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,第四節 幾類特殊類型函數的積分,從前面幾節的學習，大家可能已經體會到：,求不定積分不象求導數有一個固定的方法。,求不定積分的方法很靈活，怎樣將一個不定積分,求出來，具體用什么方法，因具體的積分而異。,不僅如此，另外，還有這樣的情況：,某些函數積不出來！,即：它的原函數不能用初等函數的有限形式表示。,例如：,積不出來！,于是，人們就想：,是否有某些類型的函數,按照特定的方法就一定能積出來？,答案是肯定的！,下面就來給大家介紹幾類這樣的函數。,一. 有理函數的積分,有理函數：,兩個多項式的商,假分式,多項式除法,多項式,+,真分式,例,計算步驟：,1. 將,化為真分式,2. 用待定系數法將真分式,分解為部分分式,之和,(1),將,分解為質因式之積，,即：因式分解,(2),含有因式,時，,的分解式中就對應著,個部分分式：,含有因式,時，,的分解式中就對應著,個部分分式：,（3）,確定系數,3. 求積分, 0, 0,用遞推公式,例1,求,解,是真分式,設,即,比較系數，得,解得,（*）,另解：,在（*）式中，,例2,解,設,即,取,代入得,取,代入得,比較,的系數，,得,例3,解,是真分式,設,取,得,比較,的系數，,得,比較,常數項，,得,例4,解,是假分式,真分式,設,取,得,取,得,例5,解,是真分式,設,比較系數，得,注：,本題用到遞推公式。,怎么積？,如按上面講的步驟去積，,將非常繁。,注:,在求有理函數的積分時,雖然按上面介紹的步驟,一定可以積出來,但是,這種方法不一定是最佳的方法,有時,甚至很繁.,所以,我們在求有理函數的積分時,如有更簡單的方法,就不必用上面介紹的方法.,簡言之,要靈活!,哪個方法簡便,就用哪個.,二. 三角函數有理式的積分,定義,將,及常數進行有限次四則運算,所得的函數稱為三角函數的有理式,記為,積分方法:,令,則,有理函數,萬能代換,例6,解,用萬能代換.,令,怎樣求下列積分?,令,注意靈活!,規律：,求積分,（1）,若,用第一換元法，選,（2）,若,用第一換元法，選,（3）,若,用第一換元法，選,練習：求下列積分,三. 簡單無理函數的積分,1.,困難:,含有根號,積分方法:,作換元,令,例7,解,令,例8,解,令,2.,困難:,含有根號,積分方法:,先配方,再換元,例9,解,先配方,小 結,作

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