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文檔簡介

1,第十章 球函數,軸對稱球函數 2.連帶勒讓德函數 3.一般的球函數,球函數,稱為球（諧）函數，進一步分離變量，得到：,其中： 函數滿足連帶勒讓德方程：,第九章學到，勒讓德方程通常有兩個線性獨立的級數解，通解應當是這兩個解的線性組合。但是這些解在x=1處發散！為了得到物理上有意義的有限解，即滿足所謂“自然邊界條件”，從而構成本征值問題。我們發現，對于奇數和偶數次冪的級數解，只有一個能滿足自然邊界條件的解，它要求必須為整數，從而使無窮級數截斷為有限階，稱作階勒讓德多項式。,第九章學到，勒讓德方程通常有兩個線性獨立的級數解，,通解應當是這兩個解的線性組合。但是這些解在,x=,1,處,發散！為了得到物理上有意義的有限解，即滿足所謂,“,自,然邊界條件,”,，從而構成本征值問題。我們發現，對于奇,數和偶數次冪的級數解，只有一個能滿足自然邊界條件的,解，它,要求,必須為整數,，從而使無窮級數截斷為有限,階，稱作,階,勒讓德多項式,。,4,一. 勒讓德多項式,軸對稱球函數（m=0）,(1) 一般表達式,級數表示,約定級數中最高次冪 的系數是,反用系數遞推公式,5,微分表示,展開,再求導L次可得,積分表示,6,常用的勒讓德多項式,7,圖象,8,9,二. 勒讓德多項式的性質,奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零點定理 L階勒讓德多項式為L次多項式，有L個零點。 正交性 正交性公式 模 完備性 完備性公式 廣義傅立葉系數 完備性應用例題,10,三 完備性應用例題,例1：把函數 f(x)=2x3 + 3 x + 4 用勒讓德多項式展開。,11,軸對稱拉普拉斯方程的求解,四 勒讓德多項式的應用,12,例 半徑為r0 的半球，球面上溫度分布為保持為 ， 底面絕熱，確定半球內空間的穩定溫度分布 u 。,13,例4 在本來是勻強的靜電場中放置均勻介質球，本來的 電場強度是E0，球的半徑是，介電常數是，試求介質球內外的電場強度,分析：球內電勢 球外電勢 銜接條件,14,一. 連帶勒讓德函數,10.2 連帶勒讓德函數,設 帶入方程整理得:,有限,求對應的本征函數:,15,利用萊布尼茨求導規則把勒讓德方程求導m次:,所以,通常記作:,16,注意: 區分,17,18,19,二. 連帶勒讓德函數的性質 奇偶性 正交性 正交性公式 模 完備性 完備性公式 廣義傅立葉系數,m相同的連帶勒讓德函數是完備的,20,10.3 球函數,球函數方程,一. 球函數,21,任取其一,球函數方程的解為球函數:,二. 球函數的性質,正交性,22,完備性,例1. 用球函數把下列函數展開,例2. 用球函數把 展開,23,三. 拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題,拉普拉斯方程在球形區域的定解問題, 如果是非軸對稱的,問題與 有關, 用一般的球函數,例4. 半徑為的球形區域內部沒有電荷,球面上的電勢 為 為常數,求球形區域內部的電勢分布,解:定解問題為,24,由邊界條件知:解為一般的球函數,由于解在

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