第2課時 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,【課標(biāo)要求】 1掌握數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)及歸納與猜想的關(guān)系 2能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決實(shí)際問題 【核心掃描】 1數(shù)學(xué)歸納法與函數(shù)、數(shù)列、不等式及幾何問題相結(jié)合(重點(diǎn)) 2能通過“歸納猜想證明”解決一些數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn)),自學(xué)導(dǎo)引 數(shù)學(xué)歸納法用框圖表示就是：,想一想：數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟有何關(guān)系？ 提示 使用數(shù)學(xué)歸納法時，兩個步驟缺一不可，步驟(1)是遞推的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù),名師點(diǎn)睛 1數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式、不等式、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用 2歸納猜想證明 (1)歸納、猜想和證明是人們探索事物發(fā)展規(guī)律的常用方法，在數(shù)學(xué)中是我們分析問題、解決問題的一個重要的數(shù)學(xué)思想方法 (2)在歸納、猜想階段體現(xiàn)的是一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 (3)在數(shù)學(xué)歸納法證明階段體現(xiàn)的是有限和無限的轉(zhuǎn)化，是一種極限的思想,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過放大或縮小等技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式,禮堂排椅電影院椅 枖痋爿,證明 當(dāng)n1時，f(1)(217)3936，能被36整除 假設(shè)nk時，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除，則當(dāng)nk1時， f(k1)2(k1)73k19 3(2k7)3k918(3k11)， 由歸納假設(shè)3(2k7)3k9能被36整除， 而3k11是偶數(shù)，所以18(3k11)能被36整除， 所以f(k1)能被36整除 由可知，對任意的nN，f(n)能被36整除,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時，關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法，也可以說將式子“硬提公因式”，即將nk時的項(xiàng)從nk1時的項(xiàng)中“硬提出來”，構(gòu)成nk的項(xiàng)，后面的式子相對變形，使之與nk1時的項(xiàng)相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的,【變式2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明62n11(nN*)能被7整除 證明 (1)當(dāng)n1時，62117能被7整除 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且k1)時，62k11能被7整除 那么當(dāng)nk1時，62(k1)1162k121 36(62k11)35. 62k11能被7整除，35也能被7整除， 當(dāng)nk1時，62(k1)11能被7整除 由(1)，(2)知命題成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵在于分析由nk到nk1的變化情況，即分點(diǎn)(或頂點(diǎn))增加了多少，直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾部分等，或先用f(k1)f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，幾何問題的證明：一要注意數(shù)形結(jié)合；二要注意要有必要的文字說明,【題后反思】 探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問題未給出問題的結(jié)論，往往需要由特殊情況入手，歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對探索出的結(jié)論進(jìn)行證明，而證明往往用到數(shù)學(xué)歸納法這類題型是高考的熱點(diǎn)之一，它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓(xùn)練作用