1. 如圖所示， 有一線密度的無限大電流薄片置于平面上，周圍媒質為空氣。試求場中各點的磁感應強度。解： 根據安培環路定律, 在面電流兩側作一對稱的環路。則由 2. 已知同軸電纜的內外半徑分別為 和 ,其間媒質的磁導率 為，且電纜長度， 忽略端部效應， 求電纜單位長度的外自感。解： 設電纜帶有電流則 3. 在附圖所示媒質中，有一載流為的長直導線，導線到媒質分界面的距離為。 試求載流導線單位長度受到 的作用力。解： 鏡像電流鏡像電流在導線處產生的值為單位長度導線受到的作用力力的方向使導線遠離媒質的交界面。 4. 圖示空氣中有兩根半徑均為a，其軸線間距離為 d的平行長直圓柱導體，設它們單位長度上所帶的電荷 量分別為和， 若忽略端部的邊緣效應，試求 (1)圓柱導體外任意點p 的電場強度的電位的表達式 ；(2)圓柱導體面上的電荷面密度與值。解： 以y軸為電位參考點，則 5. 圖示球形電容器的內導體半徑， 外導體內徑 ，其間充有兩種電介質與， 它們的分界面的半徑為。 已知與的相對6. 電常數分別為。求此球形電容器的電 容。解 6. 一平板電容器有兩層介質，極板面積為,一層電介質厚度，電導率，相對介電常數，另一層電介質厚度，電導率。 相對介電常數， 當電容器加有電壓 時， 求(1) 電介質中的電流 ；(2) 兩電介質分界面上積累的電荷 ；(3) 電容器消耗的功率 。解： (1) (2)(3)7. 有兩平行放置的線圈，載有相同方向的電流，請定性畫出場 中的磁感應強度分布(線)。解： 線上、下對稱。 1. 已知真空中二均勻平面波的電場強度分別為: 和 求合成波電場強度的瞬時表示式及極化方式。解：得 合成波為右旋圓極化波。8. 圖示一平行板空氣電容器， 其兩極板均為邊長為a 的 正方形， 板間距離為d， 兩板分別帶有電荷量 與，現將厚度 為d、相對介電常數為， 邊長為a 的正方形電介質插入平行板電容器內至處，試問該電介質要受多大的電場力？ 方向如何？ 解： (1) 當電介質插入到平行板電容器內a/2處， 則其電容可看成兩個電容器的并聯靜電能量 當時， 其方向為a/2增加的方向，且垂直于介質端面。9. 長直導線中載有電流，其近旁有一矩形線框，尺寸與相互 位置如圖所示。設時，線框與直導線共面時，線框以均勻角速度 繞平行于直導線的對稱軸旋轉，求線框中的感應電動勢。解： 長直載流導線產生的磁場強度時刻穿過線框的磁通 感應電動勢 參考方向時為順時針方向。10. 無源的真空中，已知時變電磁場磁場強度的瞬時矢量為 試求(1)的值 ; (2) 電場強度瞬時矢量和復矢量(即相量)。解： （1) 由 得 故得 (2) 11. 證明任一沿傳播的線極化波可分解為兩個振幅相等,旋轉方向相反的圓極化波的疊加。證明： 設線極化波 其中 : 和分別是振幅為的右旋和左旋圓極化波。 12. 圖示由兩個半徑分別為和的同心導體球殼組成的球形 電容器，在球殼間以半徑 為分界面的內、外填有兩種不同的介質， 其介電常數分別為 和 ，試證明此球形電容器的電容 為 證明： 設內導體殼外表面所帶的電荷量為Q，則 兩導體球殼間的電壓為13. 已知求(1)穿過面積 在方向的總電流 (2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上的平均值 。解： (1) (2) 面積中心 , , (3) 的平均值 14. 兩個互相平行的矩形線圈處在同一平面內， 尺寸如圖所示， 其中，。略去端部效應，試求兩線圈間的互感。解： 設線框 帶有電流，線框的回路方向為順時針。線框 產生的為 15. 已知， 今將邊長為的方形線框放置在坐標原點處，如圖，當此線框的法線分別沿、 和方向時，求框中的感應電動勢。解： (1) 線框的法線沿時由 得 (2) 線 框 的 法 線 沿 時 線框的法線沿時 16. 無源真空中，已知時變電磁場的磁場強度 為； ,其中、為常數，求位 移電流密度 。解： 因為 由 得 17. 利用直角坐標系證明2. 證明左邊=右邊18. 求無限長直線電流的矢量位和磁感應強度。解：直線電流元產生的矢量位為積分得當附加一個常數矢量則則由19. 圖示極板面積為S、間距為 d的平行板空氣電容器內，平行地放入一塊面積為S、厚度為a、介電常數為的介質板。 設左右兩極板上的電荷量分別為與 。若忽略端部的邊緣效應，試求 (1) 此電容器內電位移與電場強度的分布；(2) 電容器的電容及儲存的靜電能量。 解： 1），2) 20. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度復矢量為求（1）平面波的傳播方向； （2）頻率； （3）波的極化方式； （4）磁場強度； （5）電磁波的平均坡印廷矢量。 解：（1）平面波的傳播方向為方向（2）頻率為（3）波的極化方式因為，故為左旋圓極化（4）磁場強度（5）平均功率坡印廷矢量21. 利用直角坐標，證明 證明：左邊=右邊 22. 求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解： 又所以故有23. 同軸線內外半徑分別為和，填充的介質，具有漏電現象，同軸線外加電壓，求（1）漏電介質內的；（2）漏電介質內的、；（3）單位長度上的漏電電導。 解：（1）電位所滿足的拉普拉斯方程為由邊界條件所得解為（2）電場強度變量為，則漏電媒質的電流密度為（3）單位長度的漏電流為單位長度的漏電導為24. 如圖所示，長直導線中載有電流 ，一矩形導線框位于其近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導線框中的感應電動勢。解：載流導線產生的磁場強度的大小為穿過線框的磁通量線框中的感應電動勢 參考方向為順時針方向。25. 空氣中傳播的均勻平面波電場為，已知電磁波沿軸傳播，頻率為f。求 (1)磁場； (2)波長； (3)能流密度和平均能流密度； (4)能量密度。 解：（1） （2）（3） （4）26. 平行板電容器的長、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電常數為的電介質填充， （1）板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；（2）若已知板上的自由電荷總量為，求此時極板間電壓和束縛電荷；（3）求電容器的電容量。解： （1） 設介質中的電場為，空氣中的電場為。由，有又由于由以上兩式解得故下極板的自由電荷面密度為上極板的自由電荷面密度為電介質中的極化強度故下表面上的束縛電荷面密度為上表面上的束縛電荷面密度為（2）由得到故（3）電容器的電容為26. 頻率為的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質中沿（）方向傳播，介質的特性參數為、，。設電場沿方向，即；當，時，電場等于其振幅值 。試求 （1） 和； （2） 波的傳播速度； （3） 平均波印廷矢量。 解：以余弦形式寫出電場強度表示式把數據代入則（2）波的傳播速度（3）平均坡印廷矢量為27. 在由、和圍成的圓柱形區域，對矢量驗證散度定理。解： 在圓柱坐標系中所以又故有28. 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗證散度定理。 解 ：（1）（2）對中心在原點的一個單位立方體的積分為（3）對此立方體表面的積分故有29. 計算矢量對一個球心在原點、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。解 ： 又在球坐標系中所以 30. 求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解： 又所以故有31. 證明（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。解 ：（1）（3）設 則故 32. 兩點電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強度。解 ： 電荷在處產生的電場為 電荷在處產生的電場為 故處的電場為33. 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導線單位長度受到的安培力。解： 無限長直線電流產生的磁場為直線電流每單位長度受到的安培力為式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為34. 一個半徑為的導體球帶電荷量為，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉，求球心處的磁感應強度。解： 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉時，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數個寬度為的細圓環，則球面上任一個寬度為細圓環的電流為細圓環的半徑為，圓環平面到球心的距離，利用電流圓環的軸線上的磁場公式，則該細圓環電流在球心處產生的磁場為 故整個球面電流在球心處產生的磁場為 35. 半徑為的球體中充滿密度的體電荷，已知電位移分布為其中為常數，試求電荷密度。解 由，有故在區域在區域36. 一個半徑為薄導體球殼內表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內部的電場為，設球內介質為真空。計算：（1） 球內的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解 ：（1） 由高斯定理的微分形式可求得球內的電荷體密度為 （2）球體內的總電量為 球內電荷不僅在球殼內表面上感應電荷，而且在球殼外表面上還要感應電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為 37. 中心位于原點，邊長為的電介質立方體的極化強度矢量為。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 ：（1） 同理 （2） 38. 一半徑為的介質球，介電常數為，其內均勻分布自由電荷，證明中心點的電位為解 ： 由可得到即故中心點的電位為39. 一個半徑為的介質球，介電常數為，球內的極化強度，其中為一常數。（1） 計算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計算自由電荷密度；（3）計算球內、外的電場和電位分布。解 ： （1）介質球內的束縛電荷體密度為 在的球面上，束縛電荷面密度為 （2）由于，所以即由此可得到介質球內的自由電荷體密度為總的自由電荷量（3）介質球內、外的電場強度分別為 介質球內、外的電位分別為40. 如圖所示為一長方形截面的導體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內的電位函數。解 ：根據題意，電位滿足的邊界條件為 根據條件和，電位的通解應取為 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內的電位分布41. 兩平行無限大導體平面，距離為，其間有一極薄的導體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設在薄片平面上，從到，電位線性變化，。解 ： 應用疊加原理，設板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個電位為零的平行導體板間有導體薄片時的電位，其邊界條件為 根據條件和，可設的通解為由條件有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到42. 如題（）圖所示，在的下半空間是介電常數為的介質，上半空間為空氣，距離介質平面距為處有一點電荷。求（1）和的兩個半空間內的電位；（2）介質表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷。解： （1）在點電荷的電場作用下，介質分界面上出現極化電荷，利用鏡像電荷替代介質分界面上的極化電荷。根據鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（）、（）所示），位于 ， 位于 上半空間內的電位由點電荷和鏡像電荷共同產生，即 下半空間內的電位由點電荷和鏡像電荷共同產生，即（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為極化電荷總電量為43. 一個半徑為的導體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個點電荷。（1）求點電荷與導體球之間的靜電力；（2）證明當與同號，且成立時，表現為吸引力。 解： （1）導體球上除帶有電荷量之外，點電荷還要在導體球上感應出等量異號的兩種不同電荷。根據鏡像法，像電荷和的大小和位置分別為（如題圖所示）， ，導體球自身所帶的電荷則與位于球心的點電荷等效。故點電荷受到的靜電力為（2）當與同號，且表現為吸引力，即時，則應有由此可得出44. 如題所示圖，無限長直線電流垂直于磁導率分別為和的兩種磁介質的分界面，試求（1）兩種磁介質中的磁感應強度和；（2）磁化電流分布。解： （1）由安培環路定理，可得所以得到（2）磁介質在的磁化強度則磁化電流體密度在處，具有奇異性，所以在磁介質中處存在磁化線電流。以軸為中心、為半徑作一個圓形回路，由安培環路定理，有故得到在磁介質的表面上，磁化電流面密度為 45. 如題圖所示，一環形螺線管的平均半徑cm，其圓形截面的半徑cm，鉄芯的相對磁導率，環上繞匝線圈，通過電流。（1）計算螺旋管的電感；（2）在鉄芯上開一個的空氣隙，再計算電感。（假設開口后鉄芯的不變）（3）求空氣隙和鉄芯內的磁場能量的比值。解： （1）由于，可認為圓形截面上的磁場是均勻的，且等于截面的中心處的磁場。由安培環路定律，可得螺線管內的磁場為與螺線管鉸鏈的磁鏈為故螺線管的電感為（2）當鐵芯上開有小空氣隙時，由于可隙很小，可忽略邊緣效應，則在空氣隙與鉄芯的分界面上，磁場只有法向分量。根據邊界條件，有，但空氣隙中的磁場強度與鐵芯中的磁場強度不同。根據安培環路定律，有又由于、及，于是可得所以螺線管內的磁鏈為故螺線管的電感為（3）空氣隙中的磁場能量為 鉄芯中的磁場能量為故46. 一根半徑為a的長圓柱形介質棒放入均勻磁場中與z軸平行。設棒以角速度繞軸作等速旋轉，求介質內的極化強度、體積內和表面上單位長度的極化電荷。解： 介質棒內距軸線距離為r處的感應電場為故介質棒內的極化強度為極化電荷體密度為極化電荷面密度為則介質體積內和表面上同單位長度的極化電荷分別為47. 一圓柱形電容器，內導體半徑為a，外導體內半徑為b，長為l。設外加電壓為，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導電流。解： 當外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時的電場分布可視為相同（準靜態電場），即故電容器兩極板間的位移電流密度為則式中，是長為l的圓柱形電容器的電容。流過電容器的傳導電流為可見48. 已知在空氣中，求和。(提示將E代入直角坐標中的波方程，可求得。)解 ： 電場E應滿足波動方程將已知的代入方程，得式中 故得則由得將上式對時間t積分，得 49. 在自由空間中，已知電場，試求磁場強度。解 ： 以余弦為基準，重新寫