 當a 1 且a 0時 0 所以 3 比較ab ba與aa bb a 0 b 0 的大小 解法1 求差不好比較 可考慮求商進行比較 由于ab ba 0 aa bb 0 且故當a b時 ab ba aa bb 當a b時 ab ba aa bb 題型3商值比較法比較代數式的大小 解法2 直接求差不好比較 可取對數后再比較 因為所以當a b時 lg ab ba lg aa bb 當a b時 lg ab ba lg aa bb 故當a b時 ab ba aa bb 當a b時 ab ba aa bb 點評 對乘積或指數型式子的大小比較 可采用商值比較法比較大小 注意的是兩個式子的符號應是同號 一般都為正 然后根據商與1的大小進行比較 從而得出兩個式子的大小 比較ax2 3與a2x a 0 的大小 解 由a 0 知ax2 3 0 a2x 0 且故當a 1時 ax2 3 a2x 當a 1時 ax2 3 a2x 當0 a 1時 ax2 3 a2x 1 對不等式的基本性質 關鍵是正確理解和運用 要弄清每一個性質的條件和結論 注意條件的放寬和加強 以及條件與結論之間的相互